guidepedagogique

PRIMAIRE

MATHEMATIQUEFASCICULE ELES FRACTIONS

UOAMLABORATOIRE DE DIDACTIQUE

DES MATHEMATIOUES

Direction genera Ie des programmesDirection de la formation generale

Depot legal - quatrieme trimestre 1980Bibliotheque nationale du Quebec

© Gouvernement du QuebecMinistere de l'Education, 1980

PRESENTATION .

INTRODUCTION .

1. ORIENTATIONS GENERALES1.1 Terminologie et symbolisme 21.2 Fractions et nombres decimaux .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Fractions et developpement intellectuel 31.4 Repartition du programme ; 4

2. NOTION DE FRACTION2.1 Origine de la fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 La fraction comme nombre 72.3 La fraction comme quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 La fraction comme operateur 92.5 Exploitation de la notion de rapport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Utilisation du tableau de fractions 122.7 Utilisation de la droite numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 Pourcentage .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. EGALITE ET INEGALITE DE FRACTIONS3.1 Fractions equivalentes 153.2 Comparaison de fractions 183.3 Activites complementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. NOMBRES DECIMAUX4.1 Importance des nombres decimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Fractions decimales 244.3 Notation decimale 244.4 Division de deux nombres naturels 25

5. OPERATIONS SUR LES FRACTIONS5.1 Notion d'operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Addition et soustraction 265.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 La division comme operation inverse de la multiplication 30

6. OPERATIONS SUR LES NOMBRES DECIMAUX6.1 Egalite et inegalite de nombres decimaux 326.2 Addition et soustraction 326.3 Multiplication................................................................. 336.4 Division 33

CONCLUSION 35

Le present fascicule, Fractions, s'inscrit dans laSerie des fascicules deja prevus pour constituerun Guide pedagogique a I'usage des maltreset des conseillers pedagogiques. Les fasciculesA, F, G, H ont deja paru et voici maintenant Iefascicule E sur les fractions.

L'enseignement des fractions a I'ecole primairea suscite et suscite encore bien des interroga-tions auxquelles il n'est pas toujours facile detrouver reponse. Si I'on semble d'accord pourdire que I'ensemble des nombres rationnels doitetre considere comme une extension des nom-bres naturels, les opinions sont beaucoup plusdivergentes en ce qui concerne la fa<;:ondontcette extension doit etre presentee dans I'ensei-gnement primaire.

Le probleme se revele encore plus complexe siI'on superpose a ces considerations celles quiportent sur la terminologie et sur I'importancerelative qU'il faut attacher aux fractions ordi-naires et aux nombres decimaux. Selon sonorientation, on choisit souvent d'enseigner oude ne pas enseigner certaines operations selonles algorithmes que I'on privilegie.

La redaction d'un guide pedagogique sur unematiere aussi controversee n'est pas une tachefacile. L'ouvrage n'est sans doute pas parfaitmais il est honnete. II ne neglige aucun des as-pects mentionnes plus haut. Et s'il adopte par-fois des positions bien definies, il auto rise ega-lement des choix pMagogiques.

Nul doute que ce guide saura eclairer et guidernos maltres dans leur enseignement et leur four-nir une aide utile et precieuse.

Le seul fait d'entendre Ie mot «fraction» suscitesouvent de I'inquietude chez de nombreux edu-cateurs soit parce qu'il leur rappelle leur propreapprentissage laborieux de cette notion, soitqu'il evoque les difficultes didactiques de cettepartie du programme de I'enseignement mathe-matique.

Les fractions forment un ensemble de nombresdont I'apprentissage suit un long processus quine se terminera qu'au-dela de I'ecole primaire.Ce theme constitue une partie importante duprogramme; aussi faut-illui assurer Ie temps dereflexion necessaire a I'elaboration d'un pro-gramme coherent, d'une part, et a I'orientationde notre action pedagogique en classe, d'autrepart.

Les fractions sont presentes dans la vie de tousles jours au meme titre que les nombres naturelset I'enfant en a une premiere perception avantmeme son entree a I'ecole. En fait, les fractionsse sont infiltrees dans tout ce qui se quantifie,dans les unites de mesure de Systeme interna-tional d'unites (SI), dans toutes les situationsde commerce, dans les donnees statistiques oudans des probabilites, dans les notes d'un bul-letin scolaire, et dans quoi encore!

L'enseignement des fractions fait I'objet debeaucoup de recherches de tout ordre au Que-bec et un peu partout dans Ie monde. Ces re-cherches, ajoutees a I'implantation du Systemeinternational d'unites, ont fait evoluer Ie contenumathematique dans Ie sens d'une plus grandeinsistance sur les nombres decimaux; elles ontegalement suscite I'elaboration de nouvellesapproches pedagogiques et I'arrivee sur Ie mar-cM de nouveaux outils didactiques.

La majorite des milieux scolaires a deja pris uneoption fondamentale quant a I'enseignementdes fractions, enseignement qui differe parfoisbeaucoup d'un milieu a I'autre mais qui s'appuiegeneralement sur un ensemble de pratiqueseducatives qui tient compte des besoins du mi-lieu. Nous ne saurions condamner telle positionparticuliere, pas plus que nous ne pouvons enprivilegier une ni les exprimer toutes; nous desi-rons seulement preciser Ie cadre dans lequel detels choix pedagogiques devraient se faire.

C'est a I'ensemble de ces preoccupations et deces objectifs que nous tenterons de repondredans ce fascicule. Pour des raisons de commo-dite et de darte, des chapitres differents traitentde notions dont I'apprentissage est intimementlie; cependant, au-dela de cette dissection, Ielecteur doit rechercher une conception globaleet vivante de I'enseignement des fractions.

* Pour des raisons d'ordre pedagogique,la fraction devrait toujours s'ecrire avec untrait horizontal: 3 .

4Cependant, dans Ie present fascicule, a cau-se des contraintes typographiques imposeespar la grosseur des caracteres utilises, lafraction sera souvent representee dans lestextes avec un trait oblique. Les enseignantsvoudront bien tenir compte de cette remar -que et n'utiliser dans leur enseignementque Ie trait horizontal.

1Orientations generales1.1 Terminologie et symbolismeLa definition et I'utilisation d'un symbolisme onttoujours souleve beaucoup de controversesdans I'enseignement mathematique en generalet, plus particulierement, dans celui des frac-tions; mais Ie probleme pedagogique n'est pastant Ie besoin d'un symbolisme unique et uni-versel que I'utilisation en classe de termes jus-tes.

La confusion vient en grande partie de la dispa-rite des expressions utilisees dans differentsouvrages pour representer une meme situationet de I'evolution de ces expressions au fil desannees. Le present fascicule ne pretend pasdefinir une terminologie contraignante: il s'agitsimplement de fournir suffisamment d'indica-lions pour assurer une comprehension uniformedu texte.

On ne trouve pas dans les manuels et on netrouvera probablement jamais un symbolismeunique et universel; aussi, enseignants et elevesauront-ils toujours a faire face a une disparitede termes pour decrire une meme situation; ilappartient au maitre, en classe, d'assurer lacontinuite de I'apprentissage chez ses eleves enles prevenant que I'usage des symboles peutdifferer d'un auteur a I'autre; c'est a lui egale-ment de leur expliquer Ie symbolisme qu'iladopte.

1.1.1 Fraction

Une fraction est un rapport entre deux quantites.Pris dans un sens general, Ie terme «fraction»peut designer toutes les representations possi-bles d'un nombre rationnel.

Mais, pris dans un sens restreint, «fraction» selimite a I'expression d'un rapport sous forme decouple [a/b ou (a,b), OU b i= 0]; chaque fois qU'ilsera employe seul dans ce fascicule, c'est a cesens qu'il faudra se referer, peu importe que lafraction ait une valeur egale a I'unite, plus petiteque I'unite ou plus grande que I'unite.

Au cours de son apprentissage, I'eleve est ame-ne a effectuer des transformations dans I'ecri-ture d'une fraction; par exemple, il ecrira1 .J6= ~ ou encore .J6= K Tres t6t, il ressentiraIe besoin de nom mer de fa<;:onspecifique cer-tains sous-ensembles de fractions afin de faci-liter la communication.

C'est ainsi que les fractions dont Ie numerateurest plus petit que Ie denominateur sont appelees«fractions propres» ou «fractions ordinaires»; ils'agit du sous-ensemble des fractions a/b tellesque ° ~ a/b < 1. Quand les fractions sontegales a I'unite ou plus grandes (a/b ~ 1), onles designe habituellement par I'une ou I'autredes expressions suivantes: fractions impropresou expressions fractionnaires. Finalement, onnomme generalement symbole numerique mixteou nombre fractionnaire toute fraction du typede2K

Comme ces expressions ont davantage uneresonance pedagogique que mathematique, etcomme elles ne seront utilisees que de fa<;:onoccasionnelle, nous ne croyons pas avantageuxd'en proclamer une meilleure que I'autre. II noussemble cependant preferable qU'enseignants eteleves d'un milieu donne n'utilisent en classequ'une seule expression pour designer la memerealite.

1.1.2 Nombre decimal ou nombrea virgule

Tout nombre exprime en base dix peut etre qua-liM de nombre decimal. Toutefois, I'usage cou-rant veut que I'on designe par cette expressiontoute fraction exprimee en notation decimale;une virgule separe la partie entiere de la partiefractionnaire (0,4; 3,42; 10,01; 0,3). La barre au-dessus du 3 dans 0,3 signifie que ce chiffre serepete indefiniment (0,333 ... ).

L'expression «nombre a virgule» designe tousles nombres comportant une partie entiere etune partie fractionnaire; ces derniers sont alorsexprimes dans un systeme a valeur positionnelle(quelle qu'en soit la base). Comme les mathe-matiques a I'ecole primaire n'exploitent que les«nombres fractionnaires a base 10», on peututiliser I'une ou I'autre de ces expressions.

1.1.3 Nombre rationnel

Un nombre rationnel est une c1asse de fractionsequivalentes; il peut donc s'exprimer de plu-sieurs fa<;:ons: par exemple, les expressions.J6;0,5; ra; 0,50; YJo representent toutes Ie me menombre rationnel, et chacune peut etre utiliseepour Ie designer; toutefois, on se sert generale-

ment de I'expression la plus simple, celie aules nombres mis en rapport sont premiersentre eux.

