distribucion log normal
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Distribución Log Normal, Pareto y Gamma
Pedro SandovalJeison Lombana
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Objetivo GeneralObjetivos Especi�cos
Objetivo General
Exponer la teoría y los conceptos que se involucran en ladistribución Log Normal, Pareto y gamma
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Objetivo GeneralObjetivos Especi�cos
Objetivos Especi�cos.
Analizar los diversos teoremas relacionados de la distribuciónLog Normal
Dar explicación a las caracteristícas fundamentales de ladistribución Pareto y sus diversas condiciones
Comprender la distribución Gamma y sus posibles aplicaciones
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Introducción
La distribución logarítmica normal que comúnmente se utiliza paramodelar la vida de las unidades cuyos modos de falla son de unanaturaleza a la fatiga del estrés. Dado que se incluyen la mayoría, sino todos, los sistemas mecánicos, la distribución logarítmica normalpuede tener aplicación generalizada.
Una variable aleatoria que se distribuye lognormal si el logaritmo dela variable aleatoria tiene una distribución normal. Debido a esto,hay muchas similitudes matemáticas entre las dos distribuciones.Por ejemplo, el razonamiento matemático para la construcción dela probabilidad trazando escalas y el sesgo de los estimadores deparámetros es muy similar para estas dos distribuciones.
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Propiedades
la función de distribución viene dada por :
P(X ) =1
S√2πx
e−(ln(x)−M)2
2S2
Esta distribución se puede normalizar si se toma la siguientesustitución y = ln(x) obtenemos dy = dx
xy x = ey así:
∫∞
0
P(X )dx =1
S√2π
∫∞
−∞
e−(y−M)2
2S2 dy = 1
Para hallar la esperanza y la varianza vamos a recurrir a la primeray segunda derivada de la función generadora de momentos evaluadaen el primer y segundo momento respectivamente
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
µ′1 = e−
(y−M)2
2S2
µ′2 = e−
(y−M)2
2S2 (eS2−1)
Con lo cual tenemos que :
E (X ) = eM+s2
2
V (X ) = eS2+M
2 (eS2−1)
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Propiedades
La distribución de densidad de probabilidad y función deprobabilidad vienen dadas por:
P(X ) =a−ba
xa+1
P(X ) = 1−(b
x
)a
con x ≥ b
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Ahora análogo al anterior hallaremos la esperanza y la varianza conla derivadas de la función generadora
µ′1 =
ab
a−1
µ′2 =
ab2
(a−1)2(a−2)
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
En general los momentos vienen dados por la siguiente
µn = abnΓ(a−n)2F1(a−n,−n;1+a−n;a
a−1)
= (1−a)a−n(−a)n−aabnB(a
a−1,a−n,n+1)
Para a > n donde Γ(z) es función Gamma F1(a,b,c ,z) es unafunción hipergeométrica regularizada y B(z ,a,b) función Beta
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Observamos que la existencia de los dos primeros momentosdepende del valor del parámetro a Es por ello que a menudoconviene estimar su valor a partir de datos para tener una mayorinformación de la variable, con esta tenemos estimación pormomentos y por máxima verosimilítud.
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
momentos
Estimación por momentos
Partiendo de una muestra aleatoria simple (m.a.s) de la distribución{x1.........xn}igualamos el momento de orden uno poblacional,E (X ) con la correpondiente momento usual x luego:
ak
(a−1)= x
xk
(x−1)= am
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
máxima verosimilítud
estimación por máxima verosimilítud Partiendo de una muestraaleatoria simple (m.a.s) de la distribución {x1.........xn}construimosla siguiente función :
L(x ,a) = (a
k)n
n
∏i=1
(k
xi)a+1
Tomando logaritmos:
lnL(x ,a) = n(ln(a)− ln(k)) +n
∑i=1
(a+1)(ln(k)− ln(xi ))
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Derivando respecto a a e igualando a 0 depejamos el estimadorcomo sigue:
aMV =1
¯ln(x)− ln(k)
Donde ¯ln(x) = 1
n ∑ni=1 ln(xi )
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Pareto segundo tipo
La distribución de Pareto segundo tipo no es más que la del primertipo trasladada al origen, es decir, si Y es una v.a aleatoria condistribución Pareto (primer tipo) y parámetros k ,α se de�neentonces esta nueva distribución como : X = Y −k
Ahora relacionando esta con las funciones de distribución tenemos:
F (x) = P(X ≤ x) = P(Y −k ≤ x) = P(Y ≤ x +k) = 1− (k
x +k)α
si x ≥ 0 y F (x) = 0 en otro caso
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Pareto tercer tipo
la distribución de Pareto de tercer tipo es una generalización de lasanteriores, en que además de la traslación se produce un cambio enla estructura de la varianza. Se de�ne como distribución de Paretode tercer tipo como variabla aleatoria X cuya función dedistribución está dada por :
F (x) = P(X ≤ x) = 1− (k
x +k)αe−bx
si x ≥ 0 y F (x) = 0 en otro caso
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Distribución de Burr
Su función de densidad de probabilidad está dada por:
f (x) =
αk
(xβ
)α−1
β
(1+
(xβ
)α)k+1
función cumulativa
F (x) = 1−(1+
(x
β
)α)−k
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Ahora si de�nimos una forma analítica de la función de cuantíatenemos que:
q(u) = (u−1k −1)
1c
Donde q(u) es una función monótona creciente con parámetros c yk ; la derivada es:
q′(u) = (u− 1k−1
)(u− 1k −1)
1c −1/(ck)
El propósito de esta nueva forma es para llegar a la demostraciónde la esperanza de esta distribución
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Ahora con la anterior información podemos a�rmar que para hallarla esperanza está dada por:
E [q(u)r ] =∫
1
0
q(u)rdu =∫
1
0
(u−1k −1)
1c du
=Γ[ c+rc ]Γ][ k−rc ]/Γ[k]
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
De�nición
consideremos inicialmente un proceso de Poisson que se extiende alenésimo momento se tendria entonces lo siguiente:
D(x) = P(X ≤ x) = 1−P(X > x)
1−h−1
∑k=0
(λx)ke−λx
k!= 1− e−λx
h−1
∑k=0
(λx)k
k!
