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MatemáticaFinancieraMatemáticaFinanciera

Decanatode Postgrado e Investigaciones

Decanatode Postgrado e Investigaciones

Interés Interés CompuestoCompuesto

Interés Interés CompuestoCompuesto

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra

Interés CompuestoInterés Compuesto

Los intereses se capitalizan, es

decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición.

Capital

Intereses

Capital+

Intereses

DEFINICION

Mate

máti

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cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Periodo

C. Inicial(P)

Intereses(I) C. Final (F)

1 1.000 100 1.100

10%

2 1.100 110 1.210

3 1.210 121 1.331

4 1.331 133,10 1.464,10

5 1.464,10 146,41 1.610,51

Mate

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inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Periodo C. Inicial(P)

Intereses(I) C. Final (F)

1 P Pi P(1+i)

i %

2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2

iP(1+i)3

. ...... ....... ........

n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n

Mate

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ate

máti

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inan

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ra


Características

Los intereses devengan intereses

Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización

Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo

La equivalencia de capitales es perfecta

Mate

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inan

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ate

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inan

cie

ra


VP: Valor Presente o capital Inicial

VF: Valor Futuro o Monto final

I: Intereses

i: tasa del periodo de capitalización

n: plazo de la operación expresado en periodos de capitalización

k: Frecuencia de la capitalización

Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los

intereses

Elementos

Mate

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ate

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inan

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Frecuencia de capitalización (k)

Número de veces que se capitalizan los intereses al año.

Si tomamos como unidad de tiempo el mes, y el interés se compone mensualmente entonces k = 12;

si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces

k = 12/3 = 4;

si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6

Mate

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inan

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Frecuencia de capitalización (k)

Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés anual convertible cuatrimestralmente?

3re)cuatrimest un (en meses 4

año) 1 en meses( 12K

La frecuencia es 3

Mate

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ate

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ca F

inan

cie

ra


NOTACION Y FORMULAS

i = Tasa del periodo de capitalizaciónVP = Valor presente o capital invertidoI = Intereses devengados.n = Nº de periodos de capitalizaciónVF = Valor futuro o Monto final

VF = VP*(1+i)n

I = VP*[(1+i)n-1] VP = VF*(1+i)-n

Mate

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

VF = VP*(1 + i)n

VP

V.Futuro

Tiempo 1

VF = VP*(1 + i*n)

Mate

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inan

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TASAS

Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera

Proporcional odel periodo:ip

ki

cap. frecuencianominal tasa

ip

Efectiva: ieTasa real deganancia anual 1)

ki

1(i ke

Mate

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ate

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inan

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ra


¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs. 1.000.000 colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? ¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?

Ejemplo Nº1Ejemplo Nº1

Mate

máti

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inan

cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución:

VP= 1.000.000k =12n = 12 meses

Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89

ni

1*VPVF

k

89,760.425.11236,0

000.000.

12

1*1VF

Mate

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cie

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ate

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inan

cie

ra


¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?

Inversión: 1.000.000Recupero en un año: 1.425.760,89Intereses ganados en el año:

1.425.760,89-1.000.000 = 425.760,89

Tasa real de ganancia anual =

La tasa de ganancia real anual es de 42,58%.

42576089,0000.000.1

89,760.425

Mate

máti

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inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal

anual convertible trimestralmente durante dos años?


Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso,

Tasa efectiva de 26,25% anual

Solución:Solución:

0,262510,061i

i14

0,241i1

40,24

1

i1*1.000.0004

0,241*1.000.000VF

4e

e

42

e

8

2e

8

Mate

máti

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inan

cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 durante dos años en

un banco que paga 24% nominal anual convertible trimestralmente durante un año y

22% nominal anual capitalizable mensualmente, durante el año siguiente?

Ejemplo Ejemplo Nº3Nº3

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar 1.000.000 a las tasas anteriores. Por eso,

Valor al final del primer año:

Valor al final del segundo año:

Solución:Solución:

96,476.262.14

0,241*1.000.000VF

4

96,476.262.14

0,241*1.000.000VF

4

02,012.570.112

0,221*96,476.262.1VF

12

Mate

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inan

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máti

ca F

inan

cie

ra


Invertimos 1.000.000 y al cabo de 2 años obtenemos como valor final 1.570.012,02. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?

Tasa efectiva de 25,30% anual

SoluciónSolución (continuación):(continuación):

96,476.262.14

0,241*1.000.000VF

4

2530,0i

02,012.570.1i1*1.000.000

e

22

Mate

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inan

cie

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ate

máti

ca F

inan

cie

ra


TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final

Tasa nominal: iFrecuencia anual: k

Tasa nominal:jFrecuencia anual: p

pk )pj

1()ki

1(

Mate

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ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente.