1.2 Fractions et nombres decimauxL'implantation du Systeme international d'unitesa engendre un peu de confusion vis-a-vis deI'enseignement des fractions; nous allons doncessayer de situer, par rapport aux nombres deci-maux, I'importance relative des fractions.

Les nombres decimaux constituent certes I'outil-clef pour exprimer la mesure des quantites nonentieres, au meme titre que I'etaient les sous-unites du systeme anglais: ainsi, en Ie compa-rant avec I'unite de mesure, un enfant pouvaitdire qu'un objet mesurait un pied et huit poucesbien avant de comprendre I'expression «1 %pied». II en est de meme pour I'enfant qui ditmesurer un metre quarante.

Les nombres decimaux constituent egalementune des representations possibles du nombrerationel. A ce titre, il convient que, quelque partdans son processus d'apprentissage, I'enfantdevienne capable de representer une situationqui exige I'utilisation de nombres rationnels in-differemment par un couple de nombres [a/b au(a, b)], par la notation decimale au par un pour-centage; il devrait meme etre capable de passerd'une ecriture a I'autre.

Toutefois, nous ne crayons pas que I'appren-tissage des nombres decimaux et du conceptde nombre rationnel puisse se faire sans unebonne comprehension des fractions. $i, pourexpliquer lE3s fra~tiQl1s..,pnjuge bon,par exemple, ..d'exploiter Ie fait que douze des vingt-quatre et~~ves d'une classe sont des filles, il vaut mieuxutiliser les expressions: «fa moitie des eleves»,«une demi-classe», «un eleve sur deux» au«douze eleves sur vingt-quatre» que I'expres-sian 0,5; autant les premieres expriment un rap-port concret et permettent de bien visualiser unesituation, autant la notation decimale est abs-traite pour I'enfant qui entreprend I'apprentis-sage des fra<;:t.ions. Ce caractere abstrait dunarnbredecirnal apparaltrait avec encore plusd'evidenc:e- si un maitre parlait des 0,375 de sesefevesautieu des neuf vingt-quatriemes (%4)OLJ des trois huitiemes (Ye).

L'utilisation des fractions sous la forme a/b est \donc justifiee dans I'enseignement parce que \celles-ci permettent la concretisation des nom,c>

bres rationnels inherents a une situation at unemeillel.lrecomprehension des mathematiqQes,meme si leur importance pour I'expression desmesures diminue. Pour les memes raisons, ondevra faire une etude systematique des equiva-lences et des operations sur les fractions, touten insistant sur les nombres decimaux; d'ail-leurs, les fractions sous forme de couple sontutilisees meme dans les activites de mesure:trois quarts d'heure, un metre et demi, un quartde litre, etc. EVidemment, on se limitera a tra-vailler avec des fractions simples et usuelles,delaissant ainsi celles qu'on ne rencontre jamaisdans la vie courante.

L'apprentissage des nombres decimaux, leurutilisation pour representer les aspects fraction-naires de la realite, et la conversion d'une frac-tion de type a/b en nombre decimal (et viceversa) demeurent des objectifs de I'enseigne-ment primaire, mais ils n'y seront pas introduitsavant que I'enfant ait maltrise Ie concept de frac-tion.

1.3 Fractions et developpementintellectuel

La notion de nombre rationnel s'acquiert peu apeu et, semble-t-il, differemment selon les en-fants. Surtout depuis les travaux de Piaget, plu-sieur.s auteurs ant cherche a en graduer les dif-ficultes.

Un premier niveau (1) de comprehension de lafraction, atteint t6t par I'enfant, se caracterisepar la prise de conscience des deux termes dela fraction: Ie partage du toul, erla reunion desI?arties qui resultentde ce partage. L'enfant peutreanser sans difficulte I'une au I'autre de cesoperations separement, mais non I'une et I'autre

-eonj0inlement.---Par exemple, place devant un ensemble de 8objets, il peut en determiner Ie quart puisqu'i1n'effectue alors qu'une seule operation (un par-tage en 4 parties). Par ailleurs, si on a preala-blement subdivise ce meme ensemble en 4sous-ensembles de 2 objets chacun, I'enfant dece premier niveau peut aussi en delimiter lestrois quarts (Ia reunion de 3 parties).

(1) HETU, Jean-Claude et DESJARDINS, Michel: L'activitematMmatique dans I'enseignement des fractions.Presses de l'Universite du Quebec, p.p. 39 - 69.

Plus tard, habituellement vers 9 ou 10 ans, ildevient apte a combiner ces operations de par-tage et de reunion, et cela constitue un deuxiemeniveau. Son apprentissage doit toujours s'ap-puyer sur des manipulations concretes; c'estalors qu'il saisit, entre autres, la notion de frac-tion equivalente. A ce stade, I'enfant peut trouverspontanement et sans aide les trois quarts d'unensemble de 8 objets.

Le troisieme niveau, generalement caracterisepar un debut de pen see formelle, permet la com-paraison de deux fractions tirees de deux enti-tes differentes; I'age moyen d'apparition de ceniveau se situerait vers 11 ou 12 ans.

Ensuite, I'enfant ne se contente plus de confron-ter des quantites ou des rapports determinespar un partage, mais peut evaluer les relationsque chaque fraction entretient avec son entier:cet apogee de la comprehension du conceptde nombre rationnel, la conceptualisation deI'invariance d'un rapport, n'apparaitrait qu'ex-ceptionnellement avant 13 ou 14 ans. Par exem-pie, Ie nombre representant Ie tiers d'un ensem-ble de billes pourra etre considere equivalent acelui qui represente Ie tiers d'une surface plane.

Ces recherches ne pretendent pas mettre unpoint final aux connaissances sur Ie sujet. Ellesnous amenent cependant a reflechir sur la per-ception qu'un enfant de tel age peut avoir d'unnombre comme ~ ou ~; elles nous obligent ega-lement a tenir compte de ces aspects dans I'ela-boration de nos demarches et de nos methodes.

1.4 Repartition du programmeNous avons dit, au debut, que I'enseignementdes fractions avait ete I'objet de nombreusesprises de position; c'est surtout en ce qui con-cerne la repartition du programme qU'elles sontIe plus tangibles et Ie plus marquees.

Nous presentons des maintenant deux tableauxdont I'objectif est de permettre une meilleurecomprehension des chapitres suivants. La figure1 illustre trois projets de repartition, entre lesclasses de I'enseignement primaire, des objec-tifs de contenu relatifs au theme des fractions;de plus, dans ce tableau, nous avons distinguedeux types d'activites pedagogiques: la partie enDsymbolise une phase d'exploration et lapartie en Ixxxi represente des apprentissagesplus systematiques ou des applications de no-tions. Les categories d'objectifs correspondent

grosso modo aux cinq prochains chapitres de cefascicule. Nous laissons au lecteur Ie soin d'ana-Iyser ces propositions et de se constituer un"projet personnel» en choisissant pour chaquesection la repartition qui correspond Ie mieux ases besoins.

Quant a la figure 2, elle represente, pour chaqueclasse d'age, Ie pourcentage de temps qu'onpourrait allouer a I'enseignement des fractions,dans Ie temps global accorde a la mathematique.La partie hachuree horizontalement indique unpourcentage maximum. L'intervalle ainsi creerespecte les indications fournies dans Ie pro-gramme. Dans un milieu particulier, on peut evi-demment repartir differemment son temps d'en-seignement en retardant ou en devanc;;ant tel outel apprentissage. II importe cependant qu'a lafin du second cycle, tout enfant ait effectue lesapprentissages prescrits au programme.

On constate, a I'examen du tableau mentionneprecedemment, que Ie theme des fractionsdevrait occuper de 15 a 20% du temps. D'autresrepartitions pourraient etre justifiables, c'estpourquoi celle-ci n'a pas de caractere obliga-toire: elle vise surtout a souligner I'importanced'evaluer Ie temps consacre a un apprentissageparticulier par rapport a I'ensemble du pro-gramme et aux relations entre se's differents the-mes.

Nous croyons que tous ces tableaux et, plusparticulierement, I'ensemble des options qu'ilssous-tendent respectent a la fois la lettre et I'es-prit du programme. Ces etudes quantitativesn'epuisent pas tous les cheminements possi-bles; elles mettent en evidence les reflexionsqu'il faut s'imposer pour equilibrer les situationsd'apprentissage que nous presentons aux en-fants. La meilleure repartition demeure celie quechaque milieu aura elaboree pour repondre auxbesoins specifiques de ses eleves.

I 5 ans I 6 ans 7 ans 8 ans 9 ans 10 ans 11 ans

.... XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX· .....NOTION · . . . XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

I· ...

I

DEI:: : : : : : : : : : : : : : ~I XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX: : : : : : : : : : : : : : : : XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

I I I I IFRACTION I: : : : : ~I XXXXXXXXXXXXXXXXXX

: : : : : : XXXXXXXXXXXXXXXXXX

EGALITE· ...... · . XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX· . . ... · ...· . . . . . . . .. · .. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX· . . . . . . · .. . .

ET I I

INEGALITE· ... XXXXXXXXXXXXXX· .....· .. XXXXXXXXXXXXXX· ...

DE I I

FRACTIONS· . .. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX· ....· .... XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX· .....

· .. . . · . . .. · . XXXXXXXXXXXXXX· .. . . . . · . · .· . . . . . . XXXXXXXXXXXXXX. . . . . · ....NOMBRES I I I

I" ........ XXXXXXXXXXXXXX· ........· ........ XXXXXXXXXXXXXX· ........DECIMAUX I I I

: : : : : : : : ]XXXXXXXXXXX: : : : : : : : : XXXXXXXXXXX

............... J................ XXXOPERATIONS : : : : : : : : : : : : : : : : XXXSUR

I I .. XXXXXXX· ..LES

. . .. XXXXXXX· ...FRACTIONS

I I: : : : : : : : ~IXXXXXXXXXXX: : : : : : : : : XXXXXXXXXXX

· ....... 'IXXXOPERATIONS

· ........: : : : : : : : : xxx

SUR I I I.... · .. · .. · . ~I~XXXXXXXXXXLES· ......... · . · ..... · ... · . : XXXXXXXXXXX.'. . ... · .... · .

NOMBRES I I

DECIMAUX· .. · . . . . . . . . XXXXXXX· . · ... . ...· . · .. · .. . . XXXXXXX· .........

