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Integrales de Trayectoriaen

Mecanica Cuantica, Mecanica Estadıstica,

Fısica de Polımeros y Mercados Finacieros

Integrales de Trayectoriaen

Mecanica Cuantica,

Mecanica Estadıstica,

Fısica de Polımeros y

Mercados Financieros

Hagen Kleinert

Profesor de Fısica

Universidad Libre de Berlın, Alemania

ICRANet Pescara, Italia y Niza, Francia

Para Annemarie y Hagen II

Nature alone knows what she wants.

Goethe

Prefacio

La version en pasta blanda de la cuarta edicion de este libro salio a la venta en elinvierno de 2008. Esto me dio la oportunidad de revisar varias partes del texto.En particular, se ha mejorado considerablemente el Capıtulo 20, sobre mercadosfinancieros, y se han eliminado varias secciones tecnicas del Capıtulo 5.

Entre muchos de los que han hallado errores de imprenta y sugerido cambios dediversas partes del texto estan el Dr. A. Pelster, Dr. A. Redondo, M. Recktenwaldy especialmente la Dra. Annemarie Kleinert.

H. Kleinert

Berlın, Enero de 2009

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Prefacio a la Cuarta Edicion

La tercera edicion de este libro aparecio en el 2004 y fue reimpresa sin correcionesese mismo ano. En la actual edicion se han ampliado varias secciones. El Capıtulo 4incluye desarrollos semiclasicos de orden superior. El Capıtulo 8 ofrece una formu-lacion en terminos de la integral de trayectoria de las partıculas en rotacion, cuyaaccion contiene un campo vectorial y un termino de Wess-Zumino. A partir de estose deduce la ecuacion de Landau-Lifshitz de la precesion del espın, la cual gobiernael comportamiento de los lıquidos cuanticos de espın. La integral de trayectoriademuestra que los fermiones pueden ser descritos por campos de Bose—la base delas teorıas de Skyrmion. Una nueva seccion presenta la fase de Berry, la cual es unaherramienta util que ayuda a explicar muchos e interesantes fenomenos fısicos. ElCapıtulo 10 introduce mas detalles sobre los monopolos magneticos y los camposmultivaluados. Otra caracterıstica de esta edicion es que las secciones mas tecnicasse imprimen con letra de menor tamano. Estas secciones se pueden omitir en unaprimera lectura.

Entre quienes han detectado errores de imprenta y me han ayudado a mejorarvarias partes del texto estan el Dr. A. Chervyakov, Dr. A. Pelster, Dr. F. Nogueira,Dr. M. Weyrauch, Dr. H. Baur, Dr. T. Iguchi, V. Bezerra, D. Jahn, S. Overesch yespecialmente la Dra. Annemarie Kleinert.

H. Kleinert

Berlın, Junio de 2006

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Prefacio a la Tercera Edicion

Esta tercera edicion del libro corrige y aumenta considerablemente a la segundaedicion de 1995:

• El Capıtulo 2 contiene una representacion en terminos de la integral de trayec-toria de la amplitud de dispersion y nuevos metodos para calcular el determi-nate funcional de los operadores diferenciales de segundo orden dependientesdel tiempo. Mas importante aun, se introduce la definicion en teorıa de campocuantico de la integral de trayectoria, la cual se basa en un desarrollo pertur-bativo alrededor de la teorıa harmonica trivial.

• Comparada con ediciones anteriores, el Capıtulo 3 contiene un mayor numerode integrales de trayectoria con solucion exacta. El capıtulo contiene tambienuna extension de las relaciones de recursion de Bender-Wu con las cuales pode-mos hallar el desarrollo perturbativo de potenciales mas generales.

• En el Capıtulo 4 se discute en detalle la aproximacion cuasiclasica de la am-plitud de dispersion y la aproximacion de Thomas–Fermi al atomo.

• El Capıtulo 5 demuestra la convergencia de la teorıa de perturbacion varia-cional. Tambien se discute aquı el caso del atomo en campos magneticosfuertes y el problema del polaron.

• El Capıtulo 6 muestra como obtener el espectro de energıas para sistemas conparedes infinitamente altas utilizando el desarrollo perturbativo.

• El Capıtulo 7 contiene un tratamiento en terminos de trayectorias multiplesde la condensacion de Bose-Einstein y los gases degenerados de Fermi.

• En el Capıtulo 10 se desarrolla la teorıa cuantica de una partıcula en un espaciocurvo, la cual se explica utilizando integrales de trayectoria definidas pertur-bativamente. Problema que se habıa tratado anteriormente unicamente en elformalismo de la particion temporal. La invarianza de la reparametrizacionimpone restricciones importantes a las integrales sobre el producto de distribu-ciones. Obtenemos reglas unicas para evaluar estas integrales, extendiendo conello el espacio lineal de las distribuciones a un semigrupo.

• El Capıtulo 15 contiene una expresion cerrada para la distribucion extremo aextremo de polımeros rıgidos valida para toda longitud de persistencia.

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• En el Capıtulo 18 se deduce el operador de la ecuacion de Langevin y laecuacion de Fokker-Planck a partir de la integral de trayectoria hacia adelante-atras. Las deducciones que se encuentran en la literatura estan incompletasy la diferencia se cerro recientemente mediante un calculo elegante del deter-minante Jacobiano funcional del operador diferencial de segundo orden condisipacion.

• El Capıtulo 20 es completamente nuevo. Introduce al lector a la aplicacion delas integrales de trayectoria al fascinante y novedoso campo de la econo–fısica.

Por un tiempo corto la tercera edicion se ha podido obtener gratuitamentevia electronica y varios lectores han enviado comentarios utiles, por ejemplo losobtenidos de E. Babaev, H. Baur, B. Budnyj, Chen Li-ming, A.A. Dragulescu, K.Glaum, I. Grigorenko, T.S. Hatamian,vidx P. Hollister, P. Jizba, B. Kastening, M.Kramer, W.-F. Lu, S. Mukhin, A. Pelster, C. Ocalır, M.B. Pinto, C. Schubert,S. Schmidt, R. Scalettar, C. Tangui y M. van Vugt. Los errores hallados se hancorregido en la edicion electronica.

Al escribir la nueva seccion del Capıtulo 2 sobre la representacion de la amplitudde dispersion en terminos de la integral de trayectoria, han sido de mucha ayudalos comentarios vertidos por R. Rosenfelder. En las nuevas secciones del Capıtulo 5sobre polarones, muchos comentarios utiles se deben a J.T. Devreese, F.M. Peetersy F. Brosens. En el nuevo Capıtulo 20, obtuve utiles comentarios de F. Nogueira,A.A. Dragulescu, E. Eberlein, J. Kallsen, M. Schweizer, P. Bank, M. Tenney y E.C.Chang.

Como ha sucedido en todos mis libros, muchos errores de redaccion fueron ha-llados por mi secretaria S. Endrias y una gran cantidad de mejoras se deben a miesposa Annemarie. Sin su permanente apoyo jamas hubiese terminado este libro.

H. Kleinert

Berlın, Agosto de 2003

H. Kleinert, PATH INTEGRALS

Prefacio a la Segunda Edicion

Desde la primera edicion de este libro, hace tres anos, se han registrado variosavances importantes en este campo que para ser incorporados al texto la presenteedicion requiere de varias extensiones.

El Capıtulo 4 contiene una discusion sobre las caracterısticas de la cuantizacionsemi–clasica, las cuales son muy utiles en el estudio de sistemas caoticos multidi-mensionales.

El Capıtulo 3 presenta un desarrollo perturbativo en terminos de los diagra-mas de Feynman, cuyo uso esta muy difundido en la teorıa cuantica de campo.Ası mismo, se establece aquı la correspondencia con la teorıa de perturbacion deRayleigh-Schrodinger. En el Capıtulo 5 se utilizan los desarrollos graficos para ex-tender sistematicamente la aproximacion variacional de Feynman-Kleinert a unateorıa variacional perturbativa. Con esta aproximacion se pueden evaluar, con unaprecision muy alta, varios tipos de integrales de trayectoria, las cuales suelen seranalıticamente complicadas. Contrario a la teorıa de perturbacion ordinaria, la cualgeneralmente diverge, los nuevos desarrollos convergen para todo valor de la magni-tud de acoplamiento, incluyendo el caso de acoplamiento-fuerte.

El Capıtulo 10 contiene un nuevo principio de accion, el cual es necesario para de-ducir correctamente las ecuaciones de movimiento clasicas en espacios con curvaturay una cierta clase de torsion (gradiente de torsion).

El Capıtulo 19 es nuevo. Esta dedicado al estudio de las integrales de trayectoriarelativistas, las cuales han sido discutidas de manera breve al final del Capıtulo 15.Como una aplicacion, se resuelve el caso de la integral de trayectoria del atomo dehidrogeno relativista.

En el Capıtulo 16 se incluye la teorıa de partıculas con estadıstica fraccionaria(aniones), a partir de la cual se desarrolla una teorıa sobre los polımeros enredados.Para esto se introducen los campos no abelianos de Chern-Simons y se muestrasu relacion con varios nudos polinomiales (Jones, HOMFLY). Se discute luego laexitosa explicacion del efecto Hall cuantico utilizando la teorıa de los aniones —tambien se discute el porque del error al intentar explicar la superconductividad dealta temperatura mediante la interaccion de Chern-Simons.

El Capıtulo 17 contiene una novedosa aproximacion variacional a la amplitudde tunelamiento. Esta aproximacion extiende la validez semiclasica del rango debarreras de potencial altas a barreras de potencial bajas. Como una aplicacion seincrementa el rango de validez de la teorıa de perturbacion de orden superior, la cualse utiliza ampliamente, al regimen de orden menor. Como un resultado obtenemos la

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posibilidad de mejorar los procedimientos de resumasion de las series perturbativasdivergentes halladas en las teorıas de campo cuantico.

El ındice contiene tambien los nombres de los autores citados en el texto. Estopuede ayudar al lector en la busqueda de temas asociados con estos nombres. Sinembargo, debido al gran numero de autores, es imposible citar a todos aquellos quehan contribuido en alguna forma. Me disculpo ante todos aquellos que no encuentrensu nombre.

Al redactar las nuevas secciones de los Capıtulos 4 y 16, las discusiones con elDr. D. Wintgen y en particular con el Dr. A. Schakel han sido extremadamenteutiles. Agradezco tambien a los Profesores G. Gerlich, P. Hanggi, H. Grabert,M. Roncadelli, lo mismo que al Dr. A. Pelster y al Sr. R. Karrlein por su reelevantescomentarios. Los errores de redaccion fueron corregidos por mi secretaria Sra. S.Endrias y por mi editor Ms. Lim Feng Nee de World Scientific.

Muchas mejoras se deben a mi esposa Annemarie.

