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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERRECTORADO DE INVESTIGACION
INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
MECANICAENERGIA
TEXTO: EL ELEMENTO FINITO EN RESISTENCIA DE MATERIALES
AUTOR:
ING. JUAN ADOLFO BRAVO FELIX
01-11-2009 AL 30-10-2011
RESOLUCION RECTORAL N 1273-09-R
BELLAVISTA - CALLAO
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INDICE GENERAL
I.- INDICE 2
II.- RESUMEN 5
III.-INTRODUCCION 6
IV.- PARTE TERICA MARCO TERICO 8
CAPITULO 1.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9
INTRODUCCIN. 9
RESEA HISTRICA. 9
ESFUERZOS Y EQUILIBRIO 10
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS 11
ESTADO DE DEFORMACION DEL SLIDO CONTNUO. 13
ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACION 14
RELACION DE ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA 14
ESFUERZOS PLANO 15
ENERGA POTENCIAL Y EQUILIBRIO 16
CAPITULO II.PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES 17
INTRODUCCIN. 17
METODO MATRICIAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL 23
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO 24
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CAPITULO III:
ARMADURAS 26
ARMADURAS PLANAS. 27
FORMULACIN EN ELEMENTO FINITO 28
ARMADURAS ESPACIALES 42
CAPITULO IV:
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES 45
INTRODUCCIN 45
CONS TRUCCIN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO. 46
TRIANGULO DE DEFORMACIN UNITARIA CONSTANTE. 49
CAPTULO V:
SLIDOS DE SIMETRA AXIAL CON CARGA AXIAL SIMETRICA 58
INTRODUCCIN. 58
FORMULACIN DE SIMETRA AXIAL 59
MODELADO POR ELEMENTO FINITO: ELEMENTO TRIANGULAR 61
CAPTULO VI:
VIGAS Y MARCOS 67
INTRODUCCIN 67
VIGAS 67
FORMULACIN DE VIGAS MEDIANTE ELEMENTO FINITO. 69
MARCOS PLANOS 73
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FORMULACIN POR ELEMENTO FINITO DE MARCOS 74
V.- MATERIALES Y METODOS 77
VI.- RESULTADOS 78
VII.- DISCUSION 79
VIII.- REFERENCIALES 80
IX.- APENDICE 81
A.1 MATRIZ DE REACCIONES DE LA ARMADURA PLANA 81
ANEXOS. 82
A.1 MODELOS DE ELEMENTO FINITO DE UNA PLACA CON
AGUJERO CENTRAL 82
A.2 FUNCIONES DE FORMA DE LA VIGA ELEMENTAL 82
A.3 FUERZAS DEBIDO AL DESPLAZAMIENTO NODAL DE LA VIGA 83
A.4 CARGA NODAL EQUIVALENTE PARA LA VIGA ELEMENTAL 84
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RESUMEN
El presente texto: el Elemento Finito en Resistencia de Materiales se ha desarrollado
teniendo como referencia el contenido de Resistencia de Materiales, el mismo que trata
de los siguientes puntos:
- Conceptos fundamentales: Anlisis de fuerzas, esfuerzos y deformacin unitaria, a
travs de la ley generalizada de Hooke as como la relacin ente la deformacin
unitaria y los desplazamientos lineales y angulares.
- Problemas unidimensionales. Trata sobre elementos sometidos a carga axial las que
son discretizados para su evaluacin por elementos finitos relaciona la matriz de
deformacin unitaria con desplazamientos en coordenadas local global desarrollando
la matriz de rigidez ke del elemento as como el vector de fuerza de cuerpo fe como la
fuerza de traccin Te del elemento.
- Armaduras: se determina la matriz de rigidez del elemento ke para armaduras planas y
espaciales, luego la matriz de rigidez estructural K de ensamble desarrolla el conjunto.
- Problemas bidimensionales: mediante el tringulo de deformacin unitaria constante
determina la matriz de rigidez del elemento, el vector de fuerza del cuerpo y de traccin
del elemento, con la matriz de ensamble calcula los esfuerzos generados.
- Slidos de simetra axial sometidos a carga simtrica: trata de cuerpos generados por
rotacin de una superficie en el plano rz alrededor del eje z como el cilindro de paredgruesa sometido a presin interna, cuyos esfuerzos se determinan con la matriz de
rigidez del elemento.
- Vigas y marcos: se analiza el elemento viga y marco mediante la matriz de rigidez del
elemento de 4x4 y de 6x6 respectivamente.
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INTRODUCCION
Este trabajo de investigacin tiene por objetivo ofrecer al estudiante el TEXTO: EL
ELEMENTO FINITO EN RESISTENCIA DE MATERIALES, donde el elemento
finito es una tcnica de clculo que basado en el mtodo de rigidez utiliza el lgebra
matricial, herramienta poderosa para aplicacin computacional. Como el rea de
aplicacin del elemento finito es amplio, en este caso se desarrolla el concepto del
elemento finito que mediante la discretizacin convierte en matrices los problemas
complejos de desarrollo integral y que son tratados sobre los contenidos de la
asignatura de Resistencia de Materiales de la FIME denominados en libros de reciente
publicacin como Mecnica de Materiales, pero tratados de manera tradicional.
El tema de estudio est organizado en seis captulos.
En el captulo 1 se tratan conceptos fundamentales de Resistencia de Materiales domo
fuerza, esfuerzos, deformacin unitaria, desplazamientos longitudinales, laterales y
rotaciones las que son presentadas en forma de matrices.
En el captulo 2 se ven problemas unidimensionales es decir casos de elementos
sometidos a cargas axiales nicamente y se determina la matriz de rigidez del elemento
de dos nodos donde cada nodo tiene un grado de libertad (gdl) en conjunto 2 grados de
libertad generando una matriz de rigidez de 2x2.
En el captulo 3 se analizan armaduras o sea elementos planos con cargas en el mismoplano. En este caso el elemento en cada nodo tiene 2gdl y yn conjunto 4 gdl generando
una matriz de rigidez de 4x4..
En el captulo 4 se resuelven problemas bidimensionales o sea cuerpos planos de
espesor constante sometidos a cargas en el mismo plano. En este caso el elemento es un
tringulo de 3 nodos donde cada nodo tiene 2 gdl y en conjunto 6 gdl generndose una
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matriz elemental de 3x6. la matriz del elemento es el producto de la matriz deformacin
unitaria por la matriz de propiedades del material y por el volumen del elemento.
El captulo 5 Slidos de simetra axial sometidos a carga axial simtrica trata de cuerpos
generados por la rotacin de reas en el plano rz. Como sera el cilindro de pared gruesa
sometido a presin interna. La matriz de deformacin unitaria desplazamiento del
cuerpo es de 4x6
En el captulo 6 se analizan vigas y marcos. La viga elemental tiene 2 nodos con 2gdl
cada nodo generando una matriz de rigidez de 4x4 y matriz de vector de carga de 1x4 lo
que nos permite el planteamiento de la matriz global cuyas dimensiones depende de l
cuerpo considerado. El marco elemental consta de 2 nodos con 3gdl cada uno generando
una matriz de rigidez de 6x6 y matriz de fuerza elemental de 1x6.las que mediante la
conectividad y condiciones de frontera permiten el clculo de desplazamientos y cargas
de reaccin de la estructura.
.
Todos los temas considerados son importantes para el ingeniero mecnico porque le
permite la evaluacin de los resultados obtenidos mediante el software de elementos
finitos tales como ANSYS, NASTRAN SAP 2000 y otros que se encuentran en el
mercado nacional y que la FIME no cuenta.
La fabricacin, instalacin o desmontaje de toda maquinaria conlleva la solucin denumerosos problemas de aplicacin en base a las teoras de resistencia de materiales,
dinmica de mquinas y teora de elasticidad a fin de darle resistencia, elasticidad,
estabilidad, poco peso y especialmente seguridad que son caractersticas de las
mquinas actuales por lo que la optimizacin mediante elementos finitos es ventajoso
por rapidez de la obtencin de los resultados.
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PARTE TERICA MARCO TERICO
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CAPITULO 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
INTRODUCCIN.
El mtodo del Elemento Finito es una herramienta poderosa para la solucin de
problemas de Ingeniera en general y particularmente para el anlisis de esfuerzo y
deformacin de automviles, aviones, barcos, edificios y estructuras de puentes en
el campo de anlisis estructural as como de mecnica de fluidos, transferencia de
calor y otros campos de ingeniera. En este trabajo solamente se desarrollar los
temas de competencia de Resistencia de materiales
RESEA HISTRICA.
El mtodo del elemento finito tiene su origen en el campo del anlisis estructural de la
industria aeronutica, donde los investigadores batallaban para disear la membrana
delgada del fuselaje y de las alas de un avin a reaccin.
Hrenikoff en 1941 presenta una solucin de problemas de elasticidad usando el
mtodo de trabajo del marco.
Courant en 1943 desarrolla la tcnica del elemento finito usando la interpolacin
polinomial por partes sobre regiones triangulares para modelar la torsin de vigas.Argyris en 1955 publica sobre teoremas de energa y mtodos matriciales
Turner, Clough, Martin y Topp desarrollan matrices de rigidez para armaduras, vigas y
otros elementos, publicando en 1956 en la revista Aeronutical Science dando con esto
el inicio del anlisis de sistemas estructurales grandes y complejos.