100% 145

40

35 I maximum30

minimum

25

20

15

10

5

2Notion de fraction2.1 Origine de la fractionL'importance de ce chapitre apparait des qU'onreflechit a.I'origine de cet ensemble de nombresque sont les fractions, ou qu'on tente d'imaginerun monde ou seuls existeraient les nombresnaturels, ou encore des qu'on cherche ou etquand, a.I'ecole primaire, on rencontre des situa-tions qui entrainent I'utilisation de fractions.

II est certain que I'enfant entre de bonne heureen contact avec les fractions, meme s'il saisit .les nombres naturels bien avant ces dernieres.Au debut du primaire, en me me temps que sonapprentissage des nombres naturels, I'enfantrencontre des fractions (ex.: un demi), qu'il con-sidere comme des quantites au meme titre que1, 2 ou 3. Pensons a. I'enfant qui regoit un demi-biscuit alors qu'il en desirait deux ...

La perception de I'adulte est plus raffinee: il tientcompte de I'aspect original de la fraction, par-tie d'un entier, qu'il s'agisse du resultat du par-tage d'un tout (un gateau) ou d'un ensembled'objets (Ies eleves d'une classe); il peut compa-rer des fractions qui n'ont pas un meme deno-minateur, ou qui sont exprimees differemment:couple de nombres, notation decimale ou memedessin; il utilise des fractions pour exprimer desrapports; il tient compte egalement de I'aspectoperatoire de la fraction, c'est-a.-dire de la frac-tion consideree comme un instrument de trans-formation d'une quantite.

Le role de I'ecole est d'etablir des liens entre cesperceptions; c'est cet objectif qu'on vise en di-dactique lorsqu'on amene I'enfant a. explorer,de fagon comparative, la fraction qui representeune quantite et celie que I'on decompose en unesuite de deux operations. A cet egard, il fautfavoriser les demarches et les interventions quiutilisent une grande variete de situations ou depresentations pour expliquer la fraction.

Par consequent, bien avant que I'enfant acquie-re les concepts de nombre rationnel et de frac-tions equivalentes, bien avant qu'il l1)aitrise sesalgorithmes de calcul, il faut faire naitre chezlui la perception la plus juste possible de cequ'est une fraction, du type de rapport que lafraction produit entre deux quantites; en fait, ilfaut developper la NOTION DE FRACTION.

II s'agit Ia. de I'element fondamental du pro-gramme de mathematique en ce qui concerneles nombres rationnels; sur ce point, I'enfantdoit parvenir a. une comprehension maximale.La preoccupation permanente du maitre serad'affiner chez I'enfant la notion de fraction, bienque I'acquisition des habiletes de calcul ne doivepas etre exclue; celles-ci, pour lesquelles Iedegre de maitrise recherche peut varier, consti-tuent un important complement de formationqu'il convient de situer au moment Ie plus oppor-tun dans Ie processus d'apprentissage.

2.2 La fraction comme nombrePlace devant une situation mettant en evidenceune fraction simple, I'enfant peut habituellement

I'exprimer a.I'aide d'un rapport: la moiM, Ie tiers,un demi, un quart, un objet sur quatre, etc.

« La moiM des enfants sont des filles!" L'expres-sion de cette situation ou d'un etat de fait sem-blable illustre une demarche descriptive; la frac-tion utilisee a alors un caractere statique. Ellerepresente donc une quantite ou un "ETATFRACTIONNAIRE».

Une fraction peut evidemment representer unequantite plus grande ou plus petite que I'unite;Ie plus souvent, toutefois, on I'utilise pour desi-gner des quantites plus petites qu'une unite:

c'est la fraction comme portion d'un objet oud'un ensemble d'objets semblables. Voyonsquelques exemples.

Si on coupe une pomme en deux, on obtientdeux moiMs ou deux demi-pommes; on ecrit% pomme, c'est-a-dire, 1 morceau sur 2. Si onajoute % pomme a une autre % pomme, <;:adon-ne une pomme complete; alors, dans deux pom-mes, on aura quatre demi-pommes.

FIGURE 5«Le )4 de cette bande est hachuree". Le 4 dans)4 signifie que la bande a ete separee en 4 par-ties egales et Ie 1, que 1 seule de ces partiesest hachuree.

011011110110FIGURE 6

«4 des 8 carres sont noirs ... " Cet exemplepermet de presenter differemment les r61es dudenominateur et du numerateur.

Quand on veut faire comprendre Ie sens de lafraction comme partie d'un tout, a partir d'exem-pies comme ceux-Ia ou en utilisant d'autres si-tuations, il peut etre interessant d'attirer I'atten-tion sur Ie denominateur en faisant d'abord divi-ser I'unite en parties egales. Le numerateurdevient alors I'indicateur d'une deuxieme opera-tipn qui consiste a regrouper un certain nombrede parties.

Ces deux derniers exemples (figure 5) souleventla distinction entre Ie fractionnement d'objets(champ, gAteau, cercle, etc.) et Ie fractionne-ment d'un ensemble d'objets semblables (figure6). Meme si la notion de fraction semble apparai-tre plus souvent a partir du premier cas, rienn'indique que I'un soit plus avantageux que

I'autre; les deux presentations font appel auxmemes operations logiques. II s'agit en fait dedeux applications complementaires de la notionde fraction et il convient que I'enfant rencontreles deux types de fractionnement a chaqueetape de son apprentissage des fractions.

Cette approche de la fraction a partir du partaged'une unite est une source quasi intarissable desituations pedagogiques permettant d'utiliseradequatement I'environnement naturel de I'en-fant et de favoriser les manipulations indispen-sables acet apprentissage. Cette approche n'estevidemment pas nouvelle, mais elle contribuebeaucoup a une perception assez precise, chezI'enfant, de la fraction consideree comme un

rapport entre deux nombres, ainsi que des rolesrespectifs du denominateur et du numerateur;c'est pourquoi nous ne saurions trop la recom-mander.

Au cours d'activites comme celles-Ia, lors dufractionnement d'une unite, I'enfant commetgeneralement deux types d'erreurs; ou bien sesparts ne sont pas equivalentes, ou bien il negligequelques elements de I'ensemble, ce qui est plusfrequent dans Ie fractionnement d'un ensembled'objets semblables. Ges erreurs, qui mettent encause les fondements memes de la notion defraction, sont partois dues a la distraction et ilsuffit alors d'attirer I'attention de I'enfant sur sontravail pour qU'il les corrige de lui-meme.

2.3 La fraction comme quotientII serait interessant de faire prendre conscienceaux enfants d'un autre sens de la fraction queI'on utilise frequemment mais auquel on ne s'ar-rete que rarement. La fraction peut representer

Ie resultat d'une division, c'est-a-dire Ie quotient.

Supposons que I'on desire partager 8 tablettesde chocolat entre 4 personnes; pour obtenir lapart de chacun, on eftectue naturellement la divi-sion 8 -7- 4; cela semble facile parce que I'opera-tion a 0 comme reste. Par contre, si on avaiteu seulement 5 tablettes, on aurait eftectue lameme operation de division et on aurait obtenu~ de tablette pour chacun; ce 5/4, qui est unefac;on d'ecrire 5 -7- 4, est aussi Ie resultat de cettememe operation.

De fac;on plus generale, on constate qu'une frac-tion peut representer une operation de divisionou un quotient, Ie numerateur etant alors assi-mile au dividende et Ie denominateur au divi-seur. Ainsi quand on effectue des divisions ayantdes restes, par exemple 15 -7- 7, «2 reste 1»est une bonne reponse, mais «10/7»est unereponse aussi exacte et precise du moins quantaux nombres eux-memes.

2.4 La fraction comme operateurEn plus d'etre un nombre representant unequantite entiere ou non entiere, la fraction estsouvent presentee par les pedagogues commeun operateur pouvant transformer une quantite.Ges «fractions du pedagogue» rejoignent les

principes de fonctionnement des « machines afonction»; elles correspondent, dans Ie langageusuel, a un commandement, a un ordre ou a uneoperation permettant de passer d'une quantiteinitiale a une autre quantite.

«Louis, colorie •la moitic~de

cet hexagone.»

G'est ainsi que, dans de nombreux manuels, onutilise I'expression «operateur fractionnaire» pourdesigner ce sens de la fraction, meme si les mathe-maticiens ne peuvent accepter de definir Ienombre rationnel comme un operateur: il nefaut pas perdre de vue que ce sens de lafraction constitue essentiellement une approche

pedagogique dont I'objectif est de permettre aI'enfant de mieux comprendre la notion de frac-tion. Le nombre rationnel, dont la fraction estune representation, est un nombre avec to utesses proprietes; la notion d'operateur fraction-naire est donc de I'ordre des moyens didacti-ques.

Les machines a fonction peuvent s'appliquerautant aux fractions qu'aux nombres entiers; en

effet, meme si la presentation graphique differeparfois, Ie principe est Ie meme.

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4 --e-. 2

---e---. ;i ~~

Dans les deux cas, la regie de fonction ou «I'ope-rateur» est: x ~; il peut s'exprimer comme unesuccession de deux operations, soit une divisionet une multiplication exprimees respectivementpar Ie denominateur et Ie numerateur. On peutevidemment avoir une regie de fonction ou un«operateur» qui utilise un nombre entier ou unefraction. Cette demarche pedagogique a I'avan-tage de ramener tout calcul de fractions a uneoperation sur des nombres entiers.

Dans cette meme ligne de pensee, il est impor-tant d'amener I'enfant a decomposer systema-tiquement une fraction en deux operations. Cettedecomposition simplifie grandement Ie problemepose par la comprehension du concept de frac-tion: elle permet de mieux saisir Ie sens du nume-

rateur et celui du denominateur par analogieavec la multiplication et la division. En effet, siune multiplication defait ce que fait une division,il en est de meme pour Ie numerateur et Ie deno-minateur: Ie premier doit etre assimile a une mul-tiplication et Ie deuxieme, a une division. L'atten-tion qu'on accordera a ces relations constitueraun solide point d' appui pour la comprehensiondes operations de multiplication et de division.

II convient de faire d'abord effectuer ces opera-tions sur du materiel concret car c'est par cesmanipulations que I'enfant enrichira sa compre-hension en interpretant Ie denominateur commeIe partage d'une unite en parties egales, et Ienumerateur comme Ie nombre de parties qu'ilfaut regrouper.

