MECANICAANALITICANivaldoA.LemosDepartamentodeFsicaUniversidadeFederalFluminenseVERSAOPRELIMINARiDedicado `as minhas lhasCintia, Luiza e BeatriziiiPhysicallawsshouldhavemathematicalbeauty.PaulAdrienMauriceDiracPoetssaysciencetakesawayfromthebeautyof thestars mere globs of gas atoms. I too can see the stars on a desert night,andfeel them. ButdoIseelessormore? Thevastnessof theheavens stretches my imagination. A vast pattern of which I ama part. It does not do harm to the mystery to know a little aboutit. Farmoremarvellousisthetruththananyartistsofthepastimaginedit. WhatmenarepoetswhocanspeakofJupiterifhewereaman,butifheisanimmensespinningsphereofmethaneandammoniamustbesilent?RichardPhillipsFeynmanvPREFACIOLend me your ears and Ill sing you a song,And Ill try not to sing out of key.With a Little Help From My FriendsJohn Lennon & Paul McCartneyAmecanicaanalticae oalicerce dafsicateorica. Ograndiosoedifciodateoriaquanticafoierigidosobreabasedamecanicaanaltica,particularmentenaformadevidaaHamilton. Amecanicaestatsticaeas teorias decampos das partculas elementaressaofortementemarcadasporelementosestruturaisextradosdamecanicaclassica. Alemdisso, o vertiginoso desenvolvimento das teorias do caos e dos sistemas dinamicos em geralpromoveu um renascimento da mecanica classica nas ultimas decadas do seculo XX. Assim,oestudodepraticamentequalquerramodafsicaatual requerumaformacaosolidaemmecanicaanaltica, aqual, por si so, continuasendodeenormeimportanciapor suasaplicacoesemengenhariaenamecanicaceleste.Aolongodeduas decadas, deformaintermitente, oautor vemministrandoadis-ciplinademecanicaanalticanocursodegraduacaoemFsicadaUniversidadeFederalFluminense. O presente texto, fruto dessa experiencia e de uma atracao ininterrupta peloassunto, destina-seaestudantesdegraduacaoquetenhampassadoporumcursointer-mediariodemecanicanumnvelcomparavelaodeSymon(1971)ouMarion&Thornton(1995). Quanto aos pre-requisitos matematicos, os cursos usuais de calculo de uma e variasvariaveis,equacoesdiferenciaisordinariasealgebralinearsaosucientes.Amecanicaanalticaeumadisciplinadecarater eminentementematematico. As-sim, semdescurardosaspectosfsicos, procuramosmanterumpadraorazoavel derigormatematico na exposicao. A maior concessao nesse campo e o emprego de quantidades in-nitesimais, que consideramos pedagogicamente aconselhavel numa primeira apresentacaoao estudante das nocoes de deslocamento virtual e de famlias contnuas de transformacoes.Evitamos sobrecarregar otextocomresultados matematicos auxiliares, excetoquandopareceupossvel integra-los comcertanaturalidadeaodesenvolvimentodoformalismo.Alguns teoremas, de uso mais geral e freq uente, estao provados nos apendices; nos demaiscasos,referimo-nosatextosmatematicosondeelesestaodemonstradosdeformaprecisa.Entendemosqueaprogressivasubstituicaodeargumentosheursticosporprocedimentosmatematicamente rigorosos esta em sintonia com as tendencias da fsica teorica atual, cujalinguagemmatematicavemsetornandocrescentementesosticadaerigorosa.viO aparato matematico da mecanica analtica e muito rico e permite o primeiro contatodo estudante com tecnicas e conceitos largamente empregados nos mais variados ramos daFsica, poremnocontextodeumateoriaclassica, noqual aintuicaoeumguiarelativa-menteseguro. Nocoescomoasdeoperadorlinear, autovalor, autovetor, grupoealgebrade Lie surgem naturalmente, aplicadas a situacoes mais faceis de visualizar. O alto grau degeneralidadedoformalismodamecanicaanalticaserveparadesenvolvernoestudanteacapacidade de abstracao, tao necessaria para tornar possvel compreender as teorias fsicascontemporaneas. ComoobservaV. I. Arnold, numerosasteoriasmatematicasmodernas,com as quais estao associados alguns dos maiores nomes da historia da Matematica, devemsuaexistenciaaproblemasdemecanica. Apesardeconscientesdosgrandesdesenvolvi-mentos matematicos recentes, nos quais metodos geometricos e topologicos desempenhamumpapel crucial, adotamosaabordagemtradicional porjulga-lamaisadequadaaumprimeirocursodemecanicaanaltica. Umavezadquiridaaformacaobasica, oleitores-taraaptoaenveredarpeloscaminhosmaisdifceisdadinamicaqualitativa(Arnold1976;Thirring 1997). Os livros recentes de Scheck (1994) e de Jose & Saletan (1998) possibilitamumatransicaomaissuavedotratamentoconvencional`aformulacaoaltamentematemati-zadadateoriadossistemasdinamicosemlinguagemgeometrica,essencialparaaanalisedeproblemasdeestabilidadeesistemascaoticos.Amecanicaanaltica emuitomaisdoqueumamerareformulacaodamecanicanew-toniana,eosseusmetodosnaoforamconcebidosprimordialmenteparafacilitararesolu-caodeproblemasmecanicosespeccos. Tentamosdeixarissoclaropondoemrelevoaspropriedadesdesimetriaeinvarianciaeosaspectosestruturaisdamecanica. OslivrosdeGoldstein(1980)eLandau&Lifchitz(1966), nosquaisoautoraprendeumecanicaanaltica,exerceramgrandeinuencianaelaboracaodotexto.Nossaexposicaocaracteriza-seporumgranden umerodeexemplosresolvidos, obje-tivandotorna-laacessvel aosestudantestpicos. Aomesmotempo, pretendemosqueotextosejaestimulanteedesaadoraosmelhoresestudantes. Abibliograarelativamenteextensa, comamencaoalivrosavancadoseaartigospublicadosemperiodicos, variosdelesbastanterecentes, temportoexcitaracuriosidadedoleitoredeixarclaroqueamecanicaclassicanaoepecademuseunemconstitui umcaptuloencerradodaFsica.Pelocontrario, oseupoder deencantamentonaoparecediminuir comapassagemdotempoeaindahamuitos problemas dignos deinvestigacao, alguns deles monumentaiscomooproblemadaestabilidadedosistemasolar, oqual permanecesemrespostacon-clusiva. Comointuitodefazercontatocomaplicacoesmodernas,resolvemosincluirumaintroducao aos sistemas hamiltonianos com vnculos em virtude de sua grande importanciana fsica teorica atual, apesar de ser um topico com um grau de diculdade acima da media.Neste mesmo esprito, discutimos com alguma profundidade o tratamento do tempo comoviivariavel