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En 1960, Ray Clough acua el trmino "mtodo del elemento finito" en un documento
que se public en las actas de la Segunda Conferencia sobre Clculos en Electrnica,
auspiciada por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. A partir de esa fecha el
mtodo tuvo un auge a la par con el desarrollo de la computacin.
En 1967 aparece el primer libro sobre elementos finitos, publicado por Zienkiewicz
y Cheng.
. Las bases matemticas se fijaron en la dcada de 1970.
ESFUERZOS Y EQUILIBRIO
Si consideramos un cuerpo de volumen V y superficie S sometido a un conjunto de
cargas, este sufrir deformaciones. La posicin de un punto P del cuerpo
determinamos mediante un sistema de coordenadas cartesianas (x,y z). La
deformacin de un punto representamos por las componentes de su desplazamiento
(u,v,w)
Sobre un elemento de volumen dV actan las siguientes fuerzas.
Las fuerzas de contacto superficial o de compresin originada por la presin
representamos por la fuerza de tensin superficial T de componentes
ZYX TTTT ,, (1.1)
Las cargas puntuales que actan en un punto i representamos por
ZYXi PPPP ,, (1.2)
Las fuerzas por unidad de volumen como el peso propio representamos por W:
ZYX wwww ,, (1.3)
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ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS
En un slido (elstico o no) solicitado por un sistema arbitrario de fuerzas, en una
seccin cualquiera, al pasar de un punto a otro, el estado de esfuerzos vara de
manera suficientemente lenta y si escogemos en la vecindad de un punto cualquiera
A (fig. 1.1) una zona suficientemente
Figura 1.1 Cuerpo tridimensional
pequea donde se pueda considerar que el estado de esfuerzos es homogneo[1].
Esto es posible si partimos de la hiptesis de continuidad del material, que permite
el paso a volmenes muy pequeos [2]. como se ve en la figura 1.2.
Fig. 1.2 Equilibrio de un volumen elemental
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Entonces el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actan en varias
direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actan en un
diferencial de volumen que rodea al punto considerado. Este estado de esfuerzos, se
determina por seis magnitudes de esfuerzos denominado tensor de esfuerzos:
(1. 4)
Para determinar el esfuerzo sobre un plano de direccin cualquiera,
transformamos el volumen octadrico en tetraedro (Fig. 1.3) y analizamos el
esfuerzo t en el plano que forman los puntos ABC y cuya normal es el vector
unitario n de cosenos directores nx, ny, y nz. [1].
Figura 1.3 Volumen elemental en la superficie
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Aplicamos las ecuaciones de equilibrio esttico: la suma de las fuerzas originadas
por los esfuerzos actuantes en las caras del tetraedro segn los ejes x, y, z debe
ser igual a cero. Simplificando las reas y despejando las componentes del
esfuerzo en el plano inclinado segn los ejes coordenados obtenemos:
.... zxzyxyxxx nnnt
.... zyzyyxyxy nnnt (1.5)
.... zzyzyxxzz nnnt
Expresados en forma matricial ser:
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
n
n
n
t
t
t
(1.6)
ESTADO DE DEFORMACION DEL SLIDO CONTNUO.
Cuando un elemento elstico est sometido a cargas externas, sufre deformaciones
que se manifiesta a travs de los cambios de volumen y forma originadas por las
fuerzas internas distribuidas sobre todo el cuerpo. Si consideramos dos puntos A y
B del cuerpo elstico de longitud dL sin carga y luego aplicamos carga, los puntos
sufren incremento de longitud dL. La deformacin unitaria longitudinal se define
como el alargamiento o acortamiento del cuerpo sobre la longitud inicial o.
dL
dLLd ...... (1.7)
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Descomponiendo esta deformacin unitaria segn los ejes de coordenadas
cartesianas y considerando la deformacin angular debidos al cambio de forma y
por analoga con el tensor de esfuerzos, el tensor de deformaciones ser de la forma
zzyzx
yzyyx
xzxyx
...... (1.8)
ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACION
Si en el estado tensorial de deformaciones x = xz = yz = 0 entonces estamos en
el estado de esfuerzos plano. La matriz de esfuerzos (1.4) queda de la siguiente
forma:
000
0
0
yyx
xyx
...... (1.9)
RELACION DE ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA
Los esfuerzos se relacionan con las deformaciones mediante el principio de
superposicin, la razn de Poisson lat = -transv y la ley generalizada de Hooke
=/E en direccin del eje x, y ,z tal como a continuacin se indica:
ZYx
xEE
zxy
yEE
yx
zz
EE
(1.10)
G
xy
xy
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G
xzxz
G
yz
yz
Esta es la ley de Hooke generalizada. La relacin entre E, y G se expresa
mediante la frmula.
12E
G
(1.11)
Podemos representar los esfuerzos en funcin de deformaciones en su forma matricial:
D(1.12)
Donde D es de la forma:
5.000000
05.00000
005.00000001
0001
0001
211ED
(1.13)
ESFUERZOS PLANO
Debido a que no existen esfuerzos segn el eje z, z = 0, las deformaciones de un
elemento cargado biaxialmente segn los ejes x e y sern:
x x yE 1
y y xE 1
(1.14)
xyz
E
xy = G.xy
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ENERGA POTENCIAL Y EQUILIBRIO
En Resistencia de Materiales la determinacin del desplazamiento u del cuerpo conduce
a la aplicacin de las ecuaciones de equilibrio. Los esfuerzos estn relacionados con las
deformaciones unitarias mediante la ley de Hooke y las deformaciones unitarias con los
desplazamientos del punto y esto nos genera a la resolucin de ecuaciones diferenciales
parciales de segundo orden, cuya solucin es exacta. Cuando los problemas son
complejos debido a su geometra, condicin de frontera y cargas en general, cuya
solucin es difcil. Es esos casos se recurre a soluciones aproximadas empleando
mtodos de energa potencial.
La energa Potencial total V de un cuerpo elstico se define como la suma de la energa
de deformacin unitaria total U y potencial de trabajo WP., es decir:
V = U + WP (1.15)
La energa de deformacin elstica unitaria para un cuerpo elstico lineal es:
dVU ..21
(1.16)
El potencial de trabajo WP est dado por:
i
ii PudSTudVfuWP ..... (1.17)
El potencial total de un cuerpo elstico general como el de la figura 1.1 es:
i
ii PudSTudVTudVV .......21 (1.18)
Para sistemas conservativos el potencial de trabajo es independiente de la trayectoria
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CAPITULO 2
PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES
INTRODUCCIN.
Los problemas unidimensionales tratan de cuerpos solicitados a cargas en un solo
eje, es decir a cargas axiales en direccin del eje del cuerpo. Las cargas que actan
son los puntuales de tensin y compresin, en el caso de cuerpos en posicin
vertical los de peso propio y cargas distribuidas por unidad de longitud en
direccin del eje del elemento.
En este tipo de problemas el esfuerzo, la deformacin unitaria, el desplazamiento y
las cargas indicadas dependen de una sola variable x. por lo que los vectores , , u,
P, T, f, son funciones de x.
= (x), = (x), u = u(x), T=T(x), f = f(x). (2.1)
El esfuerzo lo relacionamos con el desplazamiento mediante la ley de Hooke, es
decir:
= E.dx
du (2.2)
el diferencial de volumen expresamos en la forma.
dV = A.dx (2.3)
Para modelar un cuerpo unidimensional, se discretiza la regin por tramos y
expresamos el campo de desplazamientos en trminos de valores en puntos
discretos. Primero se presentan elementos lineales. Aplicando los conceptos de
rigidez y carga y las relaciones de energa potencial y con las condiciones de
frontera se determinan los parmetros de inters.
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Figura 2.1 Barra unidimensional cargada
CONSTRUCCIN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.
Para la construccin del elemento Finito [1] se siguen los siguientes pasos.
1. - Divisin del elemento: primero modelamos una barra de seccin transversal
variable (fig. 2.1) como un nmero de discreto de elementos de seccin transversal
constante, en este caso mediante 4 elementos y cada elemento se conecta a 2 nodos.
El modelo resultante consiste de 4 elementos y 5 nodos como se muestra en la
figura 2.2.Cada elemento se reconoce mediante un nmero encerrado dentro del
crculo y los nodos mediante nmeros consecutivos. Con el aumento del nmero de
elementos se obtienen mejor aproximacin. Conviene definir un nodo en cada
punto de aplicacin de la carga.
Figura 2.2 Formulacin por elemento finito de una barra
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2.- Esquema de numeracin:
En un problema unidimensional cada nudo se debe desplazar un una sola direccin
x, Cada nudo tiene un solo grado de libertad (gdl). El modelo del elemento finito
tiene 5 gdl. Los desplazamientos a lo largo de cada gdl denotamos mediante Q1,
Q2, Q3, Q4, Q5. El vector columna Q = [Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] y se denomina vector
de desplazamiento global. El vector de carga global se denota por F = [F1, F2, F3,
F4, F5]. El desplazamiento Q y la carga F tienen valor positivo si actan en la
direccin del eje + x, en caso contrario es negativo. Cada elemento tiene 2 nudos y
la conectividad de los elementos se representa en la figura 2.4. En la tabla de
conectividad los encabezados 1 y 2 son los nmeros locales de los nodos de un
elemento y los nmeros nodales sobre el cuerpo se llaman nmeros globales. La
conectividad establece la correspondencia local-global.