Ensuite, I'enfant peut travailler sur des represen-tations imagees de ce materiel; il peut, par exem-pie, se servir des figures geometriques usuellesqu'il divisera en parties egales. II peut memeeffectuer ces operations en utilisant une feuille

de papier et en effectuant les pliages necessai-res. La division (ou Ie denominateur) correspondalors au partage de I'unite en un nombre departies egales, et Ie numerateur indique com-bien de parties il faut regrouper.

0==1 BI I I----I _I_- I L_I_~L_I __ I L _1_ -.J

~+ 1

~ • 38 8

Ce n'est qu'apres avoir bien compris ces etapesque I'enfant travaillera uniquement so it sur desnombres, soit sur des «chaines d'operateurs»;iI sera alors amene a abstraire I'idee de fractiondes manipulations qu'il aura effectuees. Lesderniers exemples mettent aussi en evidenceI'importance de I'ordre des operations. Quand

I'enfant execute des operations concretes ousemi-concretes, quand il cherche a comprendreI'idee de fraction, il n'est nullement necessaire dedire qu'on peut changer a volonte I'ordre desoperations de division et de multiplication memesi, mathematiquement, Ga donne toujours lameme reponse.

2.5 Exploitation de la notion de rapportL'etude de la notion de rapport est une autrefagon d'accroitre la comprehension de la frac-tion parce qu'un rapport peut s'exprimer, entreautres fagons, par une fraction: 75%, (3:4), (3, 4)et ~ designent tous Ie meme rapport.

Par contre, et Ie maitre doit en etre con scient,la fagon dont on aborde certains cas de rapportspeut les rendre plus difficiles a comprendre, etmeme jeter de la confusion chez I'enfant. VoyonsIe cas suivant:

- fai 2 billes blanches pour 3 noires (%);-Ies billes sont noires dans Ie rapport de 3

pour 2 (%);-Ies % des billes sont blanches (%);-Ies % des billes sont noires (%);- fai des billes blanches et des billes noires

dans un rapport de 2 a 3 (2:3);

Comment I'enfant peut-il com prendre que dansune meme situation, on compare tant6t ungroupe d'elements a I'ensemble, et on repre-sente alors Ie rapport par une fraction (ici: %),et tant6t un sous-ensemble a I'autre sous-en-semble, et on represente ce nouveau rapportpar une autre fraction (ici: 2 pour 3 ou %)?

II faut donc prendre garde de ne pas aller incon-siderement d'une interpretation a I'autre et dene pas aborder non plus les deux simultane-ment. Consequemment, il ne fait pas de doutequ'il vaut mieux donner la priorite a la fractionconsideree comme la partie d'un tout: % desbilles sont noires.

II ne vaudrait guere mieux d'ignorer complete-ment I'autre aspect; en profitant des situationsde la vie courante, on peut aborder cette dis-tinction et ainsi approfondir Ie concept de frac-tion. A force de rencontrer des situations sem-blables, I'enfant, a la fin de ses etudes primai-res, est capable non seulement de resoudre lesproblemes qu'elles posent, mais de plus il aimea Ie faire.

II ne faut evidemment pas choisir les cas de rap-port les plus complexes qui depasseraient lescapacites d'entendement des enfants. La cons-truction et la lecture de graphiques constituentde bons moyens de visualiser un probleme oude I'examiner sous un angle nouveau.

Voici quelques cas de rapport accessibles aI'enfant de 11-12 ans:

- J'ai un sac de billes que je partage entreJacques et Marie dans Ie rapport de 1a 3.

- Les ~ de mes billes sont rouges; fenai 24, alors ...

- Si 4 crayons coutent 0,30$; combiencouteront 10 crayons?

- J'ai circule 2 12 heures a raison de80 km par heure et ma voiture con-somme 6 litres au 100 km. Alors ...

- L'examen comptait 60 questions etLouis en a reussi 75%. Combien avait-il de bonnes reponses?

2.6 Utilisation du tableau de fractionsToujours dans Ie meme esprit de tirer profit deI'environnement de I'enfant pour lui permettrede decouvrir Ie concept de fraction, ou pourraitegalement traiter les fractions sous forme decouple de nombres. Les reglettes Cuisenaire outout autre materiel semblable constituent, a cetegard, un bon moyen de concretiser la notionde fraction. II suffit de choisir un batonnet; en Iecomparant a un autre pris comme unite, on de-termine une fraction.

~-J I +- vebrte

rune +Iii i i i

I I I I II I I I I

On a cache 2 des 4 partiesde la bande.

la bande verte peut recouvrir~ de la bande brune8

Avec Ie «tableau de fractions», on peut attein-dre sensiblement Ie meme objectif puisqu'onretrouve un peu Ie meme principe qu'avec lesreglettes. De plus, I'enfant peut utiliser ce pro-cede en se construisant du materiel ou meme en

travaillant a partir d'illustrations; il devra cepen-dant manipuler ce materiel avec une grande pre-cision, sinon les resultats de ses operationspourraient etre fausses.

12

1"4

1 I I I I8"1 I I3

15"

1 I I I I10

Le plus souvent, Ie tableau de fractions s'arretea une unite, ce qui com porte un certain incon-venient; ou pourrait tout aussi bien I'etendre a2, 3 ou 4 unites. Ce defaut est moins importantquand on utilise ce tableau pour I'un des objec-tifs suivants: comprendre la notion de fraction(~correspond a une partie sur quatre d'uneunite prealablement choisie); concretiser lesvaleurs respectivesde deux fractions (~ < YJ);comprendre Ie sens des operations sur les frac-tions.

2.7 Utilisation de la droite numeriqueLe tableau de fractions utilise des ban des depapier auxquelles on attribue arbitrairement lavaleur d'une unite. Si on ajoutait cote a cote quel-ques unites, on obtiendrait quelque chose detras sembi able ala droite numerique.

Le plus souvent, les quantites dont on se sertpour enseigner les fractions sont comprisesentre zero et un. II convient donc d'exploiter les

situations permettant I'usage de fractions supe-rieures a I'unite pour que I'enfant saisisse Iecaractere illimite de cet ensemble de nombres.Or la droite numerique est un bon moyen d'assu-rer cette extension. Nous croyons cependantopportun d'en prevenir un usage abusif par lesreflexions suivantes.

Pour un enfant, que peut representer la droitenumerique au point de vue conceptuel? Onarrive a s'en servir assez efficacement avec lesnombres naturels: I'enfant reussit a imaginercette correspondance biunivoque entre cetensemble de nombres et celui de points sur ladroite. Peut-il etablir les memes relations avecI'ensemble des nombres rationnels?

Parfois, on dit que Ie 1 est la distance entre Iezero et Ie un; a ce moment-la, Y; representeY; de cette distance; cette transition est assezfacile. Par contre, on dit aussi que Ie 1 n'estque Ie point situe a I'extremite d'une distanceunitaire; que peut alors representer Y; dans latete de I'enfant de neuf ou dix ans? On pour-rait soulever ici Ie cas des operations qu'oneffectue souvent a partir de ce materiel.

II faut donc s'en servir prudemment, sans exage-ration et surtout pas avant qu'une idee valablede la fraction ne se so it structuree chez I'enfant.II faudrait en faire principalement un sujet d'ex-ploration ou en favoriser un apprentissage detype intuitif.

2.8 PourcentageLe pourcentage est une categorie particulierede rapports OUla base de comparaison est 100:10% signifie 10 par tranche de 100 ou dix pourchaque cent (10:100). Ainsi, tous les problemesde pourcentage pourraient etre traites commeune recherche de fractions equivalentes. Parexemple, pourtrouver 8% de 15, ou pourrait dire:si j'ai 8 par tranche de 100, combien ai-je pour15?

8100

~ ou 8 : 100 = x : 1515

Cependant, 10% est egalement une notationpour 1r,00, ]I, 0 ou 0,1. La plupart des activitesde commerce utilisent souvent des pourcenta-ges que I'on peut ramener a une fraction simple(20%, 10%, 33~%, 50%, etc.). Chercher Ie pour-centage d'un nombre donne est habituellementconsidere comme une operation impliquant des

fractions. Le pourcentage est donc un type derapport que I'on traite Ie plus souvent commeune fraction:

1L x 15 = 8 x 1§ = 1 20100 100'

Les activites de commerce ne sont pas seule-ment d'excellentes applications de notions rela-tives aux fractions; elles permettent une acqui-sition plus vigoureuse de tout un vocabulaireque I'enfant connalt vaguement pour I'avoir vua maintes reprises: rabais, solde, vente, reduc-tion, taxe, interet, etc.

Le fascicule G sur les mesures traite, entre au-tres, des probabilites; il faudrait s'y referer pourune etude plus approfondie du sujet.

Nous desirons cependant rappeler que touteprobabilite peut s'exprimer par une fraction sousla forme a/b; d'ailleurs, la probabilite qu'un eve-nement se produise ne se situe-t-elle pas entreo et 1?

«J'ai 1 chance sur 8 de gagner ... »

«(1: 8),...!.., 12,5% ou 0,125)8

«I'operation reussit dans 9 cas sur 10 ... »

(--fa)

Cependant, si une fraction illustre bien une pro-babilite, s'il est possible de trouver une proba-bilite equivalente a une autre de la me me ma-niere qu'on trouve une fraction equivalente, ilfaut etre bien conscient qu'une fraction repre-sentant une probabilite n'obeit pas necessaire-ment aux memes regles en ce qui concerne lesoperations.

3Egalite et inegalite de fractions3.1 Fractions equivalentesAu point de vue mathematique, Ie nombre ration-nel marque un rapport entre deux nombres en-tiers, rapport qui peut s'exprimer de diversesfaeons. Comme toute fraction exprime un rap-port et que plusieurs rapports peuvent s'egalermeme s'ils sont exprimes au moyen de fractionsdifferentes, un ensemble de fractions differentesexprimant Ie me me nombre rationnel formentune classe d'equivalence et ces fractions sontdites equivalentes.

Percevoir Ie nombre rationnel comme une c1assed'equivalence exige une capacite d'abstractionsuperieure a celie de la moyenne des enfants.Aussi faut-il developper avant tout I'idee de frac-tion (voir chapitre 2) sans recourir au conceptabstrait du nombre rationnel, lequel n'est passtrictement un objectif de I'enseignement mathe-matique a I'ecole primaire.