1− Γ(h,x ,λ )
Γ(h)
La cual es la distribución Gamma incompleta o Erlang
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Para considerar la distribución completa procedemos a derivarnuestra condición inicial como sigue:
P(x) = D ′(x)
= λe−λxh−1
∑k=0
(λx)k
k!− e−λx
h−1
∑k=0
k(λx)k−1λ
k!
= λe−λx + λe−λxh−1
∑k=1
(λx)k
k!− e−λx
h−1
∑k=1
k(λx)k−1λ
k!
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
= λe−λx −λe−λxh−1
∑k=1
[k(λx)k−1
k!− (λx)k
k!
]
= λe−λx
{1−
h−1
∑k=1
[k(λx)k−1
(k−1)!− (λx)k
k!
]}
= λe−λx
{1−[1− (λx)h−1
(h−1)!
]}
λ (λx)h−1
(h−1)!e−λx
si α = h y θ = 1
λla anterior se puede reeescribir como:
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
P(x) =xα−1e
−xθ
Γ(α)θ α
Que es la función de probabilidad Gamma con parámetros (α, xθ
)
La función generadora de momentos está dada por:
M(t) =∫
∞
0
etxxα−1e−xθ dx
Γ(α)θ α
=∫
∞
0
xα−1e−(1−θt)x
θ dx
Γ(α)θ α
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Ahora sean y = (1−θt)xθ
dy = 1−θtθ
dx
Asi
M(t) =∫
∞
0
(θy
1−θ t
)α−1 e−y
Γ(α)θ α
θdy
1−θ t
=1
(1−θ t)α Γ(α)
∫∞
0
yα−1e−ydy
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
=1
(1−θ t)α
Expresando como logaritmos las derivadas de la función generadoravienen dadas por:
R(t) =−α ln(1−θ t)
R ′(t) =αθ
1−θ t
R ′′(t) =αθ2
(1−θ t)2.
ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Finalmente la esperanza y la varianza estan dadas por:
E (X ) = αθ
V (X ) = αθ2
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Distribución Exponencial
La distribución exponencial se puede introducir como el casoparticular de la distribución cuando el parámetro r = 1, en estecaso:
De�nición
Se dice que la v.a X sigue una distribución exponencial de parámetro
a > 0, y se denota por (a), si su función de densidad viene dada por
f (x) = ae−ax x ≥ 0
y f (x) = 0 en otro caso.
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Propiedades.
Media
E (X ) =1
a
Varianza
V (X ) =1
a2
Funcion generatriz de momentos
δX (u) =(1− u
a
)−1Función Caracteristica
ψX (iu) =
(1− iu
a
)−1Función Cumulativa
−ln((
1− u
a
)).
ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Proposicion
La suma de v.a. independientes con distribución γ del mismo
parámetro a, es una v.a. con distribución γ del mismo parámetro a
y donde su parámetro r se obtiene como suma de dichos
parámetros en las distribuciones que hemos sumado.
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ObjetivosLa distribución Log Normal
Distribución ParetoDistribución Gamma
Distribución Exponencial Desplazada
La distribución exponencial se puede generalizar, trasladándola delorigen. Surge así, la distribución exponencial desplazada.
Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro a.X ∈ ε(a). Consideremos la v.a. transformación lineal de
X , Y = X +k ,k > 0.
La función de densidad de Y , vendrá dada por:
fY (y) =
{fX (y −k) = ae−a(y−k) si y ≥ k
0 e.o.c
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Bibliografía
De�nición
Se dice que la v.a X sigue una distribución exponencial desplazada
de parámetros a > 0, k > 0y se denota por ε(a,k), si su función de
densidad viene dada por
f (x) =
{ae−a(x−k) si x ≥ k > 0
0 e.o.c
E (X ) = 1
a+k
V (X ) = 1
a2
Función Caracteristica
ψX (iu) = e iuk(1− iu
a
)−1.
Bibliografía
Bibliografía
http://www.m-hikari.com/ams/ams-2010/ams-45-48-2010/headrickAMS45-48-2010.pdf
http://pouyanne.perso.math.cnrs.fr/barcelona.pdf
[López Cachero, 1996] López Cachero, M. (1996). Estadísticapara actuarios. Fundación Mapfre Estudios, Madrid.
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