Figura 2.3 Vectores Q y F Figura 2.4 Conectividad de los elementos
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LAS COORDENADAS Y LAS FUNCIONES DE FORMA
Consideremos un elemento finito tpico de la figura 2.5.
Figura 2.5 Elemento tpico en coordenadas x y
Cada elemento debe ser referido con respecto a un punto fijo. El elemento 1 tiene
los nodos 1 y 2 y sus coordenadas sern x1 y x2. El sistema de coordenadas natural
o intrnseco ( ) para un punto x cualquiera entre los nodos 1 y 2 determinamos
mediante :
12
1
12
xxxx
(2.4)
Donde = -1 en el nodo 1 y = 1 en el nodo 2, luego la longitud del elemento 1
se cubre cuando cambia de +1 a 1. Con este sistema de coordenadas definimos las
funciones de forma ( N ) utilizado para interpolar el campo de desplazamiento en
forma lineal como:
21
1
N (2.5)
2
12
N (2.6)
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Figura 2.6 Funciones de forma: a) N1, b) N1, c) interpolacin lineal u
El campo de desplazamiento lineal dentro del elemento en funcin de los
desplazamientos nodales q1 y q2 ser:
2211 qNqNu (2.7)
Y en forma matricial:
qNu (2.8)
Donde:
21 NNN 21 qqq (2.9)
Este ltimo es el vector de desplazamiento del elemento.
La transformacin de x a en trminos de N1 y N2 ser:
2211 xNxNx (2.10)
Se observa que la coordenada x y el desplazamiento u es interpolado dentro del
elemento usando las mismas funciones de forma N1, N2. a esto se denomina
formulacin isoparamtrica. Las funciones de forma deben satisfacer: a) sus
primeras derivadas deben ser finitas dentro de un elemento, b) los desplazamientos
deben ser continuos a travs de la frontera del elemento.
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ENFOQUE DE LA ENERGA POTENCIAL
La expresin general de la energa potencial total de un cuerpo elstico es:
i
ii PudxTuAdxfuAdxV .......21 (2.11)
Donde Pi y ui representan la fuerza en el punto i y el desplazamiento del punto i
respectivamente.
Como el mtodo del elemento finito discretiza un continuo entonces la expresin
anterior se escribe como:
e e i
ii
e ee e
PQTdxuAdxfuAdxV ......2
1 (2.12)
Esta ecuacin se puede escribir en la forma:
e e i
ii
e ee
e PQTdxuAdxfuUV .... (2.12)
Donde:
qdBBElAqqAdxBEBqAdxU TeeeTe
TTT
e
1
1
.22
1..
2
1..
2
1 (2.13)
qkqql
EAqq
l
EAqU
eT
e
eeT
e
eeT
e 2
111
11
2
111
1
1
2
12
(2.13)
Donde la matriz de rigidez del elemento es:
11
11
e
eee
l
AEk (2.14)
Los trminos de fuerza de un cuerpo elemental podemos expresar como:
eTeeT
e
e
e
e
T
e
e
e
Tfqfl
Aq
dxNfA
dxNfA
qdxqNqNfAfAdxu
1
1
22
1
2211 (2.15)
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Donde el vector fe de fuerza del cuerpo del elemento es:
1
1
2
flAf ee
e (2-16)
El trmino e
TTdxu de la fuerza de traccin del elemento es:
eT
e
eT
e e
T TqdxNT
dxNT
qTdxqNqNTdxu
2
1
2211 (2.17)
Luego, el vector de fuerza de traccin del elemento es:
1
1
2ee TlT (2.18)
La energa potencial total se puede escribir en la forma:
FQQKQVTT...
2
1 (2.19)
Donde Q es el vector de desplazamiento global, K la matriz de rigidez global y F el
vector de carga global.
METODO MATRICIAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL
Generalmente las estructuras elsticas estn sujetas a las fuerzas ubicadas en los nodos
designadas por Fx,1, Ff,1, Fz,1, Fx,2, Ff,2, Fz,2 , Fx,3, Ff,3, Fz,3, . . . , Fx,n, Ff,n, Fz,n donde el 1er
subndice indica la coordenada y el 2do subndice el nodo; estos generan
desplazamientos u1, v1, w1, u2, v2, w3, . . . , un, vn, wn de los nodos 1, 2 ,3, ,n
respectivamente, los cuales se pueden escribir en forma de matriz de columna. En la
figura 2.7 se representa un elemento plano [2].
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Figura 2.7.Sistema de coordenadas local y global para un miembro plano de 2 fuerzas
zn
yn
xn
z
Y
x
F
F
F
F
F
F
F
.
.
.
1
1
1
n
n
n
w
v
u
w
v
u
.
.
.
1
1
1
(2.20)
La relacin de las fuerzas con los desplazamientos podemos escribir en la forma.
kF (2.21)
Donde k es una matriz simtrica de la forma:
nnnn
n
n
kkk
kkk
kkk
K
...
............
...
...
21
22221
11211
(2.22)
El elemento ijk se denomina coeficiente de influencia de rigidez.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO
Consideremos un resorte de rigidez k en direccin del eje x sometida a las fuerzas
Fx1 y FX2 en los nodos 1 y 2 que tienen desplazamientos u1 y u2 respectivamente, tal
como se indica en la figura 2.8 [2]. .
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Figura 2.8. Determinacin de matriz de rigidez de un resorte
Si el nodo 2 es fijo, entonces u1 = u1 y u2 = 0. Luego la fuerza en el resorte ser:
11 kuFX (2.23)
y por equilibrio
112 kuFF XX (2.24)
Si el nodo 1 es fijo, entonces u1 = 0 y u2 = u2. luego la fuerza en el resorte ser:
122 XX FkuF (2.25)
Por superposicin de las 2 condiciones cuando ambos nodos tiene los
correspondientes desplazamientos u1 y u2 respectivamente, las fuerzas en los nudos
sern:
211 kukuFx (2.26)
212 kukuFx (2.27)
Escribiendo en forma matricial obtendremos:
2
1
2
1
u
u
kk
kk
F
F
x
x (2.27)
Observamos que la la matriz de rigidez del resorte es una matriz simtrica del orden
2x2.
kk
kkK (2.28)
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CAPITULO III
ARMADURAS
Las armaduras son estructuras de ingeniera formados por miembros rectos unidos
sus extremos por pernos, remaches o soldadura. Los materiales pueden ser
aluminio, acero y madera. Las armaduras se clasifican en planas y espaciales,. Las
primeras pueden ser simples, compuestas y complejas. En la figura 3.1 se muestran
armaduras: simple compuesta, compleja y espacial [4].
Figura 3.1 Armaduras simple, compuesta, compleja y espacial
-
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27
ARMADURAS PLANAS.
Son aquellas donde todos sus miembros se encuentran en el mismo plano. Se usan
en la construccin de Puentes, hangares y grandes almacenes y centros comerciales.
E n la figura 3.2 se muestra una armadura plana con sus componentes [3]. .
Figura 3.2 Armadura simple sujeto a carga
Las armaduras pueden ser estticamente determinadas y indeterminadas. En la
figura 3.3 se observa los dos tipos de armaduras.
-
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28
Figura 3.3 Armaduras: isosttica y hiperesttica
La diferencia entre los 2 tipos de armaduras es respectivamente:
3 reacciones 4 reacciones
3 ecuaciones de equilibrio esttico 3 ecuaciones de equilibrio esttico
0xF 0M
0yF 0yF
0M 0M
La armadura hiperesttica mostrada es redundante de primer grado.
FORMULACIN EN ELEMENTO FINITO
Consideremos el desplazamiento de un solo elemento originado por la fuerza F
como el indicado en la figura 3.4.
-
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29
Figura 3.4 Miembro de 2 fuerzas sujeto a la carga P
El esfuerzo promedio en una seccin del elemento ser:
A
F (3.1)
La deformacin unitaria del miembro se expresa como.
L
L (3.2)
Relacionando ambos por la LEY DE Hooke tendremos:
.E (3.3)
Combinando las tres ecuaciones y simplificando obtendremos:
LL
EA
F
.
(3.4)
Se observa que esta ecuacin es similar a la ecuacin del resorte, F=k.x.
De esta forma el miembro cargado centralmente y de seccin transversal
constante puede ser modelado como un resorte con rigidez equivalente:
L
EAkeq
. (3.5)
-
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30
En la figura 3.5 se muestra una armadura balcn compuesta por 6 barras y 5
nudos. De aqu aislamos un miembro arbitrariamente orientado.
Figura 3.5 Armadura balcn indicando barras ( ) y nudos
En general dos sistemas de referencia son requeridos para describir problemas de
armaduras: el sistema de coordenadas globales y sistema de coordenadas locales [3]. .