Par contre, I'enfant peut tres bien comprendreque des fractions peuvent representer unememe quantite ou une meme realite, que desfractions peuvent etre equivalentes; pour attein-dre cet objectif, on peut placer I'enfant en situa-tion d'observation d'un phenomene et de decou-verte de proprietes.

L'equivalence de deux fractions do it etre quel-que chose que I'eleve construit, manipule, cons-tate ou voit apparaHre a partir d'une unite choi-sie au depart. Comme pour la comprehensionde la notion de fraction, I'enfant peut decouvrirla notion de fraction equivalente a I'aide de mate-riel concret: une feuille de papier, par exemple,permet de construire par decoupage et par plia-ge I'egalite entre Y2 et % ou re.

0_--1 8---1I ----II II II I___ J J

§---i

___JII---~I--_-II___ J

~

-T--II I_.L_ ...•I II I-+--iI I

_!._J612

8===1---,___-13"6

Le tableau de fractions que nous avons presenteau chapitre precedent est un autre materiel fortpertinent pour I'apprentissage de I'equivalenceentre diverses fractions. L'enfant qui a deja cons-truit son tableau peut s'y referer pour com parer

deux ou plusieurs fractions; si I'observation al'oeil n'est pas suffisante, I'enfant peut alorsmesurer chacune a I'aide d'une bande de pa-pier ou de toute autre unite de mesure.

UNITEI I I1 2 7 3

"2 310 "4

Ce type d'exercice est d'autant plus importantqu'il permet de passer de la manipulation demaUniel a une premiere forme de symbolisme.L'enfant do it pouvoir identifier une fraction a par-tir d'une illustration mais il do it egalement etrecapable d'effectuer lui-meme des fractionne-ments sur ses propres illustrations a partir d'unefraction donnee. L'egalite des fractions devientalors apparente et I'enfant s'apen;:oit que la listedes fractions egales a une autre fraction pourraits'allonger a volonte.

La multiplication ou la division d'une fraction parun element neutre pour ces operations (1, %,%, etc.) permet de construire un ensemble dece que certains nomment les procedes d'ampli-fication et de simplification de fractions. Memesi cette demarche est plus formelle, elle inciteI'enfant a prendre conscience qu'on ne changepas la valeur d'une fraction en multipliant (ou endivisant) ses deux termes par un me me nombre.

1 1 X 2 1 X 3 1 X 4- --- ----2 2 X 2 2x3 2x4

1 2 3 4- = - - -

2 4 6 8

De plus, Ie maitre ne doit pas perdre de vue quela comprehension des fractions equivalentes(d'ou la verification de I'equivalence de deuxfractions) et I'habilete a trouver des fractionsequivalentes a une fraction don nee sont prea-

lables a la comprehension et a I'acquisition desalgorithmes d'addition et de soustraction desfractions; il convient donc d'accorder aux exer-cices de transformation de deux fractions aumeme denominateur tout Ie soin qu'i1s meritent.

La transformation des fractions en notation deci-male est egalement un excellent moyen de veri-fier si deux fractions sont egales: ainsi n et%-.?ont egales puisqu'on les note toutes deux0,6.

Enfin, en reference a la section 2.5, deux frac-tions considerees comme operateurs sont equi-valentes si elles produisent Ie me me effet, ou,en d'autres mots, si elles representent des«fonctions equivalentes».

2x-4X 1

2

4x-8

L'enfant decouvre ainsi qu'il existe de grandesfamilies de fractions ayant la meme valeur etque toutes les fractions de cet ensemble sontequivalentes. Pour representer cet ensemble,on utilise habituellement la fraction ayant la plussimple expression, soit celie dont Ie numerateuret Ie denominateur n'ont aucun facteur commun(autre que 1). Cependant, il ne faut pas oublierque chacune des fractions d'un ensemble defractions equivalentes peut servir pour designertel ensemble; ainsi on peut dire «Ia classe d'equi-valence fa».

Quand I'elewe a compris comment deux fractionspeuvent representer la meme quantite, on peutalors illustrer de differentes fa<;:ons ce pheno-mene. La droite numerique est un bon outil acet egard, d'autant plus qu'elle met les enfantsen contact avec des fractions superieures aI'unite; son utilisation comme moyen de repre-senter les fractions equivalentes permet aussid'amorcer I'acquisition du concept de nombrerationnel, meme si on ne Ie nomme pas speci-fiquement; elle permet finalement d'etablir unlien avec la mesure.

0-.JI

0 1-2 2

-.JI

0 1 2- -4 4 4

3 44 4

2

I I >3 4-2 2

I '>5 6 7 8 9- - -4 4 4 4 4

-.J . . I . . . . I . . . '>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1A 15 16 17 18- - - --- -------8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

3.2 Comparaison de fractionsRappelons d'abord que Ie concept de fractionsequivalentes est un concept-clef tandis que I'ha-bilete a determiner laquelle de deux fractions estla plus petite ou la plus grande represente plu-tot un objectif complementaire. La comparaisonde la valeur de deux fractions constitue en rea-lite un raffinement de la notion de fractions equi-valentes, les situations ou on applique cette habi-lete sont relativement rares tandis que les frac-tions equivalentes ouvrent la porte a d'autresapprentissages (ex.: les operations d'addition etde soustraction). II ne faut cependant pas negli-ger cette partie du programme qui, en plus deconstituer un exercice valable et fort interessant,favorise une meilleure comprehension de I'ideede fraction.

On peut mettre I'enfant aux prises avec la notiond'ordre dans les fractions des qu'il aborde I'ap-prentissage des fractions equivalentes avec Ietableau de fractions; en effet, lorsqu'il y decou-vre que deux fractions ne sont pas equivalen-tes, il observe automatiquement que I'une estplus petite ou plus grande que I'autre. II n'estpas facile de comparer des fractions dont lesdenominateurs sont des tiers, des quarts ou desdixiemes. Par contre, a I'aide de la figure 15de la page 16, on observe facilement les inega-lites suivantes:

2 < 73" 107 < 310 "4

3 > 24" "3

La droite numenque est un autre moyen quipermet a I'enfant de saisir concretement la va-leur respective de deux fractions: dans les va-leurs positives, par exemple, la fraction la plusgrande est celie qui s'eloigne Ie plus du zero.II n'est cependant pas toujours facile de diviseravec exactitude un segment de droite en par-ties egales; il est donc important de ne pas enfaire une utilisation abusive; de plus, il vautmieux construire cote a cote plusieurs draitesnumeriques ayant une meme unite que de sur-charger une meme droite de plus d'un fraction-nement.

Les premieres comparaisons de fractions porte-rant evidemment sur des fractions ayant unmeme denominateur: I'enfant aura vite observeque, plus Ie numerateur est grand, plus la frac-tion est grande. Des lors, il cherchera naturelle-ment a convertir les fractions a un meme deno-minateur et LJtilisera les procedes d'amplificationet de simplification dont nous avons parle a lasection sur les fractions equivalentes. La trans-formation de deux fractions au meme denomi-nateur est une des principales applications de lanotion du «plus petit commun multiple» donttraite Ie fascicule sur les nombres naturels.

3.3 Activites complementairesQuand I'enfant a vraiment compris la notiond'egalite ou d'inegalite entre fractions, il peutdevelopper ses habiletes en calcul. C'est ainsi

que pour verifier I'equivalence de deux fractions,il sera amene a utiliser la technique qu'il estconvenu d'appeler Ie «produit croise», et qui

repose sur Ie principe qu'une equation demeurevraie si on multiplie ses termes par un memenombre.

.----- tout comme ------I3 64 8

34 X (4 X 8) ; X (4 X 8)

De fa<;:onplus formelle, on dit que deux fractions(% et %) sont equivalentes si, et seulement si,les produits en diagonale de leurs termes sontegaux.

~~64-~8

3x8=6x4

Voici enfin cinq tableaux (pp. 20-21) qui permet-tent de reperer les fractions de me me valeur;notons que ces tableaux sont des fa<;:onsde dis-poser les nombres afin de mettre les fractionsequivalentes en evidence, mais ils ne sont pastous destines a permettre aux eleves de mieuxcomprendre la notion de fractions equivalentes.

Les figures 20 et 23 presentent des tableaux fortsemblables. Les fractions equivalentes appa-raissent cependant plus clairement dans la pre-miere puisqu'elles sont situees sur une memeligne; la figure 23 a I'avantage de contenir poten-tiellement to utes les fractions. En fait, les pointsqui apparaissent a la figure 20 correspondent aucoin supperieur droit de chaque fraction de lafigure 23.

La figure 21 est un tableau de fractions sembla-ble a celui dont nous avons deja parle. On pour-rait Ie continuer a I'infini, mais il n'est pas neces-saire d'y representer tous les nombres du deno-

minateur: on se limite habituellement aux pre-miers multiples de 2, 3 et 5. L'enfant peut y tra-vailler avec des languettes de papier, des ficellesou des regles a mesurer puisque deux fractionssont equivalentes si elles occupent Ie memeespace depuis I'origine.

Dans la figure 22, la caracteristique des frac-tions equivalentes est de passer par un memepoint de la ligne verticale; on observe que plusune fraction s'approche de 1, plus elle s'eloignevers Ie haut ou vers Ie bas, et qu'en fait, les frac-tions equivalentes a 1 (11" %, etc.) determinentautant de paralleles a la ligne verticale: c'est Iesens du mot <<limite»sur la figure.

La figure 24 est un tableau de multiples de 2vers la droite et de 3 vers Ie bas; I'eleve seconstruit des cles sembi abies a celles qui sontpresentees au bas de la figure; placee n'importeou, une cle permet de lire des fractions equiva-lentes.

8

7

6

5

4

6(a la limite: 1) 3"7

2 28'

unite7 i i i i i

1 1 1 1 1 2 3 4 7"8 5 4 "3 "2 "3 4 5 8

6 6 6 6 6 6 61" 2 :3 4 5 6 7

5 5 5 5 5 5 51" 2 3 4 5 6 7

4 4 4 4 4 4 41" 2 3 4 5 6 7

3 3 3 3 3 3 3,- "2 :3 4 5 6 7

2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1,- 2 3 4 5 6 7

x 2

X3rEf1 2 4 8 16 32 64

3 6 12 96 192

9 18 36 288 576

27 54 108 1728

81 162 324 648 1296 2592 5184

exemples de cles

II peut etre egalement interessant et enrichissantpour I'enfant d'ordonner des ensembles de frac-tions dont un ou les deux termes varient de fa<;:onreguliere comme dans les exemples suivants:

_1234563'3'3'3~3'3""

De plus, comme la partie non entiere d'un quo-tient peut etre exprimee sous forme de fraction,sous forme de reste ou en notation decimale,I'observation des relations entre ces modesd'expression presente certainement un grandinteret.