R: 64,65%


Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución:

3 12i 0,60

1+ = 1+ i 0,64653 12

Tasa: 64,65% nominal anual capitalizableCuatrimestralmente.

En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


PERIODOS PERIODOS FRACCIONARIOSFRACCIONARIOS

Convenio lineal

Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con

la tasa equivalente

Convenio exponencia

l

Los intereses de la fracción se

calculan a interés simple

Mate

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ra



Una persona recibe un préstamo de Bs. 20.000 que cancelará en dos

pagos de la siguiente manera: Bs. 10.000 dentro de diez meses y el resto dentro de un año. La tasa de

interés es de 24% nominal anual con capitalización trimestral. Calcular el

valor del último pago.

Mate

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máti

ca F

inan

cie

ra


Solución ejemplo Nº5

0 10 12

20.000 10000x

X 324 )06,1(000.10)06,01(000.20

44,853.14X

24% a.c.t es equivalente a 6% t.c.t.

La deuda se lleva al mes 12 y se igualan a los pagos llevados al mes 12

Mate

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ra


En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs. 200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.


Mate

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máti

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cie

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Solución ejemplo Nº6100.000

0200.000

5

500.000

10

14

X

20

7

18%

12*20 12*7 4*130, 30 0, 30 0,18

100.000 1 100.000 1 112 12 4

12*2 4*13 4*100, 30 0,18 0,18

200.000 1 1 500.000 112 4 4

4*60,18

x 1 x 12.552.332,124

Mate

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ca F

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cie

ra


1)Se invierten 1.500.000 durante 8 meses a la tasa de 20% nominal anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?

2) Se invierten 2.300.000 durante 1 año y 5 meses a la

tasa de 24% nominal anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?

3) Se invierten 800.000 durante 1 año y 6 meses a la tasa de 18% n.a.c.m., durante los ochos primeros meses y al 20% n.a.c.m., durante el resto de la operación. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación?

R: 21,94%; 26,25%; 20,88%

EjerciciosEjercicios

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Ejercicio 4 :: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:

Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización

Tasa Tasa del del

periodoperiodo

Tasa Tasa efectivefectiv

aa

Capital Capital FinalFinal

Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral

Anual

Semestral

Cuatrimestral 12%

Trimestral

Bimestral

Mensual 1.425,70

Quincenal

Diaria 37,65 % n.a.

Mate

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ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre?

R: 4.526,43 $

Ejercicio Nº5Ejercicio Nº5

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Un inversionista coloca 2.500.000 a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. Calcule:

a) El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9.

b) El total de intereses ganados hasta el final del año 15.

R: Bs. 4.445.221,50; Bs. 44.197.964,73


Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación.

R: El capital inicial es 2.000.000 tasa efectiva es 26,51%


Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


TASAS VARIABLESTASAS VARIABLES

j21n

j

j

n

2

2

n

1

1

k

i1*...*

k

i1*

k

i1*VPVF

ij es la tasa nominal con frecuencia kj durante nj periodos de capitalización.

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución:

1)

14,836.199.34

0,241*2.300.000VF

317

0,2625i

14,836.199.3i1*2.300.000 12

17

2)

771.712.063,12

0,201*1.500.000VF

8

0,2194i

771.712.063,i1*1.500.000 12

8

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución:

3)

07,194.90112

0,181*800.000VF

8

57,173.063.112

0,201*07,194.901VF

10

0,2088i

57,173.063.1i1*800.000 12

18

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución 4:: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:

Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización

Tasa Tasa del del

periodoperiodo

Tasa Tasa efectivefectiv

aa

Capital Capital FinalFinal

Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral

Anual 36% 36% 1.360 31.96% n.a.

Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a.

Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a.

Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a.

Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a.

Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a.

Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a.

Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº5:

10

5.000P 4.526, 43

0,121

12

Necesita depositar 4.526,43 $

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº6 Diagrama Temporal:

0 6

8 9 151

9 trimestres

I = 12.507.971,36 – 8.062.749,86 = 4.445.221,50

36,971.507.124

20,01*000.500.2VF

)14*8(33

86,749.062.8420,0

1*000.500.2VF6*4

73,964.197.44000.500.273,964.697.46TI

73,964.697.46420,0

1*000.500.2VF15*4

Mate

máti

ca F

inan

cie

raM

ate

máti

ca F

inan

cie

ra


Solución Nº7

9 4 2 50,20 0,30 0,27 0,246

P 1+ 1+ 1+ 1+ = 4.049.457,142 12 3 4

P = 2.000.000

32.000.000(1+i) = 4.049.457,14

i = 26,51%

El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es 26,51%

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