Figura 3.6 Relacin entre las coordenadas local y global de una barra
-
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31
El desplazamiento global (Uix, Uiy en el nudo i y Ujx, Ujy en el nudo j) est relacionado
al desplazamiento local (uix, uiy en el nudo i y ujx, ujy en el nudo j) mediante las
relaciones:
cos
cos
cos
cos
jyjxjy
jyjxjx
iyixiy
iyixix
usenuU
senuuU
usenuU
senuuU
(3.6)
Esta ecuacin se puede escribir en forma matricial como.
uTU . (3.7)
Donde:
jy
jx
iy
ix
jy
jx
iy
ix
uu
u
u
u
y
sen
sen
sen
sen
T
U
U
U
U
U
cos00
cos00
00cos
00cos
,
U y u representan los desplazamientos de los nudos i y j con respecto a las
coordenadas de referencia global XY y local xy de la armadura, T es la matriz de
transformacin para pasar de la deformacin local a global.
En forma similar las fueras locales y globales pueden ser relacionada por la ecuacin:
-
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32
cos
cos
cos
cos
jyjxjy
jyjxjx
iyixiy
iyixix
fsenfF
senffF
fsenfF
senffF
(3.8)
Y en forma de matriz,
fTF . (3.9)
Donde:
jy
jx
iy
ix
jy
jx
iy
ix
f
f
ff
f
y
sen
sen
sen
sen
T
F
F
F
F
F
cos00
cos00
00cos
00cos
,
Representan componentes de la fuerza local en los nudos i y j.
Debemos tener en cuenta que los desplazamientos y las fuerzas en direccin del eje y es
cero debido a que consideramos la barra como miembro de 2 fuerzas en direccin del
eje x, como se observa en la figura 3.7
-
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33
Figura 3.7 Fuerzas internas sobre un elemento barra arbitrario
Las fuerzas locales relacionadas con los desplazamientos locales mediante la matriz de
rigidez es:
jy
jx
iy
ix
jy
jx
iy
ix
u
u
u
u
kk
kk
f
f
f
f
0000
00
0000
00
, (3.10)
Donde k = keq = A.E/L, escribiendo en forma de matriz
uTf . (3.11)
Sustituyendo f y u en trminos de F y U obtendremos:
UTKFT 11 (3.12)
Donde 1T es la inversa de la matriz T y tiene la forma:
-
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34
cos00
cos00
00cos
00cos
1
sen
sen
sen
sen
T (3.13)
Multiplicando ambos miembros por T y simplificando obtendremos:
UTKTF 1 (3.14)
Reemplazando los valores T , K , 1T y U en la ecuacin anterior y multiplicando,
obtendremos
jy
jx
iy
ix
jy
jx
iy
ix
U
U
U
U
sensensensen
sensen
sensensensen
sensen
k
F
F
F
F
22
22
22
22
cos.cos.
cos.coscos.cos
cos.cos.
coscoscos.cos
(3.15)
Esta ecuacin expresa la relacin entre las fuerzas aplicadas la matriz )(EK y la
deflexin de un nudo de un arbitrario elemento. La matriz de rigidez )(EK para un
miembro de la armadura es:
22
22
22
22
)(
cos.cos.
cos.coscos.cos
cos.cos.
coscoscos.cos
sensensensen
sensen
sensensensen
sensen
kKe (3.16)
En el siguiente paso se consideran el ensamble de matrices de elementos barra
aplicando las condiciones de borde y carga calculando desplazamientos y otras
informaciones como el esfuerzo, el que se resolver mediante un ejemplo de aplicacin.
-
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35
Ejemplo
Consideremos una armadura tipo balcn indicado en la figura 3.5 con las dimensiones
indicadas. Determinar el desplazamiento de los nudos debido a las cargas indicadas. El
material es de madera con E =1,90X106 lb/pulg2. con seccin transversal de 8 pulg2
se resolver el problema manualmente para su mejor comprensin.
Las fases de procesamiento son:
1. discretizacin del problema en nudos y elementos.
Cada barra es un elemento y cada junta conector de unin es nudo. En este
problema modelaremos con 5 elementos.
Elemento Nodo i nodo j
( 1 ) 1 2 0
( 2 ) 2 3 135
( 3 ) 3 4 0
( 4 ) 2 4 90
( 5 ) 2 5 45
( 6 ) 4 5 0
2. asumiendo una solucin aproximada al comportamiento de un elemento.
Los elementos (1), (3), (4) y (6) tienen la misma longitud, luego:
lg/1022,4
36
1090,18. 66 pulbxxx
L
EAkeq
Los elementos (2) y (5) tienen la misma longitud, luego:
lg/1098,2
9.50
1090,18. 56 pulbxxx
L
EAkeq
-
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36
3. desarrollo de las ecuaciones por elementos
Para los elementos (1), (3) y (6) el sistema de coordenadas global est alineada,
donde =0, usando la ecuacin () encontramos que la matriz de rigidez es:
22
22
22
22
)(
cos.cos.
cos.coscos.cos
cos.cos.
coscoscos.cos
sensensensen
sensen
sensensensen
sensen
kKe
)0()0cos().0()0()0cos().0(
)0cos().0()0(cos)0cos().0()0(cos
)0()0cos().0()0()0cos().0()0cos()0()0(cos)0cos().0()0(cos
1022,4
22
22
22
22
5)1(
sensensensen
sensen
sensensensensensen
XK
Y
X
Y
X
U
U
U
U
xK
2
2
1
1
5)1(
0000
0101
0000
0101
1022,4
La posicin de LA MATRIZ DE RIGIDEZ del elemento (1) en la matriz global
es:
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
U
U
U
U
U
UU
U
U
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)1(
0000000000
0000000000
0000000000
0000000000
0000000000
00000000000000000000
000000022.4022.4
0000000000
000000022.4022.4
10
-
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37/84
37
Para el elemento (3) es :
Y
X
Y
X
U
U
U
U
xK
3
3
3
3
5)3(
0000
0101
0000
0101
1022,4
su posicin en la matriz global es :
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
G
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)3(
0000000000
0000000000
0000000000
00022.4022.40000
0000000000
00022.4022.40000
0000000000
0000000000
0000000000
0000000000
10
La matriz de rigidez para el elemento (6) es:
Y
X
Y
X
U
U
U
U
xK
5
5
4
4
5)6(
0000
0101
0000
0101
1022,4
y la posicin en la matriz global es:
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
G
U
U
U
U
U
U
U
UU
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)6(
0000000000
022.4022.4000000
0000000000
022.4022.4000000
0000000000
0000000000
0000000000
00000000000000000000
0000000000
10
-
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38/84
38
Para el elemento (4), la orientacin del sistema de coordenada local con respecto
al global es = 90, luego reemplazando en la matriz queda:
Y
X
Y
X
U
U
U
U
xK
4
4
2
2
5)4(
1010
0000
10100000
1022,4
Su posicin global es :
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
G
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)4(
0000000000
0000000000
0022.400022.4000
0000000000
0000000000
0000000000
0022.400022.40000000000000
0000000000
0000000000
10
Para el elemento (2) cuya coordenada local esta a = 135 respecto a la
coordenada global, su matriz de rigidez ser:
Y
X
Y
X
U
U
U
U
xK
3
3
2
2
5)2(
1111
1111
1111
1111
1049.1
su posicin en la matriz de rigidez global ser:
-
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39
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
G
U
U
U
U
U
UU
U
U
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)4(
0000000000
0000000000
0000000000
0000000000
000049.149.149.149.100
000049.149.149.149.100000049.149.149.149.100
000049.149.149.149.100
0000000000
0000000000
10
Para el elemento (5) cuya coordenada local se orienta respecto a la coordenada
global un = 45 su matriz de rigidez local es:
Y
X
Y
X
U
U
U
U
xK
5
5
2
2
5)5(
1111
1111
1111
1111
1049.1
su posicin en la matriz global es:
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
G
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)5(
49.149.1000049.149.100
49.149.1000049.149.100
0000000000
0000000000
0000000000
0000000000
49.149.1000049.149.100
49.149.1000049.149.100
0000000000
0000000000
10
4. Ensamble de elementos
la matriz de rigidez global se obtiene al ensamblar todos los matrices
individuales:
GGGGGGGKKKKKKK
654321
-
7/29/2019 e Structur as 12345
40/84
40
Sumando y simplificando obtendremos:
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
G
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
K
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5)5(
49.149.1000049.149.100
49.171.5022.40049.149.100
0022.400022.4000
022.4044.8022.40000
000049.149.149.149.100
00022.449.171.549.149.100
49.149.122.4049.149.12.7000
49.149.10049.149.102.7022.4
0000000000
000000022.4022.4
10
5. Aplicando las condiciones de borde y cargas:
Como los nudos 1 y 3 son fijos entonces: U1X = 0, U1Y =0, U3X = 0, U3Y = 0,
las cargas externas en los nudos 4 y 5 son: F4Y= -500 lb, F5Y = -500 lb,
reemplazando en la matriz de rigidez global, tenemos:
500
0
500
0
0
0
0
0
0
0
49.149.1000049.149.100
49.171.5022.40049.149.100
0022.400022.4000
022.4044.8022.40000
000049.149.149.149.100
00022.449.171.549.149.100
49.149.122.4049.149.12.7000
49.149.10049.149.102.7022.4
0000000000
000000022.4022.4
10
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Debido a que U1X = 0, U1Y =0, U3X = 0, U3Y = 0, podemos eliminar el 1, 2do
5to, y 6ta filas y columnas de nuestros clculos de manera que quede la matriz 6x6,
sistema de ecuaciones algebraicas queda:
-
7/29/2019 e Structur as 12345
41/84
41
500
0500
0
0
0
549.149.10049.149.1
49.171.5022.449.149.10022.4022.40
022.4044.800
49.149.122.402.70
49.149.10002.7
10
5
4
4
2
2
5
YU
UU
U
U
U
X
Y
X
Y
X
:
Fase de solucin
6.- Solucin del sistema de ecuaciones simultneas. la solucin es el indicado:
0195.0
00240.0
0114.0
00118.0
0
0
01026.0
00355.0
0
0
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
7. Determinacin de las reacciones:
las fuerzas de reaccin se obtiene de la relacin:
FUKR G
de tal modo que:
500
0
500
0
0
0
0
0
0
0
0195.0
00240.0
0114.0
00118.0
0
0
01026.0
00355.0
0
0
49.149.1000049.149.100
49.171.5022.40049.149.100
0022.400022.4000
022.4044.8022.40000
000049.149.149.149.100
00022.449.171.549.149.100
49.149.122.4049.149.12.7000
49.149.10049.149.102.7022.4
0000000000
000000022.4022.4
105
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
-
7/29/2019 e Structur as 12345
42/84
42
Los resultados de la operacin son:
0
0
0
0
100
1500
0
0
0
1500
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
En la figura 3.8 se observa el sistema de coordenadas global para cada
nudo de la armadura [5].