_1 1 1 1 1 12'3'4'5'6'7""

_1234562'3'"4'5'6'7""

5-;-.4 1 R 1 1-.!- 1,25, 4

6-;-.4 1 R 2 1~ 1,54

7-;-.4 1 R 3 1~ 1,754

8-;-.4 2RO 2 2,09-;-.4 2 R 1 2..!... 2,254

10-;-.4 2R2 23- 2,5.4

Finalement, on obtient une fraction decimaleequivalente a une fraction «ordinaire» en divi-sant son numerateur par son denominateur. Or,I'enfant apprend vite a comparer des fractionsdecimales parce qU'elles suivent la meme struc-ture de numeration que les nombres naturelset parce qu'il les utilise frequemment dans lesmesures. La transformation d'une fraction en

notation decimale est donc un autre moyen pourI'enfant de saisir la comparaison de fractions.II pourrait meme utiliser une calculatrice poureffectuer cette transformation; cet appareil aI'avantage de mettre I'enfant en contact avecdes fractions moins habitue lies, ou inaccessiblessans cet outil.

Placer les fractions suivantes en ordre croissant

2 5 11 7 7 3 4- , , , , , , -3 8 18 11 12 5 7

or2 = 0,6 7 = 0,5833 12

5 = 0,625 3- 5" = 0,68

11 - 4- = 0,61 - = 0571 ...18 7 '

7 = 0,63-11

donc

4 7 3 11 5 7 27 < 12 < 5 < 18 < -< 11 < 38

L'utilisation de la calculatrice dans une telle pers-pective est certainement susceptible d'enrichirla formation de I'enfant puisqu'il pourra plus faci-lement aborder d'autres types de probh3mes.Par exemple, il peut chercher des regularitesdans Ie developpement decimal de fractions et,plus particulierement, les cas speciaux qui cons-tituent les tiers, septiemes, neuviemes et treizie-

meso II peut egalement resoudre des problemesa solutions multiples comme celui de trouverplusieurs fractions qui soient comprises entredeux fractions donnees. Par exemple, peut-ontrouver cinq fractions comprises entre % et Y3?Comme % = 0,4 et Y3 = 0,3, on trouve facile-ment les solutions suivantes:

~ 170,34

100 50

35 70,35

100 20

36 90,36100 - 25

0,37 ~100

190,3850

0,344 =

4Nombres decimaux4.1 Importance des nombres decimauxNous avons vu precedemment qu'un nombrerationnel peut s'ecrire sous forme de couple, ennotation decimale ou en pourcentage; selon Ietype de situations que I'on rencontre, I'un ouI'autre de ces symbolismes est utilise, chacuncomportant ses champs d'application et sesavantages.

Le programme precise qu'un fort accent doit etremis sur les nombres decimaux d'autant plus queIe Quebec a maintenant adopte Ie Systeme inter-national d'unites de mesure; si, auparavant, onrencontrait les nombres decimaux surtout dansles activites de commerce ou les fractionne-ments de gallons d'essence, ils sont aujourd'huiimplantes dans tous les secteurs de notre envi-ronnement.

Chacun des fascicules du guide pedagogiquetraite d'un des themes du programme et, dansce fascicule-ci, les nombres rationnels ecritssous la forme decimale occupent un chapitreparticulier. L'enseignement n'est heureusemeritpas si morcele et I'apprentissage des nombresdecimaux pourrait etre plus egalement repartiIe long de I'enseignement primaire, se debarras-sant ainsi du caractere marginal ou occasionnelqui I'a longtemps marque.

Malgre ces considerations, il est vraisemblableque les nombres decimaux n'elimineront jamaisles fractions du type a/b, et il existe des situa-tions au I'utilisation des algorithmes de calculest plus pratique et plus simple avec des frac-tions sous forme de couple qu'avec des frac-tions en notation decimale. (ex.: operation dedivision, expression d'une probabilite, etc.)

Finalement, exception faite d'activites specifi-ques concernant la recherche de regularites, onne devrait pas depasser I'ordre des milliemes aucours de I'apprentissage des nombres deci-maux. Pour les nombres decimaux illimites, ilsuffit de considerer les trois premieres decima-les, d'une precision habituellement suffisante.

4.2 Fractions decimalesLes fractions decimales constituent une classeparticuliere de fractions au Ie denominateur estcompose de dixiemes, de centiemes au de mil-

liemes. Cette expression designe une ecrituredifferente de la notation decimale (ex.: 0,4) aules chiffres prennent une valeur selon un sys-teme de numeration positionnelle. L'apprentis-sage des nombres decimaux doit reposer surune bonne comprehension des fractions deci-males (r,o = 0,4).

II est donc important de multiplier les activitespermettant a I'enfant de mieux maltriser ce sous-ensemble de fractions. Ces activites pourraientmeme s'incorporer a celles qui sont prevuespour I'apprentissage des fractions: on pourrait,par exemple, transformer les fractions simplesqui s'y pretent en fractions decimales puisqu'ils'agit la d'un cas particulier de recherche defractions equivalentes.

4.3 Notation decimaleL'expression d'une fraction dans sa notationdecimale s'effectue generalement sans difficulteparce que cette conversion repose sur Ie sys-teme de numeration appris lors de I'apprentis-sage des nombres naturels. Pour faciliter cepassage, on peut utiliser deux types d'appro-ches a la fois distinctes et complementaires. Oubien I'on developpe une approche s'appuyantsur I'esprit deductif de I'enfant, au bien I'onamene ce dernier a induire les notions sous-jacentes a la notation decimale d'une fraction.

Dans Ie premier cas, il convient de revoir lesprincipes de la numeration dans les nom-bres naturels et de presenter ensuite I'ecri-ture des nombres decimaux comme uneextension de la premiere.

8x8 x8 x

10 = 801 = 8110 = 0,8

II faut alors presenter Ie role de la virgule commecelui d'un pont, d'une barriere au d'une limiteentre deux parties d'un meme nombre, soit entresa partie entiere et sa partie fractionnaire. Ainsi0,8 represente et se lit zero entier et huit dixie-meso La decomposition d'un nombre en puis-sances de dix, qui a ete utilisee pour les nombresnaturels, devient ici une aide precieuse danscette approche puisqu'elle illustre bien I'aspect

«extension» de la numeration des nombres deci-maux.

123 = (1 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1)123,45 = (1 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1) +

(4 x ;;'0) + (5 x ;;'00)

Pour Ie deuxieme modele, qui est plutOt detype inductif, il s'agit de presenter a I'enfant uneventail, Ie plus grand possible, de situationsau I'on rencontre les nombres decimaux. DeI'observation et de I'analyse de ces exemples,I'enfant est amene a induire les principes etmodalites de I'ecriture des nombres decimaux:

* tel objet coOte 1,25 $;* a sa naissance, Ie bebe pesait 3,970 kg;* en partageant un dollar entre quatre person-

nes, chacun reGoit vingt-cinq cents (0,25 $);* la tail Ie moyenne des eleves d'une classe est

de 1,35 m;* tel coureur a gagne la course avec un temps

de 10,535 s;

4.4 Division de deux nombres naturelsNous avons surtout traite jusqu'ici les fractionsque I'on peut transformer exactement en frac-tions decimales. Pour les fractions qui ant undeveloppement decimal illimite, il convient den'utiliser que les trois premieres decimales quien fournissent une approximation relativementprecise. Ainsi, on peut ecrire Ya = 0,333, si onaccepte que 33%99 est approximativement egala 337'1' 000.

1 3333 999

333 "" 333999 1000333 "" 0 3331000 '

Nous avons vu precedemment qu'une fractionsous la forme a/b peut exprimer I'operation dedivision de son numerateur par son denomina-teur. L'enfant comprend vite cette notion quandI'operation s'effectue sans reste, comme dans~ = (4 -;- 2) = 2. Par contre, il sera sceptiquesi on lui presente un cas au la division compteun reste; il serait alors avantageux de I'amenera exprimer tout reste d'une division sous la formedecimale.

3,0001•....•8 _?_1__ 0,375

60564040o

1,0001_6__~_0,166403640364

3 decimales, on negligeIe dernier reste.

A quelques reprises, nous avons utilise commeexemple des huitiemes. II existe quelques frac-tions simples comme celles-Ia dont il est interes-sant d'observer la transformation en notationdecimale et nul doute que I'enfant a grand avan-tage a memoriser certaines de ces equivalen-ces.

0,333 = 33 _1 %3

0,375 = 37,5%

2 14 2

5Operations sur les fractions5.1 Notion d'operationAu cours de son apprentissage des nombresnaturels, I'enfant aura ete amene a comprendreIe sens d'une operation mathematique a partirde maintes manipulations et explorations. Sansreprendre a ce sujet Ie contenu du fascicule C,sur les nombres naturels, il nous apparalt impor-tant de preciser qu'au cours de son initiation aucalcul, I'enfant devra avoir etabli la relation entreune operation concrete et une operation mathe-matique.

Or, les experiences concretes, qui auront ap-puye I'acquisition du concept d'operation parrapport a I'ensemble des nombres naturels, faci-literont grandement I'apprentissage des opera-tions avec un autre ensemble de reference, celuides nombres rationnels. Ici, I'enfant pourra con-centrer Ie gros de ses efforts dans la pratiquedes operations comportant des fractions. II devradecouvrir, comprendre et assimiler les reglesqui lui permettront d'effectuer des operations; end'autres termes, il devra «apprendre, apres jus-tification de toutes les demarches, a procederd'une certaine fayon pour s'assurer que les re-sultats seront bons» (1).

Au chapitre 2, nous avons insiste sur I'impor-tance de presenter la fraction comme un nombretransformable par une operation. Nous verrons,dans ce chapitre, les difficultes particulieres dechaque operation, compte tenu du fait que I'em-phase sera mise sur Ie «comment resoudre»un probleme du type de ~ + /{J.