H. Kleinert

Berlın, Diciembre de 1994


Prefacio a la Primera Edicion

El presente texto representa una extension a las notas del curso sobre integralesde trayectoria que impartı en la Universidad Libre de Berlın durante el inviernode 1989/1990. Mi interes en este tema me lleva hasta 1972 cuando el finado R. P.Feynman atrajo mi atencion al problema sin resolver de la integral de trayectoria delatomo de hidrogeno. Yo estaba entonces durante mi estancia sabatica en Caltech,donde Feynman me comento cuan apenado se sentıa por no ser capaz de hallar lasolucion de la integral de trayectoria de este sistema tan fundamental. De hecho,esto hizo que omitiera este tema de su curso de mecanica cuantica, tema que incluıainicialmente.1 Feynman me reto: “¡Kleinert, tu que entiendes todo sobre el grupoteorico del atomo de hidrogeno, por que no resuelves la integral de trayectoria!”Se referıa a mi tema de Tesis de Doctorado, terminada en 19672, donde habıa de-mostrado que todos los problemas dinamicas referentes al atomo de hidrogeno sepueden resolver utilizando las operaciones del grupo dinamico O(4, 2). De hecho, enese trabajo el oscilador armonico cuatro–dimensional tiene un papel crucial y luegose encontro que en la solucion propuesta, en terminos de la integral de trayectoria,los pasos intermedios omitidos no contribuıan significativemente y podıan ignorarse.Luego de regresar a Berlın me olvide del problema, dado que estaba demasiadoocupado utilizando la integrales de trayectoria en otro contexto, desarrollando unpuente entre la teorıa de campo de los quarks a la teorıa de campos colectivos delos hadrones.3 Despues, lleve estas tecnicas a temas de Materia Condensada (su-perconductores, 3He superfluido) y fısica nuclear. Las integrales de trayectoria hanpermitido construir una teorıa de campo unificada de los fenemenos colectivos endiferentes sistemas fısicos.4

El problema del atomo de hidrogeno regreso a mı en 1978 cuando estaba dictandoun curso sobre mecanica cuantica. Para explicar el concepto de las fluctuaciones

1Cita textual del prefacio del libro de texto de R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Me-

chanics and Path Integrals , McGraw-Hill, New York, 1965: “En los anos sucesivos, ... al dictarel curso de mecanica cuantica, el Dr. Feynman se alejo de la aproximacion inicial del uso de laintegral de trayectoria.”

2H. Kleinert, Fortschr. Phys. 6 , 1, (1968), and Group Dynamics of the Hydrogen Atom, Cursopresentado en la Escuela de Verano de Boulder en 1967, publicada en Lectures in Theoretical

Physics , Vol. X B, pp. 427–482, ed. by A.O. Barut and W.E. Brittin, Gordon and Breach, NewYork, 1968.

3Ver mis notas del curso dictado en Erice en 1976, Hadronization of Quark Theories, publicadasen Understanding the Fundamental Constituents of Matter , Plenum press, New York, 1978, p. 289,ed. by A. Zichichi.

4H. Kleinert, Phys. Lett. B 69 , 9 (1977); Fortschr. Phys. 26 , 565 (1978); 30 , 187, 351 (1982).

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cuanticas dı una introduccion a las integrales de trayectoria. En ese tiempo se unioa mi grupo, como becario Humboldt, un postdoctorante de Turquıa, I. H. Duru.Dado que el estaba familiarizado con la mecanica cuantica, le sugerı que deberıamosintentar resolver la integral de trayectoria del atomo de hidrogeno. Rapidamente sefamiliarizo con las tecnicas basicas y pronto encontramos el ingrediente mas impor-tante de la solucion. La transformacion de la dependencia temporal en la integral detrayectoria a un nueva trayectoria dependiente de un pseudotiempo, combinada conuna transformacion de las coordenadas a unas “coordenadas de raız cuadrada” (temaa ser explicado en los Capıtulos 13 y 14).5 Estas transformaciones nos llevaron alresultado correcto, sin embargo, solo por fortuna. De hecho, nuestro procedimientofue inmediatamente criticado debido a lo descuidado del tratamiento de la particiontemporal.6 Un tratamiento apropiado deberıa, en principio, haber proporcionadoterminos extras indeseables, los cuales en nuestro tratamiento se habıan omitido.Otros autores estudiaron el procedimiento de la particion temporal detalladamente,7

pero el resultado correcto se obtuvo solo despues de transformar, contradictoria-mente, la norma de la integral de trayectoria. Cuando calcule lo terminos extras,utilizando reglas estandar, encontre que estos terminos se anulaban solo en el espaciode dos dimensiones.8 El mismo tratamiento en tres dimensiones daba “correcciones”diferentes de cero que estropeaban la belleza del resultado, lo cual me dejo descon-certado.

Solo recientemente he encontrado porque el tratamiento tri–dimensional estabaerroneo. Fue al terminar un libro sobre el uso de los campos de norma en la fısica dela materia condensada.9 El segundo volumen trata con los ensembles de defectos,los cuales se definen y clasifican por medio de un procedimiento operacional de cortey pegado en un cristal ideal. Matematicamente estos procedimientos correspondena transformaciones no holonomicas. Geometricamente esta transformacion nos llevade un espacio plano a un espacio con curvatura y torsion. Mientras se realizabanlas pruebas de correccion del libro entendı que la transformacion de la integral detrayectoria que es solucion al problema del atomo de hidrogeno produce tambienun cierto tipo de torsion (gradiente de torsion). Mas aun, esto se observa solo entres dimensiones. En dos dimensiones, donde la particion temporal de la integral detrayectoria se resuelve sin problemas, la torsion no existe. De esta forma, entendıque la transformacion de la particion temporal de la norma tiene una sensitividada la torsion desconocida hasta ahora.

Era entonces esencial hallar la integral de trayectoria correcta de la partıculaen un espacio con curvatura y gradiente de torsion. Esto era un reto no trivial, yaque la literatura era ambigua incluso para el caso de un espacio unicamente con

5I.H. Duru and H. Kleinert, Phys. Lett. B 84 , 30 (1979), Fortschr. Phys. 30 , 401 (1982).6G.A. Ringwood and J.T. Devreese, J. Math. Phys. 21 , 1390 (1980).7R. Ho and A. Inomata, Phys. Rev. Lett. 48 , 231 (1982); A. Inomata, Phys. Lett. A 87 , 387

(1981).8H. Kleinert, Phys. Lett. B 189 , 187 (1987); contiene tambien una crıtica a la Ref. 7.9H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter , World Scientific, Singapore, 1989, Vol. I, pp.

1–744, Superflow and Vortex Lines , and Vol. II, pp. 745–1456, Stresses and Defects .


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curvatura, donde hay varias opciones de donde escoger. Las correspondientes ecua-ciones de Schrodinger equivalentes difieren en multiplos de la curvatura escalar.10

Lo ambiguo en las integrales de trayectoria es el analogo al problema del operador

de ordenamiento de la mecanica cuantica. Cuando intente aplicar las prescripcionesexistentes a los espacios con torsion, obtuve siempre resultados catastroficos, algunosde los cuales daban respuestas no covariantes. De tal forma que algo deberıa estarmal en todo esto. Guiado por la idea de que en espacios con curvatura constante laintegral de trayectoria debe dar el mismo resultado que el caso de un operador dela mecanica cuantica basado en una cuantizacion del momentum angular, fue en-tonces que fui capaz de encontrar de manera consistente un principio de equivalencia

cuantico para las integrales de trayectoria en espacios con curvatura y gradiente detorsion,11 con el cual se obtiene tambien una solucion unica al problema del oper-ador de ordenamiento. Esta fue la clave para resolver el problema de la integralde trayectoria de Coulomb en tres dimensiones — la demostracion de que no haycontribuciones extras debido a la particion temporal se presenta en el Capıtulo 13.

En el Capıtulo 14 se resuelven una variedad de sistemas uni–dimensionales uti-lizando la nueva tecnica.

En el Capıtulo 8 se pone un enfasis especial a los problemas de la inestabilidaden la version Euclideana de Feynman de la particion temporal de la integral detrayectoria (colapso de la trayectoria). Estos problemas aparecen cuando la accioncontiene potenciales sin fondo. En el Capıtulo 12 se desarrolla un procedimiento deestabilizacion general. El cual se debe de utilizar siempre que se tengan barrerascentrıfugas, barreras angulares o potenciales de Coulomb.12

Otro proyecto que Feynman me sugirio fue el mejorar la aproximacion varia-cional a las integrales de trayectoria, la cual se explica en su libro sobre mecanicaestadıstica13, por medio de la cual se puede obtener una solucion muy rapida. Em-pezamos el trabajo durante mi estancia sabatica en la Universidad de Californiaen Santa Barbara en 1982. Luego de algunas reuniones y discusiones, hallamos lasolucion al problema y redactamos un artıculo. Desafortunadamente, la mala saludde Feynman le impidio que pudiera revisar la version final del artıculo. Lo cual pudohacer tres anos despues, cuando visite la Universidad de California en San Diegodurante otra estancia sabatica. Solo entonces se pudo enviar el artıculo.14

Debido al reciente interes en la teorıa de redes, encontre de utilidad esta teorıapara mostrar la solucion de varias integrales de trayectoria utilizando un numerofinito de particiones temporales, sin tener que hallar inmediatamente el lımite con-

10B.S. DeWitt, Rev. Mod. Phys. 29 , 377 (1957); K.S. Cheng, J. Math. Phys. 13 , 1723 (1972),H. Kamo and T. Kawai, Prog. Theor. Phys. 50 , 680, (1973); T. Kawai, Found. Phys. 5 , 143(1975), H. Dekker, Physica A 103 , 586 (1980), G.M. Gavazzi, Nuovo Cimento 101A, 241 (1981);M.S. Marinov, Physics Reports 60 , 1 (1980).

11H. Kleinert, Mod. Phys. Lett. A 4 , 2329 (1989); Phys. Lett. B 236 , 315 (1990).12H. Kleinert, Phys. Lett. B 224 , 313 (1989).13R.P. Feynman, Statistical Mechanics , Benjamin, Reading, 1972, Section 3.5.14R.P. Feynman and H. Kleinert, Phys. Rev. A 34 , 5080, (1986).


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tinuo. Este metodo debe de ayudar a identificar efectos tıpicos de redes observadosen simulaciones Monte Carlo de diversos sistemas.

En el Capıtulo 15 se introduce la descripcion de los polımeros en terminos de laintegral de trayectoria, donde ademas se discuten tanto la rigidez como el proble-ma del volumen excluido. Se hace un paralelo con las integrales de trayectoria delas orbitas de partıculas relativistas. Este capıtulo es una introduccion al estudiopresente de la teorıa de las fluctuaciones de las superficies con curvatura rıgidaextrınseca y su aplicacion a las hojas universo de la teorıa de cuerdas en fısicade partıculas.15 Tambien he introducido la descripcion en teorıa de campo de unpolımero para su posterior aplicacion en el estudio de las diferentes transicionesde fase producidas por las fluctuaciones de las excitaciones de tipo lineal (lıneasde vortices en superfluidos y superconductores, lıneas de defectos en cristales ycristales lıquidos).16 En el Capıtulo 16 se ha puesto especial atencion a los problemastopologicos simples de los polımeros y de las orbitas de las partıculas, el ultimo de loscasos aparece por la presencia de tubos de flujo magnetico (efecto Aharonov-Bohm).Se enfatiza su relacion con la estadıstica de las partıculas de Bose y de Fermi y seintroduce el tema, recientemente popular, de la estadıstica fraccional. Se da unavision general de los fenomenos de entrelazamiento de orbitas simples y parejas deestas orbitas (lazos), lo mismo que se indica su aplicacion en biofısica.

Finalmente, el Capıtulo 18 contiene una breve introduccion a la aproximacionde la integral de trayectoria de la mecanica estadıstico–cuantica fuera de equilibrio,de donde deducimos las ecuaciones estandar de Langevin y Fokker-Planck.

Deseo agradecer a mis estudiantes, tesistas y postdoctorantes por sus utiles dis-cusiones. En particular a T. Eris, F. Langhammer, B. Meller, I. Mustapic, T. Sauer,L. Semig, J. Zaun y a los Drs. G. German, C. Holm, D. Johnston y P. Kornilovitch,quienes han contribuido con muchas crıticas constructivas. El Dr. U. Eckern dela Universidad de Karlsruhe me ha aclarado algunas particularidades sobre la de-duccion de la integral de trayectoria de la ecuacion de Fokker-Planck presentada en elCapıtulo 18. Debo muchos comentarios utiles al Dr. P.A. Horvathy, Dr. J. Whiten-ton y a mi colega el Prof. W. Theis. Su cuidadosa lectura dejo al descubiertomuchos errores en la primera version del manuscrito. Un especial agradecimiento alDr. W. Janke con quien he tenido una colaboracion muy fertil a lo largo de los anosy muchas discusiones sobre los aspectos de la integral de trayectoria.