Figura 3.8 Armadura plana en sistema de coordenadas global
ARMADURAS ESPACIALES
La armadura en 3 dimensiones se denomina armadura espacial. Una armadura espacial
simple tiene 6 barras todos unidos en sus extremos formando un tetraedro tal como se
indica en la figura 3.9. Agregando 3 barras y 1 nudo podemos formar armaduras
complejas. Las barras son miembros de 2 fuerzas [3]. .
-
7/29/2019 e Structur as 12345
43/84
43
Figura 3.9 Armadura espacial simple y compleja
.La formulacin por elementos finitos de la armadura espacial es una extensin del
anlisis de armadura plana. El desplazamiento global de un elemento est representado
por UiX, UiY , UjX UiZ, UJy y UJz debido a que cada nudo puede desplazarse en 3
direcciones. Sin embargo los ngulos X, y y z definen la orientacin de cada barra
con respecto al sistema de coordenadas global, tal como se indica en la figura 3.10.
Figura 3.10 Los ngulos formado por el miembro con los ejes X, Y y Z
-
7/29/2019 e Structur as 12345
44/84
44
Los cosenos directores se pueden escribir en trminos de diferencia entre las
coordenadas de nodos j e i de un miembro y la longitud del miembro de acuerdo a las
relaciones:
L
XX ijX
cos (3.17)
L
YY ijY
cos (3.18)
L
ZZ ijZ
cos (3.19)
Donde:
222ijijij ZZYYXXL (3.20)
La matriz de rigidez )(EK para un miembro de la armadura en 3 D es:
zyxyxyxyx
yxyyxyxyx
yxyxxyxyx
yxzxzyxzx
yxyxzyyyx
zxyxxzxyxx
ekK
22
22
22
22
22
22
)(
coscoscoscoscoscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos
(3.21)
el procedimiento para el ensamble de matrices individuales para armaduras espaciales
es idntico que para las armaduras planas.
-
7/29/2019 e Structur as 12345
45/84
45
CAPITULO IV
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
INTRODUCCIN
Los problemas bidimensionales formulados mediante elemento finito son similares al
unidimensional. Los desplazamientos, las fuerzas puntuales y las distribuidas son
funciones de la posicin indicada por (x,y). El vector desplazamiento u est dado por:
Tvuu , (4.1)
Donde u, v son funciones de x e y , componentes de u .
Los esfuerzos y deformaciones unitarias estn expresadas por.
TZYX (4.2)
TZYX (4.3)
En la figura 4.1 se muestra un cuerpo bidimensional [1] con la fuerza del cuerpo por
unidad de volumen y el vector tensin y el volumen elemental expresamos como.
Tyx fff , T
yx TTT , dAtdV . (4.4)
Donde t es el espesor a lo largo del eje z. la fuerza del cuerpo f tiene unidades de fuerza
por unidad de volumen y T fuerza por unidad de rea.
-
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Figura 4.1 Cuerpo bidimensional
Las relaciones deformacin unitaria desplazamiento podemos expresar como.
T
dx
dv
dy
du
dy
dv
dx
du
(4.5)
Los esfuerzos y las deformaciones unitarias estn relacionadas por la ley generalizada
de Hooke que expresada en forma vectorial es:
D (4.5)La regin se discretiza para expresar los desplazamientos en trminos de valores en
puntos discretos mediante elementos triangulares. Luego aplicamos los conceptos de
rigidez y carga mediante enfoques de energa y Galerkin.
CONSTRUCCIN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.
La regin bidimensional se divide en tringulos de lados rectos. El cuerpo de la figura
3.2 ha sido discretizado mediante triangulacin tpica. Los puntos donde estn los
vrtices de los tringulos se llaman nodos y cada tringulo formado por 3 lados y 3
nudos se llama elemento. En el anexo A-1 se representa una placa con agujero mediante
mallas elementales con aproximacin gruesa y fina [6].
-
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Figura 4.2 Discretizacin del cuerpo mediante elemento finito
Los elementos llenan toda la regin excepto una pequea regin en la frontera. Esta
regin no cubierta est en fronteras curvas y puede reducirse escogiendo elementos mas
pequeos o elementos con fronteras curvas. Con elemento finito resolvemos en forma
aproximada un problema continuo. Para una triangulacin, los nmeros de los nodos
estn en los vrtices y los nmeros de los elementos estn encerrados en un crculo.
En problemas bidimensionales a cada nodo se permite que se desplace en 2 direcciones:
x e y, luego cada nodo tiene 2 grados de libertad (gdl).
El vector desplazamiento global lo denotamos como:
TNQQQQ ...,, 21 (4.7)
Donde N es el nmero de grados de libertad. La informacin sobre la triangulacin se
presenta en forma de coordenadas nodales y conectividades. Las coordenadas nodales se
almacenan en un arreglo bidimensional que representan el nmero total de nodos y las 2
-
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coordenadas por nodo. La conectividad puede verse aislando un elemento tpico, tal
como se muestra en la figura 4.3 [1]
Figura 4.3 Elemento triangular
La mayora de los cdigos estndar del elemento finito usan la convencin de circular
alrededor del elemento en sentido antihorario para evitar un rea negativa. La tabla 4.1
indica la correspondencia entre los nmeros de nodos local y global y los
correspondientes grados de libertad. Las componentes de desplazamiento de un nodo
local de un nodo local j en la fig 4.3 estn representadas por q2j-1 y q2j en las direcciones
x e y respectivamente, El vector de desplazamiento del elemento denotamos como:
Tqqqqq621
,...,,, (4.8)
-
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Tabla 4.1 elemento de conectividad
Nmero del elemento e
Tres nodos
1 2 3
1 1 2 4
2 4 2 7
11 6 7 10
20 13 16 15
Las coordenadas nodales designadas por (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) tienen la
correspondencia global establecida en la tabla 4.1
TRIANGULO DE DEFORMACIN UNITARIA CONSTANTE.
Los desplazamientos en puntos dentro del elemento deben ser representados en
desplazamientos nodales del elemento. El mtodo el elemento finito usa el concepto de
funciones de forma para crear sistemticamente esas interpolaciones.
Para el tringulo de deformacin unitaria las funciones de forma son lineales sobre el
elemento. Las 3 funciones de forma N1 , N2 , N3 correspondientes a los nodos 1, 2, y 3
respectivamente. En la fig 4.4 se muestra la funcin de forma N1 es 1 en el nodo 1 y se
reduce a 0 en los nodos 2 y 3. los valores de la funcin de forma N1 definen entonces
una superficie plana sombreada, N2 , N3 son representadas por superficies similares con
valores 1 en los nodos 2 y 3 respectivamente y de 0 en los bordes opuestos. Cualquier
combinacin de esas funciones representa tambin una superficie plana, en particular
-
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50
N1 + N2 + N3, representan un plano de altura 1 en los nodos 1, 2 y 3 y entonces es
paralelo al tringulo 123. en consecuencia para toda N1 , N2 , N3 ,
N1 + N2 + N3 = 1 (4.9)
Figura 4.4 Funciones de forma.
Por lo que N1, N2, N3 no son linealmente independientes, siendo solo dos de ellas. Las
funciones independientes podemos representar por El par , , como sigue.
13
2
1
N
NN
(4.10)
Donde , , son coordenadas naturales. Las coordenadas x,y son mapeadas en las
coordenadas , y las funciones de forma se definen como funciones de ..y
-
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Las funciones de forma pueden representarse fsicamente por reas coordenadas. Un
punto (x,y) en un tringulo divide a ste en 3 reas A1, A2 y A3 como se ve en la figura
4.5. Las funciones N1 , N2 y N3 se representan por:
Figura 4.5 reas coordenadas.
AAN
A
AN
A
AN
33
22
11
(4.11)
Donde A es el rea del elemento
En todo punto dentro del tringulo se cumple: 1321 NNN .
