matemática general - 3era magistral 2013
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CONFERENCIA MAGISTRAL #3
MATEMÁTICA GENERAL
UNAN-MANAGUA
www.matematicageneral.co.nr
OBJETIVOS
Interpretar los conceptos de proporcionalidad directa e
inversa y su relación con la regla de tres simple y los
porcentajes.
Manejar los conceptos de proporcionalidad directa e
inversa, regla de tres simple y porcentajes en la
resolución de problemas de su entorno.
Valorar la importancia de las proporcionalidad, la regla
de tres simple y el cálculo de porcentaje en la resolución
de problemas.
CONTENIDOS
Proporcionalidad Directa entre dos
cantidades.
Proporcionalidad Inversa entre dos
cantidades.
Regla de tres simple
Porcentaje
¿POR QUÉ NOS INTERESA SABER
SOBRE LA PROPORCIONALIDAD DE
CANTIDADES?
• ¿Qué es una proporción?
• ¿Cuándo tenemos proporcionalidad
directa entre dos cantidades?
• ¿Cuándo tenemos proporcionalidad
inversa entre dos cantidades?
• ¿Cómo se calcula una Regla de tres?
• ¿Qué es un porcentaje?
PROPORCIONALIDAD
Tales de Mileto, utilizó la proporcionalidad para
calcular la altura de la pirámide.
RAZÓN ENTRE DOS CANTIDADES
Una Razón es una comparación entre dos
cantidades de la misma naturaleza y de las
mismas unidades. Generalmente, una razón se
escribe como una fracción simplificada.
Como las unidades de medida son las mismas
no es necesario escribirlas.
Ejemplo : La razón entre el ancho y el largo de
un rectángulo es de 5 cm por 8 cm:
o
PROPORCIÓN
Dos cantidades son proporcionales si cada término de una segunda cantidad se obtiene multiplicando por un mismo número, el término correspondiente de la primera cantidad. Este número es llamado coeficiente de proporcionalidad.
Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Ejemplo: =
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
En una proporción siempre el producto de
los medios es igual al producto de los
extremos, este producto se conoce como
producto cruz
En una proporción podemos obtener otras
proporciones intercambiando los medios o
intercambiando los extremos.
PROPIEDAD ADITIVA
En una proporción la suma de los
numeradores es a la suma de los
denominadores.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Decimos que dos cantidades son
directamente proporcional, cuando una de
ellas es multiplicada por 2,3,4 la otra es
igualmente multiplicada 2,3,4 ; este número
recibe el nombre de constante de
proporcionalidad
Ejemplo: Venta de metros de tela. Al
aumentar la compra de metros de tela, el
costo aumenta en esa proporción.Tela(metros) 10 15 20
Costo($) 90 135 180
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Decimos que dos cantidades son
inversamente proporcional, cuando
una de ellas es multiplicada por 2,3,4
la otra es igualmente dividida por 2,3,4
Ejemplo: La velocidad de un vehículo
y la duración del trayecto. Cuanto
mayor es la velocidad en tiempo
disminuye en esa proporción.
Velocidad(km/h) 40 80 160
Tiempo (horas) 4 2 1
¿PREGUNTA DE CONTROL?
¿Cómo reconocer sin una
proporción es directa o Inversa?
Directa: Si una cantidad aumenta la
otra también
Inversa: Si una cantidad aumenta la
otra disminuye.
REGLA DE TRES
La regla de tres se refiere a la proporcionalidad y la
teoría de las proporciones fundadas por los griegos y
presentada en los libros V y VII de los Elementos de
Euclides (siglo III a C).
Una de las propiedades fundamentales de las
proporciones, demostrada por Euclides en el libro VII
es que si cuatro números están en proporción, el
producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
La resolución de la regla de tres planteada por el
método antiguo se escribía 7: 12 :: 25: x, ahora
escribiríamos ahora en forma de fracción como
CUARTA PROPORCIONAL
La cuarta proporcional es el cuarto número
buscado en una proporción donde se conocen los
otros tres. El cuarto número se obtiene por el
"producto cruz“ o regla de tres.
Por ejemplo si tenemos 6/ 12=8/x
Se tiene que 6x=12*8
Donde x=12*8/6
A veces es más práctico usar una tabla como
sigue:6 8
12 x
EJEMPLOS DE PROPORCIONALIDAD
RESUELTOS POR REGLA DE TRES
Ejemplo 1:Un fabricante factura 350 sillas idénticas
a un precio de C$5600. ¿Cuál sería el precio de 1
250 de estas sillas?
Solución: Primero expresamos los datos en la
siguiente tabla, la proporcionalidad es directa
Resolviendo para la incógnita tenemos:
350x=5600*1250
x=20,000
Por lo tanto el precio sería 20,000
Conozco Desconozco
No sillas 350 1250
Precio 5600 x
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Ejemplo 2: Tres trabajadores tomaron 30 días para
construir una casa. ¿Cuántos días habrían tomado
5 trabajadores para construir la misma casa en las
mismas condiciones?
Solución: Presentamos los datos en la tabla
siguiente:
La proporcionalidad es inversa, por lo tanto el valor
de la incógnita es 5x=30*3 y así x=18.
Es decir le tomará a lo 5 obreros 18 días.
Conozco Desconozco
No Obreros 3 5
No de días 30 x
TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE
Podemos hablar de las proporciones
expresando el valor de la razón bajo la
forma de un porcentaje, por ejemplo como
la proporción de candidatos electos en un
concurso es de 67%, esto significa que de
los 100 candidatos 67 fueron electos.
ANALICE LAS SIGUIENTES SITUACIONES
Se dice que “el 60% de los estudiantes de
esta conferencia magistral son mujeres”, se
está expresando que de cada 100
estudiantes, 60 son mujeres.
Una cámara fotográfica “SONY” tiene un
precio de C$ 3 500 pero por aproximarse
las vacaciones de semana santa, hay un
descuento del 25% ¿Cuánto se pagará por
el artículo?
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ANTERIOR
Precio del articulo:
3500 x 0.25 =
C$3500 - C$875 =
Descuento del articulo:
Descuento
Precio a pagar por
el artículo
Precio
C$ 3,500
25% (0.25)
C$875
C$2625
PROBLEMAS SOBRE PORCENTAJES
Hace aproximadamente un año el galón de
gasolina súper costaba 28 córdobas. A un
año de distancia se ha incrementado en un
8% ¿Cuál es el precio actual del galón de
gasolina?
2 8 X 1 00000
00 8 =0. 30.24
1. Baldor, A. (2002). Aritmética. Publicaciones
cultural décima séptima reimpresión.
2. Jara, V. (2008). Matemática. Prueba de
Selección Universitaria. Facultad de Ciencias
Universidad de Chile.
3. Colectivo de autores (2000). La biblia de las
matemáticas. Editorial Letrarte.