Un agracedimiento tambien para mi secretaria S. Endrias por su ayuda en lapreparacion del manuscrito en LATEX, lo cual ha permitido la lectura del texto desdesus primeras etapas, lo mismo a U. Grimm por la elaboracion de las figuras.

Finalmente, y de manera muy importante, agradezco a mi esposa la Dra. Anne-marie Kleinert por su inagotable paciencia y constante estımulo.

H. Kleinert

Berlın, Enero de 1990

15A.M. Polyakov, Nucl. Phys. B 268 , 406 (1986), H. Kleinert, Phys. Lett. B 174 , 335 (1986).16Ver la Ref. 9.


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Contenido

Preface vii

Preface to Fourth Edition ix

Preface to Third Edition xi

Preface to Second Edition xiii

Preface to First Edition xv

1 Fundamentos 1

1.1 Mecanica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mecanica Relativistica en el Espacio–Tiempo Curvo . . . . . . . . 111.3 Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Refleccion de Bragg e Interferencia . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Ondas y Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Conservacion de la Corriente de Partıculas . . . . . . . . . 18

1.4 Formalismo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Transformacion de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 Lımite Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.4 Funciones Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.5 Ecuacion de Schrodinger en la Notacion de Dirac . . . . . 271.4.6 Estados del Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.7 Incompletes y Formula Sumatoria de Poisson . . . . . . . 30

1.5 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.1 Relacion de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.2 Matriz Densidad y Funcion de Wigner . . . . . . . . . . . 351.5.3 Generalizacion a muchas Partıculas . . . . . . . . . . . . 36

1.6 Operador de Evolucion Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.7 Propiedades del Operador de Evolucion Temporal . . . . . . . . . 401.8 Imagen de Heisenberg de la Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . 411.9 Imagen de Interaccion y Desarrollo Perturbativo . . . . . . . . . . 441.10 Amplitud de la Evolucion Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.11 Amplitud de Energıa Fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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1.12 Amplitud de Partıculas Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.13 Mecanica Cuantica de Sistemas Lagrangianos en General . . . . . 551.14 Partıcula sobre la Surperficie de una Esfera . . . . . . . . . . . . . 611.15 Trompo giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.16 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.16.1 Matriz de Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.16.2 Seccion Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.16.3 Aproximacion de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.16.4 Desarrollo en Ondas Planas Parciales y Aproximacion

Equinodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.16.5 Amplitud de Dispersion de la Amplitud de Evolucion Tem-

poral Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.16.6 Ecuacion de Lippmann–Schwinger . . . . . . . . . . . . . 77

1.17 Estadıstica Clasica y Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.17.1 Ensemble Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.17.2 Ensemble Gran-Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.18 Densidad de Estados y Traza Logaritmıca . . . . . . . . . . . . . . 87Apendice 1A Operador de Evolucion Temporal Simple . . . . . . . . . 89Apendice 1B Convergencia de la Integral de Fresnel . . . . . . . . . . . 90Apendice 1C El Trompo Asimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2 Integrales de Trayectoria — Propiedades Elementales y Soluciones

Simples 94

2.1 Representacion en Integrales de Trayectoria de la Amplitud deEvolucion Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.1.1 Particion de la Amplitud de la Evolucion Temporal . . . . 952.1.2 Integral de Trayectoria para un Hamiltoniano Cero . . . . 962.1.3 Ecuacion de Schrodinger para la Amplitud de Evolucion

Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.1.4 Convergencia de la Particion de la Amplitud de Evolucion

Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.1.5 Amplitud de Evolucion Temporal en el Espacio del Momen-

tum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.1.6 Funcion de Particion Mecanico–Cuantica . . . . . . . . . . 1012.1.7 Espacio de Configuracion de Feynman de la Integral de

Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2 Solucion Exacta para la Partıcula Libre . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.2.1 Solucion Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.2 Solucion en el Espacio de Configuracion . . . . . . . . . . 1082.2.3 Fluctuaciones alrededor de la Trayectoria Clasica . . . . . 1092.2.4 Factor de Fluctuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2.5 Propiedades de la Particion Finita de la Amplitud de la

Partıcula Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


xx

2.3 Solucion Exacta para el Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . 1182.3.1 Fluctuaciones alrededor de la Trayectoria Clasica . . . . . 1182.3.2 Factor de Fluctuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.3.3 La Prescripcion iη y el Indice de Maslov-Morse . . . . . . 1212.3.4 Lımite Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.3.5 Formulas Utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.3.6 Amplitud del Oscilador en una Red Temporal Finita . . . 125

2.4 Formula de Gelfand-Yaglom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.4.1 Calculo Recursivo del Determinante de la Fluctuacion . . 1272.4.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.4.3 Calculo para el Eje Temporal no Particionado . . . . . . . 1292.4.4 Construccion de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.4.5 Otra Formula Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.4.6 Generalizacion a D Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . 133

2.5 Oscilador Armonico con Frecuencia Dependiente del Tiempo . . . 1342.5.1 Espacio Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.5.2 Espacio del Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.6 Funcion de Onda de la Partıcula Libre y del Oscilador Armonico . 1392.7 Accion Armonica con Dependencia Temporal General . . . . . . . 1402.8 Integrales de Trayectoria y Estadıstica Cuantica . . . . . . . . . . 1422.9 Matriz Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.10 Estadıstica Cuantica del Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . 1512.11 Potencial Armonico Dependiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . 1562.12 Normalizacion Funcional en el Espacio de Fourier . . . . . . . . . . 1592.13 Lımite Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.14 Tecnicas de Calculo de una Particion del Eje Temporal con la

Formula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1642.15 Definicion en Teorıa de Campo de las Integrales de Trayectoria

Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662.15.1 Evaluacion a Temperatura Cero de la Sumatoria en las Fre-

cuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682.15.2 Evaluacion a Temperatura Finita de la Suma de la Frecuencia 1712.15.3 Oscilador Armonico Mecanico–Cuantico . . . . . . . . . . 1732.15.4 Tracelog del Operador Diferencial de Primer Orden . . . . 1742.15.5 Desarrollo en Terminos del Gradiente de la Tracelog en Una

Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.15.6 Transformacion Dual y Desarrollo de Baja Temperatura . 177

2.16 Comportamiento de las Cantidades Termodinamicas para N Finito 1852.17 Amplitud de Evolucion Temporal de una Partıcula en Caida Libre 1872.18 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . . 189

2.18.1 Accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.18.2 Propiedades de Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922.18.3 Particion Temporal de la Integracion de Trayectoria . . . 1922.18.4 Accion Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194


xxi

2.18.5 Invarianza Traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952.19 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico con Potencial Armonico 1962.20 Invarianza de Norma y Representacion Alternativa con la Integral

de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982.21 Integral de Trayectoria en Funcion de la Velocidad . . . . . . . . . 1992.22 Representacion de la Matriz de Dispersion como una Integral de

Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.22.1 Desarrollo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.22.2 Formulacion Mejorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042.22.3 Amplitud de Dispersion en la Aproximacion Eikonal . . . 204

2.23 Aproximacion a la Amplitud de Evolucion Temporal en la Imagende Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.23.1 Partıcula Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.23.2 Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082.23.3 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico . . . . . . . . 208

Apendice 2A Formula Baker-Campbell-Hausdorff y Representacion deMagnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Apendice 2B Calculo Directo de la Amplitud del Oscilador para la Par-ticion Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Apendice 2C Derivacion de la Formula de Mehler . . . . . . . . . . . . 217Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

3 Fuentes Externas, Correlacion y Teorıa de Perturbacion 220

3.1 Fuentes Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.2 Funcion de Green del Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . . 224

3.2.1 La Construccion de Wronski . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243.2.2 Representacion Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

3.3 Funcion de Green de la Ecuacion Diferencial de Primer Orden . . . 2303.3.1 Frecuencia Independiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . 2303.3.2 Frequencia Dependiente de Tiempo . . . . . . . . . . . . . 238

3.4 Representacion Espectral Sumatoria de la Funcion de Green . . . . 2413.5 Construccion de Wronski para funciones de Green Periodicas y An-

tiperiodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433.6 Amplitud de Evolucion Temporal en Presencia de un Termino Fuente 2443.7 Amplitud de Evolucion Temporal para una Trayectoria Promedio Fija 2493.8 Fuente Externa en la Integral de Trayectoria de la Estadıstica Cuantica 250

3.8.1 Continuacion Analıtica del Resultado de Tiempo Real . . 2503.8.2 Calculo para Tiempos Imaginarios . . . . . . . . . . . . . 254

3.9 Funcion de Green en el Algebra de Redes . . . . . . . . . . . . . . 2623.10 Funciones de Correlacion, Funcional Generatriz y Representacion de

Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623.10.1 Funciones de Correlacion de Tiempo Real . . . . . . . . . 265

3.11 Funciones de Correlacion de Partıculas Cargadas en CampoMagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267


xxii

3.12 Funciones de Correlacion e Integral de Trayectoria Canonica . . . 2693.12.1 Funciones de Correlacion Armonicas . . . . . . . . . . . . 2693.12.2 Relaciones entre Varias Amplitudes . . . . . . . . . . . . . 2713.12.3 Funcionales Generatrices Armonicas . . . . . . . . . . . . 273

3.13 Partıcula en Bano Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2753.14 Bano Termico de Fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803.15 Oscilador Armonico en un Bano Termico Ohmico . . . . . . . . . 2823.16 Oscilador Armonico en un Bano Termico de Fotones . . . . . . . . 2853.17 Representacion Perturbativa de Sistemas Anarmonicos . . . . . . . 2863.18 Representacion Perturbativa de Rayleigh-Schrodinger y de Brillouin-

Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903.19 Cambios Energeticos y Funciones de Onda de la Ecuacion de

Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2953.20 Calculo de la Serie Perturbativa via Diagramas de Feynman . . . . 2963.21 Definicion Perturbativa de Integrales de Trayectoria Interactuantes 3013.22 Funcional Generatriz de Funciones de Correlacion Conectadas . . . 302

3.22.1 Estructura de Conectividad de las Funciones de Correlacion 3033.22.2 Funciones de Correlacion versus Funciones de Correlacion

Conectadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3063.22.3 Generacion Funcional de Diagramas de Vacıo . . . . . . . 3093.22.4 Funciones de Correlacion a partir de

los Diagramas de Vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133.22.5 Funcional Generatriz de las Funciones Vertice.

Accion Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143.22.6 Aproximacion de Ginzburg-Landau para la Generatriz

Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3203.22.7 Campos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3.23 Calculo de la Integral de Trayectoria de la Accion Efectiva . . . . . . 3223.23.1 Formalismo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.23.2 Aproximacion de Campo Medio . . . . . . . . . . . . . . . 3233.23.3 Correcciones de las Fluctuaciones Cuadraticas . . . . . . . 3273.23.4 Accion Efectiva a Segundo Orden en h . . . . . . . . . . . 3303.23.5 Accion Efectiva de Dos Lazos a Temperatura Finita . . . 3343.23.6 Metodo del Campo de Fondo para la Accion Efectiva . . 337

3.24 Teorema de Nambu-Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3403.25 Potencial Efectivo Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

3.25.1 Factor Efectivo Clasico de Boltzmann . . . . . . . . . . . 3443.25.2 Hamiltoniano Efectivo Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . 3463.25.3 Comportamiento en el Lımite de Alta y Baja

Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3473.25.4 Candidato Alternativo para el Potencial Efectivo Clasico . 3493.25.5 Funcion de Correlacion Armonica sin Modo Cero . . . . . 3503.25.6 Representacion Perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.25.7 Potencial Efectivo y Curvas de Magnetizacion . . . . . . . 352


xxiii

3.25.8 Resultados Perturbativos a Primer Orden . . . . . . . . . 3543.26 Aproximacion Perturbativa de la Amplitud de Dispersion . . . . . 356

3.26.1 Funcional Generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3563.26.2 Aplicacion a la Amplitud de Dispersion . . . . . . . . . . 3573.26.3 Primera Correccion a la Aproximacion Eikonal . . . . . . 3583.26.4 Representacion de Rayleigh–Schrodinger de la Amplitud de

Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3593.27 Determinante Funcional de las Funciones de Green . . . . . . . . . 360Apendice 3A Elementos de Matriz para un Potencial General . . . . . . 366Apendice 3B Cambios en la Energıa para una Interaccion gx4/4 . . . . 368Apendice 3C Relaciones de Recursion Para los Coeficientes Perturbativos 369

3C.1 Interaccion Unidimensional x4 . . . . . . . . . . . . . . . . 3703C.2 Interaccion General Unidimensional . . . . . . . . . . . . . 3733C.3 Tratamiento Sucesivo de las Interacciones x4 and x3 . . . 3733C.4 Energıa del Estado Base incluyendo una Corriente Externa 3753C.5 Relacion de Recursion para un Potencial Efectivo . . . . . 3773C.6 Interaccion de orden r4 del Oscilador Radial en

D−dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3803C.7 La Interaccion r2q en D−dimensiones . . . . . . . . . . . . 3813C.8 Interaccion Polinomial en D−dimensiones . . . . . . . . . 381

Apendice 3D Integrales de Feynman para T =/ 0 . . . . . . . . . . . . . . 381Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

4 Amplitud de Evolucion Temporal Semiclasica 386

4.1 Aproximacion Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) . . . . . . . . . 3864.2 Aproximacion del Punto de Inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

4.2.1 Integrales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3944.2.2 Integrales de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

4.3 Determinante de Van Vleck-Pauli-Morette . . . . . . . . . . . . . 4044.4 Ley de Composicion de la Amplitud de Evolucion Temporal

Semiclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084.5 Amplitud Semiclasica de Enegıa Fija . . . . . . . . . . . . . . . . . 4104.6 Amplitud Semiclasica en el Espacio del Momentum . . . . . . . . . 4124.7 Funcion de Particion Mecanico–Cuantica Semiclasica . . . . . . . . 4144.8 Sistemas Multi–Dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4204.9 Correcciones Cuanticas a la Densidad de Estados Clasica . . . . . 425

4.9.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4264.9.2 Dimensiones Arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4274.9.3 Densidad Bilocal de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 4294.9.4 Tracelog del Operador Hamiltoniano en la Representacion

del Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.9.5 Densidad Local de Estados sobre un Cırculo . . . . . . . . 4384.9.6 Correcciones Cuanticas a la Aproximacion de Bohr–

Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440


xxiv

4.10 Modelo de Thomas–Fermi para Atomos Neutros . . . . . . . . . . 4424.10.1 Lımite Semiclasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

4.10.2 Ecuacion de Campo Auto–Consistente . . . . . . . . . . . 444

4.10.3 Energıa Funcional para el Atomo de Thomas–Fermi . . . . 4464.10.4 Calculo de las Energıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

4.10.5 Teorema de Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4514.10.6 Energıa de Interchambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

4.10.7 Correcciones Cuanticas en la Vecindad del Origen . . . . . 453

4.10.8 Correcciones Cuanticas Sistematicas a las Energıas deThomas–Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

4.11 Accion Clasica de un Sistema de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 460

4.12 Dispersion Semiclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

4.12.1 Formulacion General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4694.12.2 Seccion Transversal Semiclasica de la Dispersion de Mott 472

Apendice 4A Cuantizacion Semiclasica para Potenciales de una Potencia 474Apendice 4B Deduccion de la Amplitud de Evolucion Temporal

Semiclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

5 Teorıa de Perturbacion Variacional 464

5.1 Aproximacion Variacional a la Funcion de Particion Efectiva Clasica 464

5.2 Funcion de Particion de Prueba Armonica Local . . . . . . . . . . 4655.3 Lımite Superior Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

5.4 Precision de la Aproximacion Variacional . . . . . . . . . . . . . . 4715.5 Energıa del Estado Base Debilmente Ligada en un Pozo de Potencial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4745.6 Posibles Gereneralizaciones Directas . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

5.7 Potencial Efectivo Clasico para el Oscilador Anarmonico . . . . . 4765.8 Densidad de Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

5.9 Extension a D Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

5.10 Aplicacion a los Potenciales de Coulomb y Yukawa . . . . . . . . 4865.11 Atomo de Hidrogeno en un Campo Magnetico Intenso . . . . . . . 489

5.11.1 Comportamiento en un Campo Debil . . . . . . . . . . . . 4935.11.2 Hamiltoniano Efectivo Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . 493

5.12 Aproximacion Variacional a las Energıas de Excitacion . . . . . . . 496

5.13 Correccion Sistematica a la Aproximacion de Feynman-Kleinert . . . 5005.14 Aplicaciones de la Representacion Perturbativa Variacional . . . . 502

5.14.1 Oscilador Anarmonico para T = 0 . . . . . . . . . . . . . 5025.14.2 Oscilador Anarmonico para el caso T > 0 . . . . . . . . . 505

5.15 Convergencia de la Serie Perturbativa Variacional . . . . . . . . . 507

5.16 Representacion en Teorıa de Perturbacion Variacional de unAcoplamiento Fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

5.17 Representacion General del Acoplamiento Fuerte . . . . . . . . . . 517


xxv

5.18 Interpolacion Variacional entre la Representacion de AcoplamientoDebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

5.19 Correccion Sistematica a las Energıas Excitadas . . . . . . . . . . 5215.20 Tratamiento Variacional del Potencial de Pozo Doble . . . . . . . . 5235.21 Potencial Efectivo Clasico de Orden Superior para . . . . . . . . . . 525

5.21.1 Evaluacion de las Integrales de Trayectoria . . . . . . . . . 5255.21.2 Formula de Suavizado de Orden Superior en D Dimensiones 5275.21.3 Aproximacion Isotropica de Segundo Orden al Problema de

Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5285.21.4 Aproximacion Anisotropica a Segundo Orden al Problema

de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5305.21.5 Lımite de Temperatura Cero . . . . . . . . . . . . . . . . 531

5.22 Polarones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5355.22.1 Funcion de Particion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5375.22.2 Sistema de Prueba Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . 5395.22.3 Masa Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5455.22.4 Correccion a Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 5455.22.5 Polarones en un Campo Magnetico, Bipolarones, etc. . . . 5465.22.6 Interpolacion Variacional de la Energıa y Masa

del Polaron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5475.23 Matrices Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

5.23.1 Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5515.23.2 Teorıa de Perturbacion Variacional de la Matriz Densidad 5525.23.3 Formula de Suaviado para la Matriz Densidad . . . . . . . 5555.23.4 Aproximacion Variacional de Primer Orden . . . . . . . . 5575.23.5 Formula de Suavizado para Varias Dimensiones

Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Apendice 5A Integrales de Fenman para T 6= 0 sin Frecuencia Cero . . . 563Apendice 5B Demostracion de la Relacion de Escalamiento de los Ex-

trema de WN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566Apendice 5C Cambio a Segundo Orden de la Energıa del Polaron . . . . 568Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

6 Integrales de Trayectoria con Restricciones Topologicas 574

6.1 Partıcula Puntual sobre un Cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5746.2 Pared Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5796.3 Partıcula Puntual en una Caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5836.4 Teorıa de Acoplamiento Fuerte para una Partıcula en una Caja . 586

6.4.1 Funcion de Particion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5866.4.2 Representacion Perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . 5876.4.3 Aproximacion Variacional de Acoplamiento Fuerte . . . . 5896.4.4 Propiedades Especiales de la Serie . . . . . . . . . . . . . 5916.4.5 Convergencia Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593


xxvi

7 Estadıstica de Orbitas de Muchas Partıculas — y Segunda Cuan-

tizacion 595

7.1 Orbitas de Ensembles de Partıculas de Bose y Fermi . . . . . . . . 5967.2 Condensacion de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

7.2.1 Gas Libre de Bose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6047.2.2 Gas de Bose en una Caja Finita . . . . . . . . . . . . . . . 6127.2.3 Efecto de las Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6147.2.4 Condesacion de Bose-Einstein en Trampas Armonicas . . . 6207.2.5 Funciones Termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6207.2.6 Temperatura Crıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6237.2.7 Trampas Anisotropicas Mas Generales . . . . . . . . . . . 6257.2.8 Gas de Bose-Einstein en Rotacion . . . . . . . . . . . . . 6267.2.9 Correciones para Dimensiones Finitas . . . . . . . . . . . 6277.2.10 Entropıa y Calor Especıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 6297.2.11 Interacciones en Trampas Armonicas . . . . . . . . . . . . 631

7.3 Gas de Fermiones Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6367.4 Estadıstica de la Interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6427.5 Estadıstica Fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6477.6 Segunda Cuantizacion de Campos de Bose . . . . . . . . . . . . . 6487.7 Campos Fluctuantes de Bose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6517.8 Estados Coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6577.9 Campos de Fermi en Segunda Cuantizacion . . . . . . . . . . . . . 6617.10 Campos Fluctuantes de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

7.10.1 Variables de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6627.10.2 Determinante Funcional Fermionico . . . . . . . . . . . . . 6657.10.3 Estados Coherentes para Fermiones . . . . . . . . . . . . . 669

7.11 Espacio de Hilbert de Variables de GrassmannCuantizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6717.11.1 Variable Unica y Real de Grassmann . . . . . . . . . . . . 6717.11.2 Cuantizacion del Oscilador Armonico con las Variables de

Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6747.11.3 Sistemas de Espın con Variables de Grassmann . . . . . . 675

7.12 Fuentes Externas en la Integral de Trayectoria de a∗, a . . . . . . . 6817.13 Generalizacion a Terminos Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6837.14 Grados de Libertad Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

7.14.1 Ensemble Gran Canonico de Orbitas de Partıculas a partirde Campos Libres Fluctuantes . . . . . . . . . . . . . . . 686

7.14.2 Primera Cuantizacion vs Segunda Cuantizacion . . . . . . 6887.14.3 Campos Interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6887.14.4 Teorıa Clasica Efectiva de Campos . . . . . . . . . . . . . 689

7.15 Bosonizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6917.15.1 Campos Colectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6927.15.2 Teorıa Bosonizada vs Teorıa Original . . . . . . . . . . . . 694

Appendix 7A Tratamiento de Singularidades en la Funcion Zeta . . . . . 697


xxvii

7A.1 Caja Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

7A.2 Trampas Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

Appendix 7B Posible Temperatura Crıtica Experimental vs Teorica . . . 702


8 Integrales de Trayectoria en Coordenadas Polares y Esfericas 707

8.1 Descomposicion Angular en Dos Dimensiones . . . . . . . . . . . . 707

8.2 Problemas con la Formula de Feynman de la Integral de Trayectoriaen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

8.3 Comentarios Precautorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

8.4 Correciones a la Segmentacion Temporal . . . . . . . . . . . . . . 717

8.5 Descomposion Angular en Tres y Mayores Dimensiones . . . . . . 722

8.5.1 Tres Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

8.5.2 D Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

8.6 Intregral de Trayectoria Radial del Oscilador Armonico y laPartıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

8.7 Partıcula cerca de la Superficie de una Esfera en D Dimensiones . 732

8.8 Barreras Angulares cerca de la Superficie de una Esfera . . . . . . 735

8.8.1 Barreras Angulares en Tres Dimensiones . . . . . . . . . . 735

8.8.2 Barreras Angulares en Cuatro Dimensiones . . . . . . . . 741

8.9 Movimiento sobre una Esfera en D Dimensiones . . . . . . . . . . 745

8.10 Integrales de Trayectoria sobre Grupos Espaciales . . . . . . . . . 750

8.11 Integral de Trayectoria del Trompo Rotatorio . . . . . . . . . . . . 753

8.12 Integral de Trayectoria de Partıculas con Espın . . . . . . . . . . . 754

8.13 La Fase Berry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

8.14 Precesion del Espın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761


9 Funciones de Ondas 764

9.1 Partıcula Libre en D Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

9.2 Oscilador Armonico en D Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 767

9.3 Partıcula Libre a Partir del Lımite ω → 0 del Oscilador . . . . . . 773

9.4 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico Uniforme . . . . . . . 775

9.5 Potencial de Funcion δ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782


10 Espacios con Curvatura y Torsion 786

10.1 Principio de Equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 787

10.2 Movimiento Clasico de una Masa Puntual en un Espacio General deMetrica Afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

10.2.1 Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

10.2.2 Transformacion No Holonomica a un Espacio con Torsion 791

10.2.3 Nuevo Principio de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . 797


xxviii

10.2.4 Principio de Accion Clasica para Espacios con Curvatura yTorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

10.3 Integrales de Trayectoria en Espacios con Metrica Afın . . . . . . . 80210.3.1 Transformacion no Holonomica de la Accion . . . . . . . . 80310.3.2 Norma de la Integral de Trayectoria . . . . . . . . . . . . 809

10.4 Solucion Completa de la Integral de Trayectoria sobre la Superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

10.5 Potenciales Externos y Potenciales Vectoriales . . . . . . . . . . . 81710.6 Calculo Perturbativo de Integrales de Trayectoria en Espacios con

Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81910.6.1 Partes Libre y de Interaccion de la Accion . . . . . . . . . 82010.6.2 Temperatura Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

10.7 Modelo para el Estudio de la Invariancia en las Coordenadas . . . 82510.7.1 Desarrollo Diagramatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82710.7.2 Desarrollo Diagramatico en d Dimensiones Temporales . . 828

10.8 Calculando Diagramas de Lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83010.8.1 Reformulacion en el Espacio de Configuracion . . . . . . . 83710.8.2 Integrales sobre el Producto de Dos Distribuciones . . . . 83810.8.3 Integrales sobre el Producto de Cuatro Distribuciones . . 839

10.9 Distributiones como el Lımite de las Funciones de Bessel . . . . . . 84110.9.1 Funcion de Correlacion y sus Derivadas . . . . . . . . . . 84110.9.2 Integrales sobre el Producto de Dos Distribuciones . . . . 84310.9.3 Integrales sobre el Producto de Cuatro Distribuciones . . 844

10.10 Reglas Simples para el Calculo de Integrales Singulares . . . . . . 84610.11 Calculos Perturbativativos sobre Intervalos Temporales Finitos . . 852

10.11.1 Elementos Diagramaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85310.11.2 Desarrollo en Terminos de Cumulantes de la Amplitud D-

Dimensional de la Partıcula Libre en Coordenadas Curvilıneas 85410.11.3 Propagador en 1− ε Dimensiones Temporales . . . . . . . 85610.11.4 Independencia en las Coordenadas para Condiciones de

Frontera de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85710.11.5 Amplitud de Evolucion Temporal en Espacios Curvos . . . 86410.11.6 Resultados Covariantes para Coordenadas Arbitrarias . . 869

10.12 Potencial Efectivo Clasico en Espacios con Curvatura . . . . . . . 87510.12.1 Desarrollo Covariante de las Fluctuaciones . . . . . . . . . 87610.12.2 Arbitrariedad de qµ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87810.12.3 Propiedades del Modo Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 88010.12.4 Desarrollo Perturbativo Covariante . . . . . . . . . . . . . 88310.12.5 Resultado Covariante a partir del Desarrollo

no Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88410.12.6 Partıcula sobre una Esfera Unitaria . . . . . . . . . . . . . 887

10.13 AccionEfectivaCovarianteparaPartıculasCuanticasconMasaDepen-diente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890


xxix

10.13.1 Formulacion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89010.13.2 Desarrollo del Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893

Appendix 10ATransformaciones de Norma No Holonomicas en Electro. . . 89410A.1 Representacion Gradiente del Campo Magnetico de Cir-

cuitos de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89510A.2 Generando Campos Magneticos por Transformaciones de

Norma Multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89910A.3 Monopolos Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90010A.4 Acoplamiento Magnetico Mınimo de Partıculas en Trans-

formaciones Multivaluadas de Norma . . . . . . . . . . . . 90210A.5 Representacion en Campos de Norma de Circuitos de Cor-

riente y Monopolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903Appendix 10B Comparacion de Bases Tetradas Multivaluadas y Campos . . . 906Appendix 10C Cancelacion de las Potencias de δ(0) . . . . . . . . . . . . 907Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909

11 Ecuacion de Schrodinger en Espacios de Metrica Afın General 914

11.1 Ecuacion Integral para la Amplitud de Evolucion Temporal . . . . 91411.1.1 De la Relacion de Recurrencia a la Ecuacion de Schrodinger 91511.1.2 Evaluacion Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

11.2 Representacion Equivalente de la Integral de Trayectoria . . . . . . 92111.3 Potenciales y Potencial Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92511.4 Problema de Unitariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92711.5 Intentos Alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92911.6 Desarrollo de DeWitt–Seeley de la Amplitud de Evolucion Temporal 93111.7 Relacion de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935Appendix 11ACancelacion en el Potencial Efectivo . . . . . . . . . . . . 936Appendix 11B Amplitud de DeWitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939

12 Nueva Formula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Sin-

gulares 941

12.1 Colapso de la Trayectoria en la Formula de Feynman para el Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

12.2 Integral de Trayectoria Estable con Potencial Singular . . . . . . . 94412.3 Regularizacion Dependiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 94912.4 Relacion con la Teorıa de Schrodinger. Las Funciones de Onda . . 952Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

13 Integral de Trayectoria del Sistema de Coulomb 955

13.1 Amplitud de Evolucion Pseudotemporal . . . . . . . . . . . . . . . 95513.2 Solucion al Sistema Bidimensional de Coulomb . . . . . . . . . . . 95713.3 Ausencia de Correcciones Temporales para D = 2 . . . . . . . . . 96313.4 Solucion al Sistema Tri–Dimensional de Coulomb . . . . . . . . . . 967


xxx

13.5 Ausencia de Correcciones de la Particion Temporal para D = 3 . . 974

13.6 Argumento Geometrico para la Ausencia de Correcciones de la Par-ticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977

13.7 Comparacion con la Teorıa de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . 977

13.8 Descomposicion Angular de la Amplitud y la Funcion de Onda Radial 983

13.9 Notas sobre la Geometrıa del Espacio Cuatro-Dimensional uµ . . . 987

13.10 Degeneracion del Grupo de Runge-Lenz-Pauli . . . . . . . . . . . . 989

13.11 Solucion en el Espacio del Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 991

13.11.1 Otra Forma para la Accion . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

Appendix 13AGrupos Dinamicos de los Estados de Coulomb . . . . . . . 995


14 Solucion a Otras Integrales de Trayectoria por el Metodo de Duru-

Kleinert 1001

14.1 Sistemas Uni-Dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001

14.2 Derivacion del Potencial Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005

14.3 Comparacion con la Mecanica Cuantica de Schrodinger . . . . . . 1009

14.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

14.4.1 Oscilador Armonico Radial y Sistema de Morse . . . . . . 1011

14.4.2 Sistema Radial de Coulomb y Sistema de Morse . . . . . . 1013

14.4.3 Equivalencia del Sistema Radial de Coulomb y el OsciladorRadial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014

14.4.4 Barrera Angular cerca de una Esfera y Potencial de Rosen-Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

14.4.5 Barrera Angular cerca de una Esfera Cuatro-Dimensional yPotencial General de Rosen-Morse . . . . . . . . . . . . . 1025

14.4.6 Potencial de Hulthen y Potencial General de Rosen-Morse 1028

14.4.7 Potencial Extendido de Hulthen y Potential General deRosen-Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031

14.5 Sistemas D-Dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031

14.6 Integral de Trayectoria del Atomo de Dionio . . . . . . . . . . . . 1033

14.6.1 Solucion Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034

14.6.2 Ausencia de Correcciones de la Particion Temporal . . . . 1038

14.7 Transformacion de Duru-Kleinert Dependiente del Tiempo . . . . 1041

Appendix 14AConeccion Afın del Atomo de Dionio . . . . . . . . . . . . 1045

Appendix 14B Aspectos Algebraicos de los Estados del Dionio . . . . . . 1045


15 Integrales de Trayectoria en Fısica de Polımeros 1048

15.1 Polımeros y Cadenas Aleatorias Ideales . . . . . . . . . . . . . . . 1048

15.2 Momentos de la Distribucion de los Extremos . . . . . . . . . . . 1050

15.3 Distribucion Extremo a Extremo Exacta en Tres Dimensiones . . . 1054

15.4 Desarrollo para Distancias-Cortas de un Polımero Largo . . . . . . 1056


xxxi

15.5 Aproximacion del Punto de Inflexion a la Distribucion Extremo aExtremo en Tres-Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058

15.6 Integral de Trayectoria de la Distribucion Gaussiana Continua . . 105915.7 Polımeros Rıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

15.7.1 Particion de la Integral de Trayectoria . . . . . . . . . . . 106415.7.2 Relacion con el Modelo Clasico de Heisenberg . . . . . . . 106515.7.3 Distribucion Extremo a Extremo . . . . . . . . . . . . . . 106715.7.4 Momentos de la Distribucion Extremo a Extremo . . . . . 1068

15.8 Formulacion Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106815.8.1 Integral de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106915.8.2 Funciones de Correlacion y Momentos . . . . . . . . . . . 1070

15.9 La Ecuacion de Schrodinger y la Solucion Recursiva para los Momentos107315.9.1 Construccion de la Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . 107315.9.2 Solucion Recursiva de la Ecuacion Schrodinger. . . . . . . 107515.9.3 De los Momentos a la Distribucion Extremo a Extremo para

D = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107815.9.4 Aproximacion de Rigidez Grande a la Distribucion Extremo

a Extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108015.9.5 Correciones de Lazos de Orden Superior . . . . . . . . . . 1086

15.10 Efectos del Volumen-Excluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109315.11 Argumento de Flory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110115.12 Teorıa de Campos en Polımeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110215.13 Campos de Fermi para Lıneas Auto-Evadidas . . . . . . . . . . . . 1110Apendice 15A Integrales Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110Apendice 15B Integrales de Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111Apendice 15C Integrales que Involucran Funciones Modificadas de Green 1112Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113

16 Polımeros y Orbitas de Partıculas en Espacios Multiplemente

Conectados 1116

16.1 Modelo Sencillo para Polımeros Enredados . . . . . . . . . . . . . 111616.2 Orbitas Enlazadas de Partıculas Fluctuantes: el Efecto Aharonov-

Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112016.3 El Efecto Aharonov-Bohm y la Estadıstica Fraccionaria . . . . . . 112916.4 Auto-Enredado de Polımeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113416.5 El Invariante de Gauss de Dos Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 114916.6 Estados Ligados de Polımeros y Cintas . . . . . . . . . . . . . . . 115016.7 Teorıa de Chern-Simons del Enredado . . . . . . . . . . . . . . . . 115716.8 Enredado de Parejas de Polımeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161

16.8.1 La Probabilidad en la Teorıa de Campo de Polımeros . . . 116316.8.2 Calculo de la Funcion de Particion . . . . . . . . . . . . . 116416.8.3 Calculo del Numerador en el Segundo Momento . . . . . . 116616.8.4 Primer Diagrama de la Fig. 16.23 . . . . . . . . . . . . . . 116816.8.5 Diagramas Segundo y Tercero en la Fig. 16.23 . . . . . . . 1169


xxxii

16.8.6 Cuarto Diagrama de la Fig. 16.23 . . . . . . . . . . . . . . 116916.8.7 Segundo Momento Topologico . . . . . . . . . . . . . . . . 1170