Representacin isoparamtrica.
Los desplazamientos dentro Del elemento se escriben ahora usando las funciones de
forma y los valores nodales del campo de desplazamiento desconocido.
634221
533211
qNqNqNv
qNqNqNu
(4.11)
O empleando las relaciones (4.10).
-
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52
66462
55351
qqqqqv
qqqqqu
(4.11)
Las relaciones (4.11) pueden expresarse en forma matricial definiendo una matriz N de
funcin de forma.
321
321
000
000
NNN
NNNN (4.12)
Y
qNu . (4.14)
Para el elemento triangular, las coordenadas x,y tambin pueden representarse en
trminos de coordenadas nodales usando las mismas funciones de forma. Esta se llama
representacin isoparamtrica.
332211
332211
yNyNyNy
xNxNxNx
(4.14)
33231
33231
yyyyyy
xxxxxx
(4.14)
Utilizando la notacin xij = xjxi e yij = yjyi escribimos como:
32313
32313
yyyy
xxxx
(4.14)
Energa potencial
La energa Potencial del sistema est dada por :
iITTTT PudtTudAtfudAtD ...........21
(4.15)
-
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El ltimo trmino de la ecuacin anterior, i indica el punto de aplicacin de la carga
puntual Pi y Tyxi PPP , . La sumatoria sobre i da la energa potencial debida a todas
las cargas puntuales.
Usando la triangulacin mostrada, la energa potencial total puede escribirse en la
forma:
iITTTT PudtTudAtfudAtD ...........21
(4.16)
i
L i
T
i
T
e e
T
e
e PuTtdludAtfuU ... (4.16)
Donde dAtDU Te ...21
es la energa de deformacin unitaria del elemento.
RIGIDEZ DEL ELEMENTO
Expresando la energa de deformacin unitaria en la forma:
dAtqBDBqdAtDU TTTe ....2
1...
2
1 (4.17)
Considerando que el espesor del elemento t como constante sobre el elemento, as como
todos los trminos de las matrices D y B son constantes, tenemos.
qkqqBDBAtqqdAtBDBqUeTT
ee
T
e
e
TT
e2
1...
2
1..
2
1
(4.17)
Donde ke es la matriz de rigidez del elemento, dado por:
BDBAtkT
ee
e . (4.18)
La conectividad del elemento se se utiliza para sumar los valores de la rigidez del
elemento en ke en localizaciones globales correspondientes de la matriz de rigidez
global K, luego:
QKQqkqUT
e
eT .
2
1
2
1 (4.19)
-
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La matriz de rigidez K es simtrica y en banda o dispersa. La rigidez global K est en
una forma donde todos los grados de libertad Q estn libres y necesita ser modificada
para tomar en cuenta las condiciones de frontera.
TERMINOS DE FUERZA
El trmino de fuerza de cuerpo se expresa como:
dAvfuftdAtfu yxeT .. (4.20)
Utilizando las relaciones de interpolacin, obtenemos:
e
xe
e
xe
e
xe
e
xe
e
xe
e
xe
T
dANftqdANftq
dANftqdANftq
dANftqdANftqdAtfu
3635
2423
1211
.................
.................
..
(4.20)
La e
dAN1 representa el volumen de un tetraedro con rea Ae en su base y altura en el
vrtice igual a 1, como se ve en la figura 4.6.
Luego.
e
e
AdAN3
11 (4.21)
De manera similar eee
AdANdAN3
132 .
-
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55
Figura 4.6 Integral de una funcin de forma
Luego la ec (4.20) queda como:
eTTfqdAtfu ... (4.22)
Donde fe es el vector de fuerza del elemento de la forma:
Tyxyxyxeee ffffffAtf ,,,,,3 (4.23)
Estas fuerzas nodales del elemento contribuyen al vector de carga global F. Mediante la
tabla 4.1 de conectividad se debe usar nuevamente para agregar fe de dimensin (6x1)
al vector global de fuerza F de dimensin (Nx1). Este procedimiento de ensamble visto
anteriormente se expresa simblicamente como:
eefF . (4.24)
La fuerza de traccin es una fuerza distribuida que acta sobre la superficie del cuerpo.
Esta fuerza acta sobre los bordes que conectan los nodos de frontera. Una fuerza de
traccin que acta sobre el borde de un elemento contribuye al vector global de carga F.
Considerando un borde l1-2 donde acta una traccin Tx, Ty en unidad de fuerza por
unidad de superficie de rea mostrado en la figura 4.7, tenemos:
-
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dlvTuTdltTuL l
yx
T
21
.. (4.25)
Mediante relaciones de interpolacin que contienen las funciones de forma:
Figura 4.6 Carga de traccin
2211
2211
4221
3211
yyy
xxx
TNTNT
TNTNT
qNqNv
qNqNu
(4.26)
Considerando que.
21
2
1 3
1
21
ldlNl ,21
2
2 3
1
21
ldlNl ,21
2
3 3
1
21
ldlNl ,
2122
1221 yyxxl (4.27)
Se obtiene:
el
TTqqqqdltTu 4321 ,,,..
21
(4.28)
-
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Donde Se te expresa como:
TYYxXXYYXxee TTTTTTTTTTlt
T 2121212121 2,,2,2,,2
6 (4.29)
Si p1 y p2 son presiones que actan normalmente en la lnea dirigida hacia la derecha
cuando nos movemos de 1 a 2, como se muestra en la figura 4.6. Luego:
11 cpTx , 22 cpTx , 11 spTy , 12 spTy
21
21
l
xxs y
21
12
l
yyc
Las contribuciones de la carga de traccin deben agregarse al vector global de fuerza F.
-
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58
CAPTULO V
SLIDOS DE SIMETRA AXIAL CON CARGA AXIAL SIMTRICA.
INTRODUCCIN.
Los slidos tridimensionales de simetra axial (o slidos de revolucin) sometidas a
carga axial se reducen a problemas bidimensionales. por su simetra respecto al eje z,
todos los esfuerzos y deformaciones son independientes del ngulo de rotacin y se
convierte en problema bidimensional en rz definido sobre el rea revolvente. Las
fuerzas gravitatorias se consideran si actan en direccin del eje z. La figura 5.1 muestra
las carga sobre el plano rz. [1]
Figura 5.1 Problema de simetra axial
-
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FORMULACIN DE SIMETRA AXIAL
Si consideramos un volumen elemental como el de la figura 5.2.
Figura 5.2 Volumen elemental
La energa potencial se escribe en la forma:
iITTTA
TPuddrTudAdrfurdAd .......
2
1 2
0
2
0
2
0
(5.1)
Donde rdld es el rea de la superficie elemental, y la carga puntual P i representa una
carga lineal distribuida alrededor de un crculo, como se ve en la figura 5.1
Como todas las variables son independientes de la ec. Anterior se puede escribir
como.
i
i
T
i
A A L
TTTPuTrdlufrdAurdA
2
12 (5.2)
Donde.
Tzr
T
zr
T
TTT
fff
wuu
,
,
,
(5.3)
-
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Figura 5.3 Deformacin de un volumen elemental
La relacin de la deformacin unitaria y los desplazamientos u escribimos a partir de
la figura 5.3 como:
T
T
rzzrr
u
r
w
z
u
z
w
r
u
,,,,,, (5.4)
El vector esfuerzo se define como:
,,, rzzr (5.5)
La relacin de esfuerzo deformacin unitaria se da en la forma indicada:
.D (5.6)
Donde la matriz D de (4x4) puede escribirse como:
1011
012
2100
101
1
10
11
211
1
ED (5.7)
-
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MODELADO POR ELEMENTO FINITO: ELEMENTO TRIANGULAR
La regin bidimensional definida por el rea de revolucin dividida en elementos
triangulares se indica en la figura 5.4.[1]
Figura 5.4 Triangulacin del rea de revolucin
El rea representada en el plano rz, es un slido de revolucin en forma de anillo
que se obtiene al girar el tringulo alrededor del eje z. Un elemento tpico se muestra
en la figura 5.5.
Figura 5.5 Elemento triangular de simetra axial
-
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Utilizando las 3 funciones de forma N1, N2 y N3, definimos:
qNu . (5.8)
Donde:
321
321
000
000
NNN
NNNN (5.9)
Tqqqqqqq 654321 ,,,,, (5.10)
Sean 1N , 2N y 13N , luego la ecuacin 5.8 queda:
642
531
11
qqqwqqqu
(5.11)
Mediante la representacin isoparamtrica tenemos:
321321
1
1
zzzw
rrru
(5.12)
La regla de la cadena de la diferenciacin da:
z
ur
u
Ju
u
y
z
wr
w
Jw
w
(5.13)
Donde el jacobiano J est dado por:
2323
1313
z
zrJ (5.14)
En donde: rij = rirj y zij = zizj.. E l determinante de J es:
13232313 ..det zrzrJ (5.15)
El eAJ 2det . Las relaciones inversas de las ecuaciones (5.13) son:
-
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u
u
J
z
ur
u
1 y
w
w
J
z
wr
w
1 (5.16)
Donde:
1323
13231
det
1
rr
zz
Jj (5.17)
Reemplazando en le la ecuacin de deformacin unitariadesplazamiento queda:
r
qNqNqNJ
qqzqqzqqrqqrJ
qqrqqrJ
qqzqqz
533211
6413622353135123
64136223
53135123
det
det
det
Se puede escribir como.
qB. (5.18)
Donde la matriz B de deformacin unitaria-desplazamiento de elemento de
dimensin (4x6) es:
000
detdetdetdetdetdet
det0
det0
det0
0det
0det
0det
321
122131132332
211332
123123
r
N
r
N
r
NJ
z
J
r
J
z
J
r
J
z
J
rJ
r
J
r
J
rJ
z
J
z
J
z
B (5.19)
La energa de deformacin unitaria Ue del elemento es:
qDBrdABqUe
TT
e
22
1(5.20)
La cantidad entre parntesis se denomina matriz de rigidez del elemento:
-
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64
e
T
e
T
e
TeBDBArdABDBrdADBrBk 22.2 (5.21)
Donde res el radio del centroide y B es la matriz B de deformacin unitaria-
desplazamiento del elemento evaluado en el centroide.