canonicaeasteoriascomtempoparametrizado, oquesejusticapelaamplasaplicacoesnateoriaquanticadagravitacaoemgeral,enacosmologiaquanticaemparti-cular.Osexercciossalpicadosaolongodoscaptulossaoparteinseparavel daexposicao, etodoestudanteseriodeveprocurarresolve-losaotoparcomeles. Osproblemasnomdecadacaptuloservem,emsuamaioria,comoilustracoeseextensoesdateoriaexpostanotextoprincipal. Hacertosproblemas, noentanto, queintroduzemideiasoutecnicasnovas, algumas delas frutos de trabalhos de pesquisa relativamente recentes. Os resultadosdealgunsproblemassaoempregadosemexemplos, problemasounocorpodotextodecaptulossubseq uentes.Seconseguirmos transmitir aoleitor umpoucodoquehadefascinantenestebeloramoda Fsica e,assim,estimula-lo a prosseguir trilhandocaminhos mais elevados,nossoobjetivoterasidoplenamenteatingido.Niteroi,setembrode2000 NivaldoA.LemosIndice1 DINAMICALAGRANGIANA 71.1 PrincpiosdaMecanicaNewtoniana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 DeslocamentosVirtuais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 PrincpiodedAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 CoordenadasGeneralizadaseEquacoesdeLagrange. . . . . . . . . . . . . 241.6 AplicacoesdasEquacoesdeLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 For casdeVnculonoCasoHolonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8 PotenciaisGeneralizadoseFuncaodeDissipacao . . . . . . . . . . . . . . 39Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 PRINCIPIOVARIACIONALDEHAMILTON 492.1 RudimentosdoCalculodasVariacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2 NotacaoVariacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3 PrincpiodeHamiltoneEquacoesdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4 PrincpiodeHamiltonnoCasoNao-Holonomo . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 PropriedadesdeSimetriaeLeisdeConservacao . . . . . . . . . . . . . . . 732.6 ConservacaodaEnergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8012Indice2.7 TeoremadeNoether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 CINEMATICADAROTAC AO 963.1 TransformacoesOrtogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2 DeslocamentosPossveisdeumCorpoRgido . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3AngulosdeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.4 RotacoesInnitesimaiseVelocidadeAngular. . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.5 GrupodeRotacoeseGeradoresInnitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6 Din amicaemReferenciaisNao-Inerciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 DINAMICADOCORPORIGIDO 1284.1 MomentoAngulareTensordeInercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.2 Interl udioMatematico: TensoreseDiadicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.3 MomentoseProdutosdeInercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.4 EnergiaCineticaeTeoremadosEixosParalelos . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5 DiagonalizacaodoTensordeInercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 SimetriaseEixosPrincipaisdeInercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.7 MoedaRolante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.8 AsEquacoesdeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.9 AConstrucaodePoinsot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.10 PiaoSimetricocomumPontoFixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Indice 35 PEQUENASOSCILAC OES 1705.1 CasoUnidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.2 MovimentoEstacionarioePequenasOscilacoes . . . . . . . . . . . . . . . 1775.3 PequenasOscilacoes: Casogeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.4 ModosNormaisdeVibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.5 CoordenadasNormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.6 SuplementoMatematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996 MECANICARELATIVISTICA 2026.1 TransformacoesdeLorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2 ConedeLuzeCausalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.3 VetoreseTensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.4 CamposTensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.5 LeisFsicasemFormaCovariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.6 Din amicaRelativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.7 ColisoesRelativsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.8 Din amicaRelativsticanaFormaLagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.9 Acao`aDistancianaRelatividadeEspecial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417 DINAMICAHAMILTONIANA 2477.1 AsEquacoesCanonicasdeHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.2 CoordenadasCclicaseLeisdeConservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524Indice7.3 TeoremadoVirial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.4 FormulacaoHamiltonianaRelativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.5 FormaVariacionaldasEquacoesdeHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.6 OTempoComoVariavelCanonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.7 PrincpiodeMaupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758 TRANSFORMAC OESCANONICAS 2818.1 TransformacoesCanonicaseFuncoesGeradoras . . . . . . . . . . . . . . . 2818.2 CanonicidadeeParentesesdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.3 NotacaoSimpletica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2918.4 ParentesesdePoisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.5 TransformacoesCanonicasInnitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3008.6 ParentesesdePoissondoMomentoAngular . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.7 TeoremasdeLiouvilleedePoincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.8 SistemasHamiltonianosVinculados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269 TEORIADEHAMILTON-JACOBI 3319.1 AEquacaodeHamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.2 ExemplosUnidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3359.3 SeparacaodeVariaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.4 AAcaoComoFuncaodasCoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.5 VariaveisdeAcaoeAngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Indice 59.6 SistemasIntegr aveiseTeoremaKAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3559.7 VariaveisdeAcaonoProblemadeKepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3629.8 InvariantesAdiabaticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3659.9 TeoriadeHamilton-JacobieMecanicaQuantica . . . . . . . . . . . . . . . 368Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37310TEORIACLASSICADECAMPOS 37810.1 TeoriadeCamposnaFormaLagrangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37810.2 TeoriasdeCamposRelativsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38510.3 DerivadasFuncionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38810.4 TeoriadeCamposnaFormaHamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39110.5 SimetriasdaAcaoeTeoremadeNoether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39510.6 CamposVinculados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407APENDICES 411ANotacaoIndicial 411BFuncoesHomogeneaseTeoremadeEuler 417CEspacosVetoriaiseOperadoresLineares 419C.1 OperadoresLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419C.2 RepresentacaoMatricialdeOperadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421C.3 AutovaloreseAutovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423C.4 ProdutoInternoeBasesOrtonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4246IndiceC.5 ComplementoOrtogonaleSomaDireta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427C.6 AdjuntodeumOperadorLinear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428C.7 OperadoresUnitarioseAuto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430DDiferenciaisExatas 436Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Captulo1DINAMICALAGRANGIANALagrangehasperhapsdonemorethananyotheranalyst. . . byshowingthatthemost varied consequences respecting the motion of systems of bodies may be derivedfromoneradical formula; thebeautyof themethodsosuitingthedignityof theresults, as to make of his great work a kind of scientic poem.William Rowan HamiltonSistemas mecanicos sujeitos a restricoes (vnculos) de natureza geometrica ou cinemati-caocorremcomfreq uencia. Emtaissituacoes aformulacaonewtonianarevela-seincon-venienteeantieconomica,poisexigeousodevariaveisredundanteseasforcasdevnculoaparecem de forma explcita. O poderoso e elegante formalismo desenvolvido por Lagrangepermite escrever as equacoes de movimento a partir de uma unica funcao escalar expressaemtermosdecoordenadasindependentesarbitrarias, comavantagemadicional denaoenvolverasforcasdevnculo.1.1 PrincpiosdaMecanicaNewtonianaAjustaapreciacaodosignicadoeabrangenciadasformulacoes geraisdamecanicaclassicarequerumabreverevisaodosprincpiosfundamentaisdamecanicanewtoniana,comaqual supoe-sequeoleitorjaestejafamiliarizado. Praticamentedesdeasuafor-mulacao nos Principia, as tres leis domovimentodeNewtonvemsendoalvodecon-troversias quanto ao seu conte udo fsico e consistencia logica,o que tem gerado propostasde reformulacao da versao tradicional com o intuito de escapar `as crticas (Eisenbud 1958;Weinstock 1961). Embora a primeira e segunda leis sejam `as vezes interpretadas como uma78 CAPTULO1. DINAMICALAGRANGIANAdenicaodeforca(Marion&Thornton1995),adotaremosopontodevistaquejulgamosmais correto, segundo o qual elas sao leis genunas e nao meras denicoes (Anderson 1990).UmaanalisedetalhadadosaspectosfsicosedaestruturalogicadasleisdeNewtontran-scende o escopo desta secao, cujo proposito primordial e servir de referencia para o restantedaexposicao. Ospostuladosenunciadosaseguirequivalem`astresleisdomovimentodeNewton,masprocuramevitarcertasdiculdadeslogicasdaproposicaooriginal.PRIMEIRALEI. Existemsistemasdereferencia, ditosinerciais, emrelacao aosquaistodapartculaisoladadescreveummovimentoretilneouniforme.A existencia de um referencial inercial implica a existencia de uma innidade de outros,todosmovendo-seentresiemlinharetacomvelocidadeconstante. Nestepostuladoestaimplcitaanocao newtonianadetempoabsoluto, queui uniformementesemrelacaocom qualquer coisa externa e e o mesmo em todos os referenciais enerciais. Considera-seisoladaumapartculasucientementeafastadadetodososobjetosmateriais.SEGUNDALEI.Emqualquerreferencialinercialomovimentodeumapartcula eregidopelaequacaoma=F, (1.1.1)ondea eaaceleracaodapartcula,msuamassaeFaforcatotalaqueelaestasujeita.Estepostuladopressupoe, implicitamente, queacadapartculaestaassociadaumaconstante positiva m, denominada massa, que e a mesma em todos os referenciais inerciais.TERCEIRALEI. A cada acao corresponde uma reacao igual e oposta, isto e, se Fijeaforcasobreapartculaiexercidapelapartculaj,entaoFij= Fji. (1.1.2)Estae alei daacao e reacao emsuaformafraca. Emsuaversaoforte, estaleideclaraque,alemdeiguaiseopostas,asforcassaodirigidasaolongodalinhaqueuneaspartculas; emoutraspalavras, duaspartculassopodemseatrairourepelir. Aterceiraleinaotemvalidadegeral,poisasforcasentrecargaseletricasemmovimentogeralmentea violam. Isto deve-se `a velocidade nita de propagacao das interacoes eletromagneticas, oque exige introduzir a nocao de campo eletromagnetico como mediador de tais interacoes.1.1. PRINCPIOSDAMECANICANEWTONIANA 9No caso de um sistema contendo varias partculas, supoe-se que a forca sobre cada umadelas pode ser decomposta em forcas externas, produzidas por fontes exteriores ao sistema,eforcasinternas, quedevem-se`asdemaispartculasdosistema.1Assim, aequacaodemovimento da i-esima partcula de um sistema de Npartculas e, conforme a segunda lei,dpidt=N