16.9 Teorıa de Chern-Simons de la Interaccion Estadıstica . . . . . . . . 117116.10 Segunda Cuantizacion de Campos Anionicos . . . . . . . . . . . . 117416.11 Efecto Hall Cuantico Fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117716.12 Superconductividad Anionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118116.13 Teorıa no Abeliana de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184Apendice 16A Calculo de losDiagramas deFeynman enPolımerosEnredados1186Apendice 16B Polinomios de Kauffman y BLM/Ho . . . . . . . . . . . . 1188Apendice 16C Relacion de Enredo entre las Integrales de Rizos de Wilson 1188Apendice 16D Ecuaciones de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191Apendice 16E Efecto Hall en un Gas de Electrones . . . . . . . . . . . . 1193Notas y Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193

17 Tunelamiento 1193

17.1 Potencial de Pozo Doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119317.2 Soluciones Clasicas — Solucion Positiva y Negativa . . . . . . . . 119617.3 Fluctuaciones Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200

17.3.1 El Modo con Valor Propio Cero . . . . . . . . . . . . . . . 120717.3.2 Parte Continua del Factor de Fluctuacion . . . . . . . . . 1210

17.4 Formula General para el Cociente de los Valores Propios . . . . . . 121317.5 Determinante de la Fluctuacion de la Solucion Clasica . . . . . . . 121517.6 Funciones de Onda del Potencial de Pozo Doble . . . . . . . . . . 121917.7 Gas de Soluciones Positivas y Negativas y Formula del Des-

doblamiento ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122017.8 Correccion de las Fluctuaciones al Desdoblamiento de los Niveles de

Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122517.9 Tunelamiento y Decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122917.10 Comportamiento de Orden Superior de los Desarrollos Perturbativos1239

17.10.1 Propiedades del no Acotamiento de los Coeficientes del De-sarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239

17.10.2 Comportamiento Semiclasico de Orden Superior . . . . . . 124317.10.3 Correccion de las Fluctuaciones a la Parte Imaginaria de la

Energıa y Comportamiento de Orden Superior . . . . . . . 124917.10.4 Aproximacion Variacional al Tunelamiento. Coeficientes

Perturbativos a Todo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 125117.10.5 Convergencia del Desarrollo Perturbativo Variacional . . . 1260

17.11 Decaimiento de la Supercorriente en un Alambre Delgado Cerrado 126917.12 Decaimiento de las Fases Termodinamicas Metaestables . . . . . . 128117.13 Decaimiento del Estado de Vacıo Metaestable en Teorıa Cuantica de

Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128917.14 Paso del Tunelamiento Cuantico al Decaimiento Estimulado

Termicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1290Appendix 17A Integrales de Feynman para la Correccion las Fluctuaciones 1292


xxxiii


18 Estadıstica Cuantica Fuera de Equilibrio 1298

18.1 Respuesta Lineal y Funciones deGreenDependientes del Tiempo paraT 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298

18.2 Representacion Integral de las Funciones de Green para T 6= 0 . . 130218.3 Otras Funciones de Green Importantes . . . . . . . . . . . . . . . 130418.4 Operadores Hermıticos Autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 130718.5 Funciones de Green del Oscilador Armonico para T 6= 0 . . . . . . 1309

18.5.1 Operadores de Creacion y Aniquilacion . . . . . . . . . . . 130918.5.2 Operadores de Campo Reales . . . . . . . . . . . . . . . . 1312

18.6 Funciones de Green Fuera de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 131418.7 Teorıa de Perturbacion de las Funciones de Green Fuera de Equilibrio132318.8 Integral de Trayectoria Acoplada a un Reservorio Termico . . . . . 132618.9 Ecuacion de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332

18.9.1 Integral de Trayectoria Canonica para la Distribucion deProbabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333

18.9.2 Resolviendo el Problema del Operador de Ordenamiento . 133518.9.3 Amortiguamiento Fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341

18.10 Ecuaciones de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134518.11 Solucion en Integrales de Trayectoria de la Ecuacion de Klein-Kramers134918.12 Cuantizacion Estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135118.13 Calculo Estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354

18.13.1 Version Estocastica de Kubo de la Ecuacion de Liouville . 135418.13.2 De la Ecuacion de Kubo a la Ecuacion de Fokker-Planck . 135518.13.3 Lema de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359

18.14 Solucion de la Ecuacion de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . 136218.15 Evolucion de la Probabilidad en la Imagen de Heisenberg . . . . . 136618.16 Supersimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136918.17 Ecuacion Estocastico–Cuantica de Liouville . . . . . . . . . . . . . 137218.18 Ecuacion Clave para la Evolucion Temporal . . . . . . . . . . . . . 137418.19 Relacion con la Ecuacion Cuantica de Langevin . . . . . . . . . . . 137618.20 Disipacion Electromagnetica y Decoherencia . . . . . . . . . . . . 1376

18.20.1 Integrales de trayectoria hacia adelante–atras . . . . . . . 137718.20.2 Ecuacion Clave para la Evolucion Temporal en un Bano

Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138018.20.3 Ancho de Lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138118.20.4 Corrimiento de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138218.20.5 Ecuaciones de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386

18.21 Ecuacion de Fokker-Planck en Espacios con Curvatura y Torsion . 138718.22 Interpretacion Estocastica de las Amplitudes Mecanico-Cuanticas . 138818.23 Ecuacion Estocastica para la Funcion de Onda de Schrodinger . . 139018.24 Ecuacion Estocastica Real y Determinista de la Funcion de Onda de

Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392


xxxiv

18.24.1 Ecuacion Diferencial Estocastica . . . . . . . . . . . . . . 139218.24.2 Ecuacion para el Ruido Promedio . . . . . . . . . . . . . . 139318.24.3 Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139318.24.4 Potencial General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139418.24.5 Ecuacion Determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395

Appendix 18ADesigualdades para las Funciones Diagonales de Green . . 1395Appendix 18B Funcional Generatriz General . . . . . . . . . . . . . . . . 1399Appendix 18C Descomposicion de Wick del Producto de Operadores . . . 1403Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405

19 Orbitas de Partıculas Relativistas 1409

19.1 Caracterısticas Especiales de las Integrales de Trayectoria Relativistas141119.1.1 La Eleccion mas Simple de la Norma . . . . . . . . . . . . 141419.1.2 Funcion de Particion de un Ensemble de Partıculas de Lazos

Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141619.1.3 La Amplitud de Energıa Fija . . . . . . . . . . . . . . . . 1418

19.2 El Tunelamiento en Fısica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . 141919.2.1 Razon de Decaimiento del Vacıo en el Campo Electrico . . 141919.2.2 Nacimiento del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142919.2.3 Modelo de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143519.2.4 Tunelamiento de un Universo en Expansion . . . . . . . . 1440

19.3 Sistema Relativista Coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144019.4 Partıcula Relativista en un Campo Electromagnetico . . . . . . . . 1444

19.4.1 Accion y Funcion de Particion . . . . . . . . . . . . . . . . 144419.4.2 Desarrollo Perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144519.4.3 Polarizacion del Vacıo a Orden Menor . . . . . . . . . . . 1448

19.5 Integrales de Trayectoria para Partıculas de Espın 1/2 . . . . . . . 145219.5.1 Teorıa de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145219.5.2 La Integral de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145619.5.3 Amplitud con Interaccion Electromagnetica . . . . . . . . 145919.5.4 Accion Efectiva en el Campo Electromagnetico . . . . . . 146219.5.5 Desarrollo Perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146319.5.6 Polarizacion del Vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464

19.6 Supersimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146619.6.1 Invariancia Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146619.6.2 Invarianza Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468

Appendix 19ADemostracion de que la Accion Modificada contiene . . . . . 1469Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471

20 Integrales de Trayectoria y Mercados Financieros 1473

20.1 Propiedades de las Fluctuaciones de los Valores Financieros . . . . 147320.1.1 Aproximacion Armonica a las Fluctuaciones . . . . . . . . 147420.1.2 Distribuciones de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147720.1.3 Distribuciones Truncadas de Levy . . . . . . . . . . . . . 1480


xxxv

20.1.4 Distribuciones Asimetricas Truncadas de Levy . . . . . . . 148520.1.5 Distribucion Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148820.1.6 Distribucion de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 148920.1.7 Distribucion Student o Tsallis . . . . . . . . . . . . . . . . 149220.1.8 Distribucion de Tsallis en el Espacio del Momentum . . . 149420.1.9 Distribucion de Boltzmann para Partıculas Relativistas . . 149520.1.10 Distribuciones de Meixner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149620.1.11 Distribuciones Hiperbolicas Generalizadas . . . . . . . . . 149820.1.12 Factor de Debye-Waller para Fluctuaciones

No Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150020.1.13 Integral de Trayectoria para una Distribucion

No Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150120.1.14 Evolucion Temporal de la Distribucion . . . . . . . . . . 150420.1.15 Teorema del Lımite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . 150420.1.16 Propiedad Aditiva del Ruido y del Hamiltoniano . . . . . 150620.1.17 Formula de Levy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . 150720.1.18 Propiedades de Semi-grupo de las Distribuciones de los Bienes150820.1.19 Evolucion Temporal de los Momentos de la Distribucion . 151020.1.20 Distribucion de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 151120.1.21 Transformada de Fourier de la Distribucion de Tsallis . . . 151420.1.22 Superposicion de Distribuciones Gaussianas . . . . . . . . 151520.1.23 Ecuacion Tipo Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . 151720.1.24 Ecuacion de Kramers-Moyal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519

20.2 Formula de Ito para Distribuciones no Gaussianas . . . . . . . . . 152120.2.1 Continuidad Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152120.2.2 Discretizacion del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524

20.3 Martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152520.3.1 Martingalas Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152620.3.2 Distribuciones Martingalas no Gaussianas . . . . . . . . . 1528

20.4 Origen de los Decrecimientos Semi–Abruptos . . . . . . . . . . . . 153020.4.1 Pareja de Ecuaciones Diferenciales Estocasticas . . . . . . 153120.4.2 Ecuacion de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . 153220.4.3 Solucion a la Ecuacion de Fokker-Planck . . . . . . . . . . 153420.4.4 Distribucion Dependiente de x . . . . . . . . . . . . . . . 153620.4.5 Comportamiento para Tiempos Grandes . . . . . . . . . . 153820.4.6 Comportamiento del Decrecimiento para todo Tiempo . . 154220.4.7 Calculo de la Integral de Trayectoria . . . . . . . . . . . . 154420.4.8 Distribucion Martingala Natural . . . . . . . . . . . . . . 1546

20.5 Series Temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154620.6 Descomposicion Espectral del Comportamiento

del Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154720.7 Valorizacion de las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549

20.7.1 Modelo Black-Scholes de la Valorizacion de las Opciones . 1550


xxxvi

20.7.2 Ecuaciones de Evolucion de la Cartera de Valorescon Opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552

20.7.3 Valorizacion de las Opciones para FluctuacionesGaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557

20.7.4 Valorizacion de las Opciones para la Distribucionde Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559

20.7.5 Valorizacion de las Opciones para Fluctacionesno Gaussianas en General . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1560

20.7.6 Valorizacion de las Opciones para las Fluctuaciones de laVarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564

20.7.7 Desarrollo Perturbativo y Sonrisa . . . . . . . . . . . . . . 1566Appendix 20AComportamiento para Valores Grandes de x de ... . . . . 1569Appendix 20B Peso Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572Appendix 20C Comparacion con los Datos Dow-Jones . . . . . . . . . . . 1573Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574

Index 1583


Lista de Figuras

1.1 Distribucion de probabilidad de una partıcula incidiendo sobre unapantalla con doble ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Termino∑N

n=−N e2πiµn obtenido en la formula de suma de Poisson 311.3 Representacion esquematica del proceso de ordenamiento temporal 381.4 Contorno triangular cerrado para la integral de Cauchy . . . . . . 90