Debido a queeAr2 es el volumen del elemento anular de la figura 5.5 donde
JAe det2
1
Trminos de la fuerza del cuerpo considerado en la frmula de energa es:
eTe
zr
e e
zrT
fqrdAfqNqNqNfqNqNqN
rdAwfufdAfru
6342215332112...
2.2
(5.22)
Donde el vector fe de fuerza de cuerpo del elemento et{a dado por:
Tzrzrzre
e ffffffAr
f ,,,,,3
2 (5.23)
Donde las barras sobre los trminos f indican que ellos se evalan sobre el centroide.
Traccin superficial.
Para una carga uniformemente distribuida con componentes Tr , Tz, mostradas en la
figura 5.6 sobre el borde que conecta los nodos 1 y 2, obtenemos:
Figura 5.6 Traccin superficial
-
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e
eTTTqrdlTu ..2 (5.24)
Donde:
Tqqqqq 4321 ,,, (5.25)
Tzrzr
ebTbTaTaTlT ,,,2 21 (5.26)
6
2 21 rra
,6
2 21 rrb
, (5.27)
2122
1221 zzrrl (5.28)
PROBLEMA.
Se muestra un cuerpo de simetra axial con una carga linealmente distribuida sobre
la superficie cnica. Determine las cargas puntuales equivalentes en los nodos 2, 4 y
6.
Solucin:
Consideremos los 2 bordes 6-4 y 4-2 por separado y luego juntamos.
Para el borde 6-4.
. p = 0.35 MPa, r1 = 60 mm, z1 = 40 mm, r2= 40 mm, y z2 = 55 mm.
2122
1221 zzrrl = 25 mm
-
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66
6.021
21
l
zzc , 8.0
21
21
l
rrs
21.0 pcTr
, 28.0 psTz
N
bTbTaTaTlT
T
T
zrzr
e
..25.102669.7699.117265.879.....
,,,2 21
Estas cargas se suman a F11, F12, F7 y F8 respectivamente.
Para el borde 4-2:
. p = 0.25 MPa, r1 = 40 mm, z1 = 55 mm, r2= 20 mm, y z2 = 70 mm.
2122
1221 zzrrl = 25 mm
6.021
21
l
zzc , 8.0
21
21
l
rrs
15.0 pcTr , 2.0 psTz
N
bTbTaTaTlT
T
T
zrzr
e
..88.41816.3146.5237.392.....
,,,2 21
Estas cargas se suman a F7, F8, F3 y F4 , respectivamente. Entonces:
NFFFFFF ..9.11727.8795.16964.11629.4182.31412118743
-
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67
CAPTULO VI
VIGAS Y MARCOS
INTRODUCCIN
Las vigas son miembros esbeltos utilizados para soportar cargas transversales. Las
estructuras complejas con miembros rgidamente conectados se denominan
marcos. Primero se analizaran las vigas y luego los marcos.
VIGAS
Las vigas juegan un papel muy importante en muchas aplicaciones de ingeniera
tales como la estructura de: edificios, puentes, automviles y aviones. Una viga se
define como un miembro estructural cuya seccin transversal es pequea en
comparacin de su longitud. La viga comnmente est sujeta a cargas transversales
a su eje y estas originan la flexin de la misma. En la figura 6.1 mostramos una
viga sujeta a una carga uniformemente distribuida [3].
Figura 6.1 Viga con carga uniformemente distribuida
-
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68
La deflexin del eje neutro de una viga a una distancia x es representado por la
variable v.
Para pequeas deflexiones, la relacin entre el esfuerzo normal en una seccin,
el momento flector M, y el momento de inercia I est dada por la frmula de
flexin que se indica a continuacin.
.I
My
(6.1)
Donde y es la posicin del punto en la seccin transversal de la viga y representa la
distancia lateral desde el eje neutro al punto. La deflexin del eje neutral v est
referida al momento interno M(x), la carga cortante V(x), y la carga distribuida
w(x), de acuerdo a las ecuaciones.
)(2
2
xMdx
vdEI
(6.2)
)()(
3
3
xVdx
xdM
dx
vdEI
(6.3)
)()(
4
4
xwdx
xdV
dx
vdEI
(6.4)
Los momentos positivos y negativos [3].y las correspondientes curvaturas estn
representadas en la figura 6.2. Para mayor referencia de las deflexiones de vigas se dan
en el anexo A-3 [5] se dan desplazamientos y giros en un nudo del elemento y en A-4.
[6] matriz de cargas y momentos en los nudos para las cargas: uniformemente
distribuida, distribucin lineal y puntual respectivamente.
-
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69
Figura 6.2 Deflexin de la viga con curvatura positiva y negativa
FORMULACIN DE VIGAS MEDIANTE ELEMENTO FINITO.
Una viga elemental consiste de 2 nodos. Cada nodo tiene 2 grados de libertad, undesplazamiento vertical y un giro como se muestra en la figura 6.3.
Figura 6.3 Grados de libertad en los nodos3
Existen 4 valores nodales asociados con cada viga elemental. Podemos emplear un
polinomio de tercer orden con 4 coeficientes desconocidos para representar el campo de
desplazamientos. Es conveniente que la primera derivada de la funcin forma sea
continua. La funcin forma est referida al de la funcin de forma de Hermite.
Planteamos un polinomio de tercer orden.
3
4
2
321 xcxcxccv (6.5)
Las condiciones de borde del elemento estn dadas por los siguientes valores nodales:
Para el nodo i:
-
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70
- el desplazamiento vertical para x = 0 v = c1 = Ui1
- la pendiente para x = 0
22 iUcdx
dv
Para el nodo j:
- el desplazamiento vertical para x = L v = c1+c2L+c3L2+c4L
3= Uj1
- la pendiente para x = L
2
3
4
2
332 2 jULcLcLccdx
dv
Ahora tenemos 4 ecuaciones con 4 parmetros desconocidos. Determinando para c1, c2,
c3 y c4 , sustituyendo en la ec. (6.5) y reagrupando los trminos Ui1, Ui2, Uj1, Uj2 resultala ecuacin.
22112211 jjjjiiii USUSUSUSv (6.6)
Donde las funciones de forma (ver anexo A-2 [7]) estn dados por:
3
3
2
2
1
231
L
x
L
xSi
(6.7)
2
32
2
2
L
x
L
xxSi
(6.8)
3
3
2
2
1
23
L
x
L
xSj
(6.9)
2
32
2L
x
L
xSj
(6.10)
-
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La energa de deformacin para una viga elemental arbitrario est dado por.
dx
dx
vdEIdV
dx
vdy
EdV
EedV
L
V VV
e
2
0
2
22
2
22
2222
(6.11)
Sustituyendo el v en trminos de funcin de forma y valores nodales, obtendremos:
2
1
2
1
21212
2
2
2
j
j
i
i
jjii
U
U
U
U
SSSSdx
d
dx
vd
(6.12)
Reemplazando las derivadas segundas en trminos de funcin de forma.
21
2
1dx
SdD ii
,2
22
2dx
SdD ii
,
2
12
1dx
SdD
j
j
2
22
2dx
SdD
j
j
La ecuacin (6.12) toma la forma de matriz:
UDdx
vd 2
2
(6.13)
UDDUdx
vd TT
2
2
2
(6.14)
Luego la energa potencial tendr la forma:
LTTe
dxUDDUEI
02 (6.15)
La energa de potencial total para un cuerpo es la diferencia entre la energa total y el
trabajo realizado por las fuerzas externas:
FUe(6.16)
Derivando con respecto a los grados de libertad de los nodos, obtenemos:
-
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4,3,2,1.....0 kparaFUUUU k
e
kk (6-17)
Desarrollando la derivada de la energa de deformacin
2
1
2
1
22
22
30
4626
612612
2646
612612
j
j
i
i
LT
k
e
U
U
U
U
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIUdxDDEI
U (6.18)
La matriz de rigidez para una viga elemental con 2 grados de libertad en cada nodo, el
desplazamiento vertical y la rotacin es.
22
22
3
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIK
e
(6.19)
Matriz de carga
Existen 2 caminos que nos permiten formular las matrices de carga nodal: (1)
minimizando el trabajo desarrollado por las cargas como se establece arriba y (2)
mediante el clculo de las fuerzas de reaccin de la viga. Considerando una viga con
carga uniformemente distribuida y las fuerzas de reaccin en los extremos se observa en
la figura.6.4 [3]
Figura 6.4 Reacciones en los apoyos
-
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73
Utilizando el primero calcularemos
)()(
4
4
xwdx
xdV
dx
vdEI
13
3
cwxdx
vdEI
Para x =0 obtenemos c1 =R1
212
2
2
cxRwx
dx
vdEI
Para x = 0, M(x) = -M1, de donde c2 = -M1
4
21
31
4
2624c
xMxRwxEIv
Para x = 0 v = 0 obtenemos c4 = 0
Aplicando las condiciones de desplazamiento y pendiente para x = L obtenemos:
02624
2
1
3
14
LMLRwL
LEIv
026 1
21
3
LMLRwL
dx
dvEI
lX
Tenemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas, resolviendo obtenemos:
21
wlR
, 12
2
1
wLM
MARCOS PLANOS
Los marcos planos son estructuras planas con miembros conectados rgidamente. Son
similares a las vigas, considerando ahora las cargas axiales y las deformaciones axiales,
es decir cada nodo tiene 3 grados de libertad 2 de desplazamiento y 1 de rotacin.
-
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FORMULACIN POR ELEMENTO FINITO DE MARCOS
Los marcos son miembros estructurales conectadas rgidamente a otros mediante
soldadura o pernos. En la figura 6.5 se observa un marco elemental de 2 nodos, cada
nodo tiene 3 grados de libertad: un desplazamiento longitudinal, un desplazamiento
lateral y una rotacin [3].
Figura 6.5 Marco elemental
En el nodo i, el desplazamiento longitudinal ui1, el desplazamiento lateral ui2 y la
rotacin ui3, en el nodo j son uj1, uj2, y uj3 respectivamente. En general 2 coordenadas de
referencia son necesarias para describir el elemento marco. Un sistema de coordenadas
global y un sistema local de referencia. La relacin entre las coordenadas global (X, Y)
y la coordenada local (x,y) se da en la figura 6.5. La matriz de rigidez para un marco
elemental es una matriz de 6x6. Los grados de libertad de la coordenada local esta
relacionado con la coordenada global mediante la matriz de transformacin, de acuerdo
a la relacin.
UTu (6.20)
-
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75
Donde la matriz de transformacin es:
100000
0cos000
0cos000
000100
0000cos
0000cos
0
sen
sen
sen
sen
T(6.21)
La matriz de rigidez atribuida a flexin del marco elemental, para desplazamiento
lateral y flexin es:
3
2
1
3
2
1
22
22
3
460260
61206120
000000
260460
61206120
000000
j
j
j
i
i
i
e
xy
u
u
u
u
u
u
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIK
(6.22)
La matriz de rigidez del miembro debido a la carga axial es.
3
2
1
3
2
1
000000
000000
0000
000000
000000
0000
j
j
j
i
i
i
e
axial
u
u
u
u
u
u
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
K
(6.23)
Sumando las 2 matrices, la matriz de rigidez resultante para un marco elemental con
respecto al sistema de coordenadas local es:
-
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L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
AE
L
AE
Ke
xy
460
260
6120
6120
0000
260460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
(6.24)
Para expresar la matriz de rigidez [k](e) en el sistema de coordenadas global X,Y
denotamos.
TKTK exyTe
(6.25)
En la figura 6.6 se observa las coordenadas globales de un marco [2]
Figura 6.6 Marco plano en coordenadas global
En la figura 6.7 se muestra la simulacin de un puente por elementos finitos [8].
Figura 6.7 Estructura puente reprensado por elemento finito bidimensional.
-
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MATERIALES Y METODOS
La tcnica utilizada es la recopilacin de datos de diferentes textos cuando se tiene
planteado el problema de estudio de acuerdo al contenido de los captulos. Es decir que
se tienen los objetivos y cuando se evala su relevancia y factibilidad, el paso siguiente
es la sustentacin terica, que comprende dos etapas a seguir.
La revisin de la literatura que consiste en detectar, obtener y consultar la bibliografa y
otros materiales de inters para los propsitos del estudio, as como extraer y recopilar
la informacin relevante y necesaria que corresponda a los temas a estudiar, analizando
a cada una de las actividades que se realizan como parte de la revisin de la literatura
tcnica.
Desarrollo de la parte terica. Para el desarrollo de esta parte, se revisa la literatura,
analiza y discierne sobre si la teora existente y el anlisis anterior es una respuesta a la
interrogacin o est respondiendo en forma parcial y la existencia de una teora
completamente desarrollada con abundante evidencia emprica. La teora debe ser
lgicamente consistente, es decir la evidencia emprica se refiere a los datos de la
realidad que apoya o dan testimonio de una o varias afirmaciones.
Teniendo en cuenta estas consideraciones se ha desarrollado este libro.
-
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RESULTADOS
Los resultados obtenidos en este trabajo de investigacin se consideran satisfactorios
porque se cumple con el objetivo deseado de desarrollar las tcnicas modernas del
Elemento Finito referentes a los temas del Syllabus de Resistencia de Materiales I y II
en un libro que en nuestro medio es escaso y se publican generalmente en ingls por lo
que se recurri en muchos casos a su traduccin, por lo que ser de mucha utilidad para
el proceso de enseanza aprendizaje en el tiempo mas breve.
El Pas se encuentra en proceso desarrollo debido a la gran minera y debe priorizar la
industrializacin inmediata para salir del subdesarrollo y la dependencia tecnolgica.
Para esto se necesita personal tcnico bien capacitado e incentivado y el rea metal
mecnica juega un papel muy importante para la instalacin de fbricas, centros
comerciales, por la que el dominio de Elemento Finito es vital durante el diseo tanto
para el ingeniero Mecnico y otras especialidades. Ese objetivo se trata de cumplir con
este libro.
-
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DISCUSION
Dada la escasa informacin existente en las bibliotecas de las universidades pblicas del
pas sobre el Elemento Finito y la carencia de programas de estudio sobre el tema y la
importancia del mismo en los pases desarrollados en la era digital que vivimos, me ha
obligado a realizar este trabajo de investigacin, con el propsito de reunir las
informaciones ms relevantes y significativas en un libro con temas de la especialidad
de Resistencia de Materiales.
As mismo, el proceso de globalizacin que se vive con presencia de empresas de
transnacionales han comprado activos nacionales, el mercado de trabajo obliga a que los
profesionales del medio adquieran diversos conocimientos donde el elemento finito
juega una importancia fundamental en la aceleracin de los clculos y la simulacin de
casos reales, optimizando los programas de trabajo de las empresas, siendo un plus
gravitante para los profesionales que dominan este campo.
La falta de software aplicativo es una desventaja para la difusin de esta tcnica en las
universidades pblicas aunque con la promocin de algunas firmas como ANSYS ha
introducido en el mercado educativo nacional, el dominio del mismo ser realidad
dentro de un periodo corto.Los contenidos de este libro son importantes para el rea de diseo del sector metal
mecnico y la industria en general cuyas instalaciones y equipos son de origen
mecnico.
-
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REFERENCIALES
1) TIRUPATHI R. CHANDRUPATLA ASHOK D. BELEGUNDU. Introduccin al
estudio del Elemento Finito en Ingeniera. Mxico: Pearson Education, 2da edicin,
1999.
2) MEGSON, T.G.H. Aircraft structures for engineering students. London: Edward
Arnold, first published,1980
3) MOAVENI, SAEED. Finite Element Analysis Theory and Application with
ANSYS, New Jersey: Prentice Hall, 2nd edition, 2003.
4) HIBBELER R.C. Anlisis Estructural. Mxico: Prentice Hall, 3ra edicin, 1997
5) MC CORMAN, NELSON. Structural Analysis a Classical and Matrix Approach,
New York: Wiley, 2nd edition, 1996..
6) BORESI A.P. SCHMIDT R.J., SIDEBOTTOM O.M. Advanced Mechanics of
Materials, New York: John Wiley & Sons, Inc, fifth edition, 1993
7) LAIBLE, JEFFREY P. ANLISIS. Estructural. Bogot: Mc Graw Hill, 1ra edicin,
1995.
8) SMITH,J.W. Vibration of Structures Application in civil engineering design.
London: Chapman and Hall, 1st edition, 1988.
-
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APENDICE
A.1 MATRIZ DE REACCIONES DE LA ARMADURA PLANA
500
0
500
00
0
0
0
0
0
0195.0
00240.0
0114.0
00118.00
0
01026.0
00355.0
0
0
49.149.1000049.149.100
49.171.5022.40049.149.100
0022.400022.4000
022.4044.8022.40000000049.149.149.149.100
00022.449.171.549.149.100
49.149.122.4049.149.12.7000
49.149.10049.149.102.7022.4
0000000000
000000022.4022.4
105
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
-
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ANEXOS.
A.1 MODELOS DE ELEMENTO FINITO DE UNA PLACA CON AGUJERO
CENTRAL
A.2 FUNCIONES DE FORMA DE LA VIGA ELEMENTAL
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A.3 FUERZAS DEBIDO AL DESPLAZAMIENTO DEL NODO DE LA VIGA
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A.4 CARGA NODAL EQUIVALENTE PARA LA VIGA ELEMENTAL