j=1j=iFij+F(e)i, (1.1.3)ondepi= mivi= midridt(1.1.4)e omomentolinear dai-esimapartcula, misuamassa, riseuvetor posicao, visuavelocidadeeF(e)idenotaaforcaexternasobreela.Somandosobretodasaspartculasdeduz-se2

imid2ridt2=

i,ji=jFij+

iF(e)i=

iF(e)i(1.1.5)porque(videEq.(A.9)doApendiceA)

i,ji=jFij=12

i,ji=j(Fij +Fji) = 0 (1.1.6)emvirtudedaEq.(1.1.2). DenindoovetorposicaodocentrodemassaporR =

imiri

imi

imiriM, (1.1.7)aEq.(1.1.5)assumeaformaMd2Rdt2=

iF(e)i F(e), (1.1.8a)1Descarta-se a possibilidade de uma partcula agir sobre si mesma.2De agora em diante abreviaremos Ni=1por i, estando implcito que a soma estende-se a todas aspartculas do sistema, salvo indicacaoem contrario.10 CAPTULO1. DINAMICALAGRANGIANAoudPdt= F(e)(1.1.8b)emtermosdomomentolineartotaldosistemadenidoporP =

imivi=

imidridt= MdRdt. (1.1.9)Infere-se,assim,umaimportanteleideconservacao.TeoremadaConservacaodoMomentoLinear. Seaforcaexternatotal ezero,omomentolineartotaldeumsistemadepartculas econservado.OmomentoangulartotaldosistