Identificar los casos de productos notables en Expresiones Algebraicas

Determinar productos notables por simple inspección

Factorizar expresiones algebraicas de los casos más usuales

PRODUCTOS NOTABLES

FACTORIZACION

EJEMPLOS DE PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Un producto es el resultado de multiplicardos o más números. Los números que semultiplican se llaman factores o divisores

del producto. Se llaman productosnotables (o productos especiales)a ciertos productos que cumplen reglasfijas y cuyo resultado puede ser escritopor simple inspección, es decir, sinverificar la multiplicación.

1) CUADRADO DE UNA SUMA (DIFERENCIA) DE DOS TÉRMINOS O CANTIDADES:

(a+b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a-b) 2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplos:

a) (x+2)2 = x2 +2(x)(2)+(2)2= x2+4x+4

b) (2a-1)2 =( 2a)2 - (2)(2a)(1)+(1)2= 4a2-4a+1

c) (2m+4n)2 =( 2m)2 + (2)(2m)(4n)+(4n)2= 4m2+16mn+16n2

2) PRODUCTO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA (SUMA POR DIFERENCIA):

(a + b)(a - b) = a2 – b2

Ejemplos:

a)(b+1) (b-1) = (b)2 –(1)2 = b2-1

b)(2x+3y) (2x-3y) = (2x)2 –(3y)2 = 4x2-9y2

3) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN:

(x +b)(x+d) = x2 +(b+d)x+ b.d

EJEMPLOS:

(x + 3 ) ( x + 2 ) = x2 +( 3+2) x + 3.2 = x2 + 5x + 6

(a + 8 ) ( a – 7 ) = a2 + (8 – 7 ) x + 8(-7) = a2 + a – 56

(p – 9) ( p – 12) = p2 + (-9+(–12))p +(-9)(-12) = p2– 21p+108

4) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (ax+b)(cx+d):

(ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x + b.d

Ejemplo:

(3x +5) ( 2x -4) =(3)(2)x2+(3*-4 +5*2)x + 5* (-4)=6x2 -2x -20

(2x - 3) ( 3x -5) =(2)(3)x2+(2*(-5) +(-3)*(3))x + (-3)* (-5)=6x2 -19x +15

5) CUBO DE UN BINOMIO

(a+b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 +b3

(a- b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 -b3

Ejemplos:

(4n +3)3 = (4n)3 +3(4n)2(3)+3(4n)(3)2+(3)3

= 64n3 + 144n2+108n2+27

(1 – a2)3 = (1)3- 3(1)2(a)2+3(1)(a2)2- (a2)3

= 1 – 3a2 +3a4 –a6

6. BINOMIO POR TRINOMIO

(a+b) (a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

(a- b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3

Ejemplos:

(x + 3) ( x2 – 3x + 9 ) = x3 + (3)3

=x3 + 27

(1 – a2) ( 1 +a2 + a4) = (1)3 – (a2)3

=1 - a6

• Es el proceso de encontrar dos o másexpresiones algebraicas cuyoproducto sea igual a la expresióndada; es decir, consiste entransformar a dicho polinomiocomo el producto de dos o másfactores.

CASOS MÁS USUALES

1) Factor común:

ax + ay = a(x + y) (Monomio)

x(a +b ) + m (a + b) = (a +b ) (x + m) (Polinomio)

2) Diferencia de Cuadrados:

a2 – b2 =(a-b)(a+b)

3) Trinomio de la forma x2+bx+c:

x2 +(b+d)x+ b.d = (x +b)(x+d)

CASOS MÁS USUALES

4) Trinomio de la forma ax2 + bx + c

acx2 + (ad+bc)x + b.d = (ax + b)(cx + d)

5) Trinomio Cuadrado Perfecto:

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplos de Factor Común

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)

= m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

= (x+2)(m+2)

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz

= a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)

= (17x +3y +7z)(a – m)

Ejemplos de Trinomio cuadrado perfecto

5)

6)

7)

Ejemplos

8) 9x2 - 6x + 1 = (3x - 1)2

9) - 4a6 – 9b4 + 12a3b2 = - 4a6 + 12a3b2 – 9b4

= - (4a6 – 12a3b2 + 9b4)

= - (2a3 - 3b2)2

Resolver y conectar según los resultados.

RESUMEN DE LAS REGLAS UTILIZADAS

De derecha a izquierda actúan como métodos de factorizacióny de izquierda a derecha como productos especiales onotables

1. a (x + y) = ax + ay 2. (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2

3. (x + y) (x – y) = x2 – y2

4. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 5. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd 6. (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3

7. (x – y)3 = x3 – 3x2 y + 3xy2 – y3

8. (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3

9. (x – y) (x2 + xy + y2) = x3 - y3

MUCHAS GRACIAS