5.2 Addition et soustractionL'addition et la soustraction de fractions sontdeux operations dont I'enfant comprend facile-ment Ie sens, sans doute par analogie avec lesnombres naturels: deux nombres representantdes quantites quelconques (en I'occurence, aumoins un des nombres sera non entier) peuvents'ajouter I'un a I'autre pour determiner un troisie-me nombre. La soustraction, quant a elle, sup-pose la reversibilite de cette operation.

(1) MIALARET, Gaston. L'apprentissage des mathemati-tiques. Dessart, Bruxelles, 1967, P.65.

La meilleure situation pedagogique, on I'admet-tra facilement, est celie qui permet a I'enfant dedecouvrir par lui-meme les notions et algo-ri thmes sous-tendus par une operation. PourI'addition ou la soustraction, quelles methodespermettront Ie meilleur apprentissage?

II convient certes de commencer avec des addi-tions de nombres naturels et d'ajouter progres-sivement des elements moins connus. L'addi-tion d'un nombre naturel et d'une fraction nepose generalement pas de difficulte, pas plusque I'addition de deux fractions ayant une memedenominateur; pour ces cas simples, I'enfantaura naturellement decouvert les regles avantmeme de se mesurer a ces operations a I'ecole.

~+~=~333

1 + 12

1~2

On peut amener I'enfant a effectuer des opera-tions de fractions a partir d'un materiel ordinaire,d'illustrations. Meme s'il ne quantifie pas avecexactitude Ie resultat de cette operation, il ob-

serve alors' qu'il peut eventuellement obtenir unresultat qui depasse I'unite, et que tout problemepossede une solution.

Quand I'enfant cherche des elements de solutiona un probleme comme % + ~, Ie maitre peut luifournir des moyens qui lui permettront de veri-fier et de generaliser ses decouvertes. Le ta-bleau de fractions, par exemple, est un materielapproprie qui amene I'enfant a utiliser les frac-tions equivalentes; un retour sur les activitesavec les multiples et les communs multiples dedeux nombres mettra en evidence Ie role predo-minant des denominateurs pour les operationsd'addition et de soustraction de fractions.

La droite numerique, compte tenu des reservesque nous avons deja exprimees (pp. 13-14), peut(dans certains cas) rendre ces operations plusconcretes.

Enfin, quand I'enfant aura decouvert les princi-pes et regles generales des additions et dessoustractions avec fractions, Ie maitre pourraitrevoir avec lui les differentes cas qu'on peutresoudre de plus d'une faGon; cela pourrait com-prendre en substance les cas suivants:

_ 2 nombres entiers exprimes sous formede fractions;

- 1 nombre entier et une fraction;- 2 fractions avant un meme denominateur;- 2 fractions avant des denominateurs diffe-

rents mais dont I'un est un multiple de I'autre;- 2 fractions dont les denominateurs n'ont pasde facteur en commun sauf 1:

1 + 13

,21 + 1 1 ,2 3

* 11 2 1+ 4,

3

Cette revue des differents cas (qui ne sont pasnecessairement en ordre de difficulte croissante)

permettra a I'enfant d'unifier I'ensemble desdemarches utilisees jusque-Ia et de developperdes habiletes de calcul. L'addition de fractionsaux denominateurs differents constitue certesla pierre d'achoppement de cet apprentissage;la resolution d'un tel probleme exige la coordi-nation de plusieurs operations: trouver les mul-tiples de chaque denominateur; determiner uncommun mUltiple et, de preference, Ie plus petit;transformer chacune des fractions au me medenominateur; additionner les numerateurs, etfinalement, s'il y a lieu, simplifier les resultats.

Cette complexite met en evidence I'importancede n'utiliser que les fractions les plus simpleset les plus usuelles. Par ailleurs, un enfant peutpreferer utiliser un commun denominateur qui nesoit pas Ie plus petit. Cette methode parait - acertains egards - simple, mais elle impliquesouvent un plus gros denominateur et donc unresultat qu'i! est possible de simplifier; memesi cette simplification peut presenter des avan-taqes, elle n'est pas necessaire puisque I'equa-tion )14 + Y6 = 1%4 est tout aussi juste que celle-ci: ){ + .Y6 = 7hL'addition de trois fractions aux denominateursdifferents constitue un excellent exercice d'ap-plication des methodes de calcul et des notionsacquises; il s'agit aussi d'une bonne occasionde mettre en evidence les proprietes de commu-tativite et d'associativite de I'addition.

Finalement, les soustractions de nombres frac-tionnaires (3 % - %) comportent parfois des dif-ficultes et meritent qu'on leur accorde un peud'attention. On pourrait profiter de I'occasionpour transformer les termes en expressions frac-tionnaires, et, s'il y a lieu, I'expression fraction-naire du resultat en nombre fractionnaire, com-me dans I'exemple suivant.

82-- 5~=33_234 4 4 4

104

1=2-2

II ne s'agit pas pour autant d'eliminer systemati-quement les soustractions qui comportent desemprunts; I'un et I'autre procede constituent desapproches complementaires qui enrichissent laformation de l'eh3ve.

5.3 MultiplicationEncore une fois, no us croyons qu'il convientd'etablir I'analogie entre les nombres naturels etles nombres rationnels en ce qui concerne lamultiplication. C'est Ie meme principe mathema-tique puisque deux nombres sont relies par unefonction (operation) et produisent un autre nom-bre. De plus, quand on la represente graphique-ment ou qu'on I'applique a une situation con-crete, on observe que les deux facteurs ne jouentpas Ie meme role selon qu'i1s sont multiplicateurou multiplicande.

En fait, c'est toujours la meme dualite entre Iemodele physique et Ie modele mathematiqued'une operation; cette apparente opposition

permet cependant de developper certains proce-des susceptibles de renforcer chez I'enfant lanotion de fraction.

Le langage est un element qui peut denouer Iedilemme et faciliter I'apprentissage de cette ope-ration. Ainsi, iI est plus facile de comprendre Iesens de:

- <destrois quarts de 12» que Cf4 X 12)- «quelle est la moiM de 1/4» que (112 X 1/4)

II est donc important d'amener I'enfant a decrireverbalement les operations qu'il doit effectuer.

8x~4

D

Le tableau de fractions, dont nous avons dejaparle, est un autre procede qui permet d'accrol-tre la comprehension et la pratique de la mul-tiplication bien que cela exige une grande pre-

cision en ce qui concerne sa manipulation. IIs'agit la d'une activite semblable a celie qui con-siste a effectuer des pliages successifs sur unefeuille de papier choisie comme unite.