2.1 Trayectorias en Zigzag que representan las fluctuaciones de lapartıcula puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.2 Solucion de la ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.3 Ilustracion de los valores propios de la matriz de fluctuacion . . . . 1522.4 Efecto de una red finita sobre el valor de la energıa interna E y el

calor especıfico C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.1 Polo en la transformada de Fourier de las funciones de Green Gp,aω (t) 232

3.2 Funcion periodica de Green substraida Gpω,e(τ) − 1/ω y la funcion

antiperiodica de Green Gaω,e(τ) para frecuencias ω = (0, 5, 10)/hβ . 234

3.3 Polos dobles en la transformada de Fourier de la funcion de GreenGp,a

ω2 (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2353.4 Funcion periodica de Green substraida Gp

ω2,e(τ)− 1/hβω2 y funcionde Green antiperiodica Ga

ω2,e(τ) para frecuencias ω = (0, 5, 10)/hβ 2573.5 Polos en el plano complejo β de la integral de Fourier . . . . . . . 2853.6 Densidad de estados para amortiguamiento debil y fuerte en

unidades naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853.7 Representacion perturbativa de la energıa libre a orden g3 . . . . . 2983.8 Solucion esquematica de la relacion de recurrencia para la funcional

generatriz W [j] de todas las funciones de correlacion conectadas . 3053.9 Representacion esquematica de la ecuacion diferencial funcional . 3113.10 Representacion esquematica de la relacion de recurrencia. . . . . . 3133.11 Diagramas de vacıo y sus multiplicidades hasta un orden de cinco

lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133.12 Diferenciaciones esquematicas para deducir tres composiciones de

funciones de correlacion conectadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3193.13 Potencial efectivo para ω2 > 0 y ω2 < 0 en la aproximacion de

campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3253.14 Ancho de la fluctuacion local del oscilador armonico . . . . . . . . 3433.15 Curvas de magnetizacion en un pozo de potencial doble . . . . . . 354

xxxvii

xxxviii

3.16 Grafica de las integrales reducidas de Feynman a2LV (x) . . . . . . . 383

4.1 Izquierda: Valores de la energıa propia E(n) en el desarrollosemiclasico; Derecha: Comparacion entre valores los valores exac-tos y valores semiclasicos de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . 441

4.2 Solucion de la funcion de apantallamiento f(ξ) en el modelo deThomas–Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

4.3 Orbitas en un potencial de Coulomb Orbits in Coulomb potential . 462

4.4 Orbitas circulares en el espacio de los momenta para E > 0 . . . . 466

4.5 Geometrıa de la dispersion en el espacio de los momenta . . . . . . 466

4.6 Trayectorias clasicas en un potencial de Coulomb . . . . . . . . . . 473

4.7 Oscilaciones de la seccion transversal de dispersion diferencial deMott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

5.1 Ilustracion de la convexidad de la exponencial e−x . . . . . . . . . 467

5.2 Aproximacion a la energıa libre F1 del oscilador anarmonico . . . 478

5.3 Potencial efectivo clasico de un pozo doble . . . . . . . . . . . . . 480

5.4 Energıa libre F1 en un potencial de pozo doble . . . . . . . . . . . 481

5.5 Comparacion entre los potenciales efectivos clasicos aproximadosW1(x0) y W3(x0) y los potenciales exactos V eff cl(x0) . . . . . . . . . 482

5.6 Potencial efectivo clasico W1(x0) para el potencial de pozo doble yvarias particiones temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

5.7 Densidad de partıculas aproximada del oscilador anarmonico . . . 484

5.8 Densidad de partıculas en un potencial de pozo doble . . . . . . . 485

5.9 Potencial efectivo clasico aproximado W1(r) del sistema de Coulombpara varias temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

5.10 Distribucion de partıculas en un potencial de Coulomb para difer-entes valores de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

5.11 Aproximacion variacional a primer orden de la energıa de enlace delatomo en un campo magnetico intenso . . . . . . . . . . . . . . . . 492

5.12 Potencial efectivo clasico de un atomo en un campo magnetico intenso 496

5.13 Diagrama reducible de una partıcula en el vacıo . . . . . . . . . . 502

5.14 Dependencia tıpica de las aproximaciones W1,2,3 para T = 0 enterminos de Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

5.15 Dependencia en funcion de Ω de la N−esima aproximacion WN paraT = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

5.16 Forma esquematica de WN para el desarrollo hasta N ≥ 15 . . . . 510

5.17 Frecuencias de prueba ΩN que extremizan la aproximacion varia-cional WN para T = 0 y para valores impares de N ≤ 91 . . . . . 511

5.18 Frecuencias ΩN extremas y punto de retorno de la aproximacionvariacional WN para T = 0 y valores pares e impares de N ≤ 30 . 512

5.19 Diferencia entre las energıas aproximadas del estado base E = WN

y las energıas exactas Eex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513


xxxix

5.20 Represetacion logarıtmica de los k−esimos terminos en la nueva serieperturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

5.21 Representacion logarımitca del comportamiento, en funcion de N ,de los coeficientes de la serie del acoplamiento fuerte . . . . . . . . 515

5.22 Oscilaciones del coeficiente de acoplamiento fuerte b0 como funcionde N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

5.23 Razon entre la aproximacion de la energıa del estado base del os-cilador anarmonico y la energıa exacta, en la interpolacion de ordenmenor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

5.24 Energıas de orden menor en el potencial de pozo doble en funcionde la constante de acoplamiento g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

5.25 Apoximacion isotropica del potencial efectivo clasico del sistema deCoulomb a primer y segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

5.26 Aproximacion Isotropica y Anisotropica del potencial efectivo clasicodel sistema de Coulomb a primer y segundo orden . . . . . . . . . 531

5.27 Aproximacion variacional sucesiva de primer, segundo y tercer ordena la energıa exacta del estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

5.28 Interpolacion variacional de la energıa del polaron . . . . . . . . . 5485.29 Interpolacion variacional de la masa efectiva del polaron . . . . . . 5495.30 Ancho de la fluctuacion en funcion de la temperatura de un punto

arbitrario x(τ) sobre la trayectoria de un oscilador armonico . . . . 5535.31 Comportamiento en funcion de la temperatura de las primeras 9

funciones C(n)β , donde β = 1/kBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

5.32 Integrales reducidas de Feynman a2LV (x) . . . . . . . . . . . . . . . 565

6.1 Trayectoria con discontinuidades en la variable cıclica, representadaen el esquema de zona extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

6.2 Ilustracion del comportamiento de la trayectoria cerca de la paredreflectora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

6.3 Ilustracion del comportamiento de la trayectoria en una caja . . . 584

6.4 Equivalencia de las trayectorias en una caja y las trayectorias sobreun cırculo con pared infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

6.5 Funciones variacionales fN(c) para una partıcula encerrada en unacaja a orden N = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

6.6 Convergencia exponencial de la aproximacion de acoplamiento fuerte 591

7.1 Trayectorias utilizadas en la funcion de particion (7.9) . . . . . . . 5987.2 Representacion periodica de las trayectorias utilizadas en la funcion

de particion (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5997.3 De las w! permutaciones asociadas a las diferentes vueltas alrededor

del cilindro, (w − 1)! estaran conectadas . . . . . . . . . . . . . . . 6007.4 Grafica del calor especıfico de un gas de bosones libres . . . . . . . 6027.5 Representacion grafica de las funciones ζν(z), funciones que aparecen

en la termodinamica de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 606


xl

7.6 Calor especıfico de un gas de Bose, cuya transicion de fase es en Tc 6117.7 Transicion propuesta en el diagrama de fase de la condensacion de

Bose-Einstein para diferentes valores de la intensidad de interaccion 6187.8 Energıas de las excitaciones elementales del 4He superfluido . . . . 6197.9 Fraccion de partıculas en el estado condensado Ncond/N ≡ 1−Nn/N

en funcion de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6247.10 Curva del calor especıfico en una trampa armonica . . . . . . . . . 6327.11 Comportamiento del calor especıfico del gas libre de Fermi en

terminos de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6407.12 Correcciones a la temperatura crıtica desde N = 300 hasta infinito 7007.13 Gaficas de la fraccion del condensado y su segunda derivada para un

gas simple de Bose en una caja finita. . . . . . . . . . . . . . . . . 703

10.1 Dislocacion de borde en un cristal asociada con la ausencia de unplano semi-infinito de atomos como fuente de torsion . . . . . . . . 795

10.2 La disclinacion en un cristal asociada con la falta de una seccionsemi-infinita de atomos, como fuente de curvatura . . . . . . . . . 796

10.3 Imagen de la transformacion holonomica y no holonomica de lavariacion de una funcion δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800

10.4 Funciones de Green de los desarrollos perturbativos en coordenadascurvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

10.5 Circuito cerrado de corriente L, infinitesimalmente delgado, y campomagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

10.6 Sistema coordenado qµ y los dos conjuntos de coordenadas localesno–holonomicas dxα y dxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

13.1 Esquema de los puntos finales asociados en el espacio u, a ser suma-dos en la amplitud del oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . 960

15.1 Cadena Aleatoria de N eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104915.2 Distribucion extremo a extremo PN(R) de la cadena aleatoria con

N eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105515.3 Eslabones vecinos para el calculo de los valores esperados . . . . . 106615.4 Parametros k, β ym para un mejor ajuste de la distribucion extremo

a extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107915.5 Funciones de estructura para diferentes longitudes de persistencia

obtenidas de la distribucion extremo a extremo . . . . . . . . . . . 108015.6 Distribuciones normalizadas extremo a extremo para el polımero rıgido108315.7 Comparacion del exponente crıtico ν en la aproximacion de Flory y

el resultado de la teorıa cuantica de campo . . . . . . . . . . . . . 1109

16.1 Segundo coeficiente del virial B2 como funcion del flujo µ0 . . . . . 113316.2 Nudo de trebol izquierdo en un polımero . . . . . . . . . . . . . . 113416.3 Nudo no principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113516.4 Ilustracion de la ley de multiplicacion en el grupo de nudos . . . . 1135


xli

16.5 Nudos compuestos no equivalentes que poseen grupos isomorficos . 1136

16.6 Movimientos de Reidemeister en un nudo proyectado . . . . . . . . 1137

16.7 Nudos simples con un mınimo de 8 cruces. . . . . . . . . . . . . . 1138

16.8 Etiquetado de los pasos inferiores para la construccion de los poli-nomios de Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139

16.9 Nudos excepcionales que tienen el mismo polinomio de Alexanderde un nudo trivial, encontrados por Kinoshita y Terasaka, Conwayy Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141

16.10 Regla para eliminar cruces en la generacion de los polinomios deKauffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143

16.11 Descomposicion de Kauffman del nudo de trebol . . . . . . . . . . 1143

16.12 Operaciones de desenredo entre nudos complicados y nudos sencillos1143

16.13 Operaciones de desenredo para calcular los polinomios de Jones dedos espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144

16.14 Operaciones de desenredo para calcular los polinomios de Jones delnudo de trebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145

16.15 Operacion de desenredo para calcular el polinomio de Jones del es-labon de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146

16.16 Nudos con 10 y 13 cruces que no se pueden distingir por los poli-nomios de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148

16.17 Fraccion fN de polımeros cerrados desanudados de longitud fija L =Na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148

16.18 Vista circular idealizada del ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151

16.19 Molecula de ADN super-enrollada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151

16.20 Ligaduras simples de dos polımeros hasta con 8 cruces . . . . . . . 1152

16.21 Ilustracion de la relacion de Calagareau-White . . . . . . . . . . . 1157

16.22 Polımeros cerrados sobre los contornos C1, C2 respectivamente. . . 1161

16.23 Diagramas que contribuyen a la integral funcional . . . . . . . . . 1168

16.24 Valores teoricos del parametro ν para los cuales se esperan valoresconstantes de la resistencia Hall cuantica fraccionaria h/e2ν . . . . 1180

16.25 Cruces triviales LT+ y LT−. Su remocion por medio de unmovimiento de Reidemeister del tipo I disminuye o aumenta el re-torcido w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188

17.1 Grafico de un potencial de pozo doble simetrico . . . . . . . . . . . 1194

17.2 Solucion positiva clsica en un potencial de pozo doble que conectados maximos degenerados en un potencial invertido . . . . . . . . 1197

17.3 Potencial de pozo doble invertido, el cual controla el movimiento dela posicion x en funcion del tiempo imaginario τ . . . . . . . . . . 1198

17.4 Potencial para las fluctuaciones cuadraticas alrededor de unasolucion positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202

17.5 Vertices y lıneas de diagramas de Feynman para el factor de cor-reccion C de la Ec. (17.225) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227


xlii

17.6 Posiciones de los valores extremos xex en un potencial asimetrico depozo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230

17.7 Solucion de burbuja clasica en el potencial asimetrico inverso deorden cuarto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232

17.8 Accion de la solucion deformada de burbuja en funcion de unparametro de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234

17.9 Sucesion de trayectorias como funcion del parametro ξ . . . . . . . 123517.10 Lıneas de valores constantes de Re (t2 + t3), en el plano complejo t,

y contornos de integracion Ci que conservan la convergencia de laintegral de fluctuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237

17.11 Potencial del oscilador anarmonico para valores pequenos y nega-tivos de la constante de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 1245

17.12 Potencial de Rosen-Morse para las fluctuaciones alrededor de lasolucion clasica de burbuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246

17.13 Parte imaginaria reducida de los tres niveles de energıa de menororden del oscilador anarmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255

17.14 Energıa del oscilador anarmonico en funcion de g′ ≡ g/ω3, obtenidade la parte imaginaria variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258

17.15 Parte imaginaria reducida de la energıa del estado base del osciladoranarmonico en la teorıa variacional perturbativa . . . . . . . . . . 1259

17.16 Singularidades en el plano complejo g cuyos momentos con respectoa la inversa de la constante de acoplamiento determinan los coefi-cientes del nuevo desarrollor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262

17.17 Comportamiento calculado para la aproximacion N -esima de α0 . 126617.18 Comportamiento oscilatorio obtenido teoricamente para la aproxi-

macion exponencial asintotica de α0 respecto de su valor exacto . . 126717.19 Comparacion de la razon Rn entre coeficientes sucesivos del desar-

rollo de acoplamiento fuerte con la razon Rasn . . . . . . . . . . . . 1268

17.20 Desarrollo en terminos del acoplamiento fuerte de la energıa del es-tado base en comparacion con los valores exactos y los resultadosperturbativos de 2do. y 3er. orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268

17.21 Trayectorias del grupo de renormalizacion para superconductoresfısicamente identicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271

17.22 Potencial V (ρ) = −ρ2 + ρ4/2 − j2/ρ2 mostrando la barrera en elcable superconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276

17.23 Energıa de condensacion como funcion del parametro de velocidadkn = 2πn/L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277

17.24 Parametro de orden de un cable superconductor circular delgado . 127717.25 Transicion extrema del parametro de orden en el cable superconductor127817.26 La traslacion infinitesimal de la burbuja crıtica da origen a una

funcion de onda antisimetrica con energıa cero . . . . . . . . . . . 127917.27 Grafica logarıtmica de la resistencia de un cable delgado supercon-

ductor como funcion de la temperatura para una corriente de 0.2µA128117.28 Energıa de la burbuja como funcion de su radio R . . . . . . . . . 1282


xliii

17.29 Comportamiento cualitativo de la solucion de burbuja crıtica comofuncion de su radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284

17.30 Decaimiento del falso vacıo metaestable en el espacio de Minkowski 1289

18.1 Contorno temporal cerrado en la integrales de trayectoria de ida yvuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317

18.2 Comportamiento de la funcion 6J(z)/π2 en el corrimiento de Lambpara temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385

19.1 Imagen espacio-temporal de la creacion de una par . . . . . . . . . 142019.2 Potencial para un universo cerrado de Friedman en funcion del radio

a/amax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143819.3 Radio del universo como una funcion del tiempo en el modelo de

Friedman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438

20.1 Periodos de crecimiento exponencial del ındice de precios promedi-ado sobre las principales acciones industriales en los Estados Unidosen los ultimos 80 anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474

20.2 Indice S&P 500 para un peıodo de 13 anos, desde el 1o. de Enerode 1984 hasta el 14 de Diciembre de 1996, almacenado cado minutoy volatilidad en intervalos de 30 min . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474

20.3 Comparacion del ajuste Gaussiano, logartmico normal y distribucionGama de la volatilidad en un intervalo de 300 minutos . . . . . . . 1475

20.4 Espectro de fluctuacion de la razon de cambio DM/US$ . . . . . . 147620.5 Comportamiento logarıtmico del precio de las acciones de acuerdo a

la ecuacion diferencial estocastica (20.1) . . . . . . . . . . . . . . . 147620.6 Izquierda: decrecimiento de Levy del ındice S&P 500 (logaritmo de

la renta al minuto) graficado en funcion de z/δ. Derecha: Graficalogaritmo-logaritmo mostrando un decrecimiento siguiendo una leyde potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478

20.7 Ajuste optimo a la version acumulativa dada por la Ec. (20.38) us-ando la distribucion truncada de Levy . . . . . . . . . . . . . . . 1483

20.8 Cambio en la forma de las distribuciones truncadas de Levy paraun ancho σ = 1, donde incrementamos el valor de las kurtoses κ =0, 1, 2 , 5, 10, (la curva solida corresponde a la Gaussiana) . . . . . 1484

20.9 Cambio en la forma de las distribuciones truncadas de Levy conancho σ = 1 y kurtosis κ = 1 y con aumento en la distosion s = 0(curva continua), 0.4, 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487

20.10 Distribucion de Boltzmann del logaritmo de la renta de alta fre-cuencia de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 almacenados porminuto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489

20.11 Temperatura financiera de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 desde1990 hasta 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1490

20.12 Indice Dow Jones en los ultimos 78 anos (1929-2006) y temperaturaanual del mercado financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491


xliv

20.13 Grafica logarıtmica de la exponencial δ normalizada para δ = 0(Gaussiana), 0.2, 0.4, 0.6, en todos los casos σ = 1, y ajuste de larenta logarıtmica de las acciones 20 NYSE para escalas temporalesde 1 a 3 minutos de esta distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . 1494

20.14 Comparacion del ajuste optimo de la distribucion de Meixner con ladistribucion truncada de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497

20.15 Ajuste mediante una distribucion Gaussiana al logaritmo de la rentaS&P 500, los datos se han almacenado en intervalos de 60 min, 240min y 1 dıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505

20.16 Ruido tıpico de un proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 150820.17 Distribuciones acumulativas obtenidas de convoluciones repetidas de

las distribuciones del cambio de los precios S&P 500 cada 15 min. 150920.18 Distribucion Gaussiana del logaritmo de la renta semanal S&P 500

y NASDAQ 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151020.19 Varianza de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 como funcion del

tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151120.20 Kurtosis de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 como funcion del

tiempo. El lado derecho muestra, en porcentaje, la desviacion re-specto al comportamiento 1/t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512

20.21 Distribucion estacionaria de las varianzas . . . . . . . . . . . . . . 153520.22 Distribucion de probabilidad del logaritmo del precio de las acciones

para diferentes escalas temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153820.23 Distribucion universal de los datos Dow-Jones . . . . . . . . . . . 154020.24 Pendiente −d logP (x t |xata)/dx del decrecimiento exponencial de la

distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154120.25 Fraccion f(∆t) de la probabilidad total contenida en la parte Gaus-

siana de P (x t |xata) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154220.26 Singularidades de H(p,∆t) en el plano complejo p . . . . . . . . . 154320.27 Izquierda: Comparacion del proceso GARCH(1,1) con los datos al

minuto del ındice S&P 500. Derecha: Comparacion de los modelosGARCH(1,1), Heston y Gaussiano con los datos diarios del mercado1548

20.28 Relacion entre en el precio de las acciones S y la opcion de venta O,precio de ejercicio E y volatilidad σ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1560

20.29 Sonrisa hallada a partir de las opciones . . . . . . . . . . . . . . . 156120.30 Relacion entre el precio de rescate O(S, t) y el precio de las acciones

S para una distribucion truncada de Levy . . . . . . . . . . . . . . 156320.31 Relacion entre del precio de rescate O(S, v, t) y el precio de las ac-

ciones S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156620.32 Representacion de L

(λ,α)σ2

(K)(x), para valores grandes de x, en funcionde diferentes terminos del desarrollo, se muestra una comparacioncon la distribucion truncada de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572


Lista de Tablas

3.1 Coeficientes de la correccion a la energıa del estado base del osciladorincluyendo anarmocidad cubica y cuarta . . . . . . . . . . . . . . . 376

3.2 Coeficientes de la correccion a la energıa del estado base del osciladorincluyendo anarmocidad de orden cubica y cuarta en prensencia deuna corriente externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

3.3 Potencial efectivo del oscilador con anarmonicidad de orden cubicay cuarta, en terminos de la serie de potencias de la constante deacoplamiento g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

4.1 Energıa de las partıculas para un potencial anarmonico gx4/4 paran = 0, 2, 4, 6, 8, 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

5.1 Comparacion de la energıa variacional con la energıa del estado base 473

5.2 Contribucion de los primeros seis terminos en la serie para valoresgrandes del campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

5.3 Coeficientes de la aproximacion a orden B6 para la representacion decampo debil de los parametros variacionales y energıa de ligadura . 493

5.4 Correccion variacional a las energıas en la aproximacion de Bohr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

5.5 Energıas del n−esimo estado excitado del oscilador anarmonico paravarios valores de la magnitud de acoplamiento . . . . . . . . . . . . 499

5.6 Aproximacion de segundo y tercer orden a la energıa del estado basedel oscilador anarmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

5.7 Energıa libre del oscilador anarmonico para varios valores de la con-stante de acoplamiento y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

5.8 Comparacion entre la aproximacion variacional de WN , para T = 0 yvalores crecientes de N , y la energıa exacta del estado base . . . . . 512

5.9 Coeficientes bn en la aproximacion de acoplamiento fuerte para laenergıa del estado base del oscilador anarmonico . . . . . . . . . . . 516

5.10 Ecuaciones que determinan los coeficientes bn en la representacion deacoplamiento fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

5.11 Aproximacion de orden superior, para n = 8, a las energıas excitadasdel oscilador anarmonico, y para varios valores de la constante deacoplamiento g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

5.12 Resultados numericos de los parametros variacionales y la energıa . 545

xlv

xlvi

6.1 Las nueve primeras funciones variacionales fN(c) . . . . . . . . . . . 590

16.1 Numero de nudos simples y compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 113716.2 Tablas de paso inferior y direcciones de las lıneas superiores de un

nudo de trebol y un nudo 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113916.3 Polinomios de Alexander, Jones, y HOMFLY para los nudos mas

simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114016.4 Polinomios de Kauffman en la descomposicion del nudo de trebol . 114416.5 Polinomios de Alexander A(s, t) y polinomios de HOMFLY H(t, α)

para eslabones simples% de dos curvas cerradas con un mınimo dehasta 8 cruces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154

17.1 Comparacion entre los coeficientes perturbativos exactos, lossemiclasicos y los obtenidos de nuestra aproximacion variacional . . 1257

17.2 Coeficientes del desarrollo semiclasico alrededor de la solucion clasica1260

20.1 Parametros de las ecuaciones con fluctuaciones en la varianzaobtenidos del ajuste a los datos Dow-Jones . . . . . . . . . . . . . . 1574


integrales de trayectoriausers.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5/psfiles-sp/pthic00.pdf · nature...

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