-----,----- ....IIIIIIIIII

'"-_--' .J

D-----l_____JI I

I I II I II I II I IL.. .I .J

~~~2AJ~4 ~-------------------------1LJLJ .J

On peut egalement utiliser un autre sens de lafraction (voir section 2.4) et presenter la multi-plication comme une succession de deux opera-tions, soit une division suivie d'une multiplica-tions; ainsi, I'operation 8 x 7\1 peut etre presen-tee comme8x7\l=8 (-0-4) (x3)=6ou 8 (-0- 4) = 2et 2 (x 3) = 6

Enfin, on peut utiliser les «machines a fonction»qui illustrent la fraction comme une fonction ouun operateur pouvant transformer une quantite;indirectement, I'enfant revoit I'ensemble desmethodes de calcul qu'il a developpees jusqu'iciet se construit finalement un algorithme qu'ilpourra appliquer de fa<;:onplus generale a tousles cas de mUltiplication.

2 x~·(2x)~; ~X~41'4214

5.4 La division comme operationinverse de la multiplication

La division de fraction represente un cas parti-culier en ce sens qu'on n'en facilite guere la com-prehension en la presentant comme une sous-traction sucoessive. On ne peut donc etablirqu'avec prudence I'analogie avec les nombresnaturels. Quelle que soit notre demarche peda-gogique en classe, la division de fractions de-meure une operation difficile a concretiser etdont Ie resultat n'est pas evident dans tous lescas.

Comme la division est une operation fondamen-talement complexe, iI convient de la dissequeren etapes que I'enfant peut resoudre par lui-meme. II est interessant en ce sens d'amenerI'enfant a observer ce que produit sur la valeurd'une fraction Ie fait de diviser ou de mUltiplierun de ses termes par un nombre entier. Ainsiil pourra deduire qU'on rend une fraction plusgrande en multipliant son numerateur ou endivisant son denominateur, et qu'on la rend piuspetite en effectuant les operations inverses.L'enfant doit bien comprendre la division d'unefraction par un nombre entier avant d'aborderla division de deux fractions.

L'enfant a deja appris que la division est I'ope-ration inverse de la mUltiplication: comme5 x 2 = 10, alors 10 -0- 5 = 2 ou 10 -0- 2 = 5. IIconvient certainement de s'appuyer sur cesnotions acquises et de demander a I'eleve defaire I'operation inverse de 5 X '2f3 == 1%; il pourratrouver que 1% -0- 5 == '2f3 ou que 1% -7- 213 == 5.

Cette decouverte, en apparence simple, contientcependant tous les elements qui permettront aI'enfant de decouvrir et de comprendre les meca-nismes de calcul de cette operation complexe.II ne faut d'ailleurs pas se leurrer car pas piusI'eleve de I'enseignement secondaire ou colle-gial que I'enfant de I'ecole primaire, et en realitepas plus que I'adulte, n'arrivent facilement acomprendre toute I'abstraction de cette opera-tion.

On peut ensuite suggerer a I'enfant de reprendreson travail en changeant 5 par son equivalenty,: il aura alors y, x % = '%

donc 10/3 -'- 5/1 = 2/3et 10/3 -;- 2/3 = 511 = 5

L'enfant aura alors sous les yeux les fondementsde I'algorithme de division meme s'il n'a utilisejusque-Ia que des notions qu'il possedait deja.Guide par Ie maitre, il lui faudrait revoir les me-mes notions avec des exemples simples, illus-trer ou decrire I'operation demandee afin d'enmieux saisir Ie sens; ainsi calculer (1 -;- X) equi-

vaut a chercher combien de fois un quart defeuille entre dans une feuille complete.

L'enfant aura finalement trouve une methode decalcul qui ne sera pas necessairement la memeque celie de son voisin et qui peut me me ne pasconstituer une regie generale.1I est donc avanta-geux que maitre et eleves revoient ensemble lesdifferents cas de division et les algorithmes pos-sibles. En terminant ce chapitre, nous presen-tons les trois principaux algorithmes qui permet-tent de resoudre une division de fraction.

Division terme a terme: au besoin, on trouveune fraction equivalente a % qui permette les 2divisions.

On ramene les deux fractions au meme denomi-nateur, qU'on ramene ensuite a 1; on exprime ladivision des deux numerateurs sous forme derapport.

On multiplie la premiere fraction par I'inverse dela deuxieme.

GJ:0_.5 . 3

~10 . 3

18 2

~910

6 2~-.18 230 3

12 . 1015 ""'-15

12 x 1515

10 x 1515

12 6= ffiOUs

4 2 4 3--'---=-x-5 . 3 5 2

6Operations sur les nombres decimaux6.1 Egalite et inegalite de nombres

decimauxQuand on aborde cette notion, il suffit de rap-peler a la plupart des enfants la numeration avecles nombres naturels; d'autres sont embarras-ses par Ie comparaison de deux nombresn'ayant pas Ie meme nombre de decimales. II

faut alors revenir sur Ie role des «0" dans lesnombres naturels pour ensuite permettre auxenfants d'extrapoler en appliquant leurs obser-vations aux nombres rationnels.

placer Ie signe410 0 410,00 3,19 0 3,2qui convient

345,6 0 34,56 1,22 0 1,190<- 23 0 23,001 0- 2,002 2,1>

2,4 0 2,40 0,2 0 0,201

Afin d'attirer I'attention de I'enfant sur la valeurde position, on peut lui demander de decompo-ser les nombres en puissances de dix ou, plussimplement, d'amener tous les nombres a unememe quantite de decimales en ajoutant des«0" au besoin.

Soulignons, enfin I'interet qu'il y a a partir decas simples et de graduer les difficultes pourfinalement comparer des nombres dont la nota-tion se ressemble; ces activites attirent I'atten-tion sur la structure de la valeur positionnelle etaccroissent ainsi la comprehension de la nume-ration decimale en general.

6.2 Addition et soustractionDes que I'enfant a compris qu'on utilise une vir-gUle pour separer la partie entiere de la partiefractionnaire d'un nombre, il decouvre a I'aide desituations simples et concretes qu'il faut alignerles unites pour effectuer une addition ou unesoustraction. L'algorithme n'est alors qu'une

extension du calcul sur les nombres naturels;aussi nous ne traiterons que tres brievementde ces operations.

II faut tendre dans la mesure du possible a relierces apprentissages au vecu de I'enfant en fai-sant intervenir des unites de mesure, de mon-naie, etc. L'estimation des resultats joue un roleimportant dans la comprehension de ces ope-rations car, en essayant de determiner I'ordre degrandeur du resultat, I'enfant do it obligatoire-ment distinguer la partie entiere de la partie frac-tionnaire des nombres en presence. DansI'exemple 13,4 m + 3,56 m = , I'enfantqui suggere 48 m comme estimation a negligela virgule puisque la reponse ne depassera 16que de quelque peu (13 + 3).

Si les algorithmes d'addition et de soustractionde fractions sous la forme a/b ne sont pas faci-les a maltriser, et s'il faut limiter aux fractionssimples I'utilisation de I'algorithme d'addition defractions scius forme de couples, on se rend vitecompte que c'est tout Ie contraire avec les nom-bres decimaux. La notation decimale d'une frac-

tion a de plus I'avantage d'utiliser Ie meme lan-gage que la plupart des calculatrices.

Le plus important, en resume, c'est de develop-per chez I'enfant. d'abord I'habilete a estimer,et ensuite des habiletes a calculer. Pour cela,on profitera de situations variees et stimulantespour lui faire effectuer de fac;:onreguliere un boneventail d'operations, en les integrant, dans lamesure du possible, aux exercices de calcul surles nombres naturels.

6.3 MultiplicationOn doit distinguer ici deux niveaux de difficulteselon qu'un nombre decimal est multiplie par unnombre entier ou par un autre nombre decimal.Le premier cas peut etre considere comme uneaddition repetee et ne pose guere plus de diffi-cultes que la multiplication de deux nombresnaturels. Une attention particuliere doit etre ac-cordee a la multiplication d'un nombre decimalpar 10, par 100 ou par 1000; Ie developpementde cette habilete facilitera I'acquisition de I'algo-rithme de la division de nombres decimaux enpermettant d'eliminer la partie fractionnaire d'unnombre decimal.

2 x 3,75$= 3,75$+ 3,75$= 7,50$10 x 2,24 m = 22,4 m100 x 2,24 m = 224 m

Notons que ces exemples font un usage abusifdu symbolisme puisqu'on ne devrait pas retrou-ver, dans une meme proposition, des unites demesure et une operation quelconque; on devraitdire: pour trouver la longueur totale de 10 seg-ments de 2,24 m chacun, j'effectue I'operation10 x 2,24 = 22,4. Une telle utilisation est toute-fois acceptable lorsque, de fac;:onoccasionnelle,elle enleve de la confusion et permet a I'elevede mieux comprendre.

Pour bien comprendre la mUltiplication de deuxnombres decimaux, I'enfant pourrait revoir lamultiplication de fractions sous la forme a/b etpius particulierement la multiplication de frac-tions decimales. L'enfant a deja appris a passerde la forme a/10 a la notation decimale d'unefraction; en observant cette demarche, il pourradecouvrir, verifier, generaliser puis appliquerune regie lui permettant de multiplier directementdeux nombres decimaux.

~x~=~248

Dans I'ensemble des cas, et pius particuliere-ment dans ceux ou la partie entiere des facteursest differente de zero, il faut amener I'enfant aestimer I'ordre de grandeur de son produit.

On peut egalement I'amener a transformer lesnombres decimaux en nombres rationnels enutilisant une regie deja apprise.

= 25 x 3210 fO800100

=8Finalement, VOICI succinctement quelque casparticuliers de multiplication de nombres deci-

maux qui permettent de verifier ou d'appliquercertaines acquisitions ou meme de choisir lanotation d'une fraction qui rend Ie calcul plusaise:

- multiplier un nombre par 0,9- multiplier un nombre par 11; 1,1; 2,1 ...- multiplier un nombre par 0,5- multiplier un nombre par 0,25 ou 0,75- multiplier un nombre par 0,125

6.4 DivisionL'apprentissage de la division de nombres deci-maux paralt difficile quand on I'aborde par unedemarche purement technique; cependant, ilpeut devenir plus facile si on amene I'enfant a

comprendre les mecanismes de calcul pourcette operation.

II convient de revenir sur la division des nom-bres naturels et de faire prendre conscience aI'enfant de ce qui arrive au quotient quand onmultiplie Ie dividende ou Ie diviseur par 10. Ainsi,je ne change pas la valeur d'une equation de divi-sion si je mUltiplie Ie dividende et Ie quotient parIe mame nombre. Par contre, si je mUltiplie par10 Ie diviseur, je dois aiors diviser par 10 Ie quo-tient pour conserver Ie mame rapport. QuandI'enfant maitrise ces transformations, c'est-a-dire, quand iI est capable de trouver Ie bon resul-tat apres avoir effectue une transformation quirend Ie calcul plus aise, on peut I'amener a re-soudre des operat'ions plus difficiles. Guide parIe maitre, I'enfant pourra decouvrir des algorith-mes de calcul qu'il pourra verifier en les appli-quant aux cinq types de situations suivantes:

1 +524,6 +6246 +4,1125,4+4,1812,54+41,8

Finalement, I'habilete a estimer I'ordre de gran-deur de la partie entiere du quotient permet, dansla plupart des cas, de replacer la virgule au bonendroit du quotient apres avoir effectue la divi-sion sans tenir compte des virgules; d'une ma-niere plus generale, I'estimation est une habiletea developper, quelle que soit I'operation, puis-qU'elle permet de depister les erreurs de calcul.

- dans 16,72 + 4, la partie entiere du quotientsera comprise entre 1 et 9 (0 et 10, bornesexclues) car 1 < 1~ < 10

- dans 167,2 -;- 4,18, Ie quotient sera 40 car10 < 16~ < 100

- dans 17,25 + 2,3, la partie entiere du quo-tient n'aura qu'un chiffre car 1% '" 8

- dans 225,804 + 19,1, la partie entiere duquotient aura 2 chiffres car 22Y, 9 = 22%0 = 11.

L'objectif de ce fascicule etait de presenter unevue globale de I'enseignement des fractions aI'ecole primaire; nous esperons que Ie lecteury aura trouve matiere a reflexion et que chaqueeducateur profitera de cette lecture pour resi-tuer son enseignement a I'interieur de I'ensem-ble des connaissances et des habiletes que doitacquerir I"enfant dans son apprentissage desfractions.

L'enseignement des fractions a evolue en me metemps que tout I'enseignement primaire. Nousesperons que ce fascicule c1arifie suffisammentcette partie du programme pour que, dans laplanification des demarches pedagogiques, onrespecte les grandes orientations que nousavons elaborees tout en tenant compte des be-soins specifiques de chaque milieu.

Parmi ces options fondamentales, rappelons Iesouci de ne pas commencer trop t6t I'appren-tissage des fractions afin d'assurer I'adequationentre nos objectifs de contenu et Ie developpe-ment intellectuel de I'enfant, et d'etablir un equi-libre entre les activites d'assimilation de contenuet celles visant I'acquisition d'algorithmes ou neconstituant que des activites d'exploration.

Ensuite, nous ne saurions insister trop sur I'im-portance, voire la necessite, de bien faire com-prendre a I'enfant ce qu'est une fraction, dedevelopper chez lui I'idee de fraction avantd'aborder des notions plus complexes; or, cetteetape ne peut se realiser sans la comprehensionde la distinction fondamentale entre Ie sens pre-mier de la fraction (un nombre) et toutes lesapplications qu'on en fait.

Mentionnons aussi la necessite de developperchez les enfants les habiletes de calcul dans lesoperations ou interviennent des fractions; cesautomatismes sont indissociables de la compre-hension, de I'acquisition et de la memorisationdes algorithmes fondamentaux de calcul.

Finalement, nous desirons reaffirmer la placegrandissante que doivent occuper les nombresdecimaux dans I'enseignement mathematiquesans oublier, toutefois, que leur apprentissagedoit s'appuyer sur une bonne connaissance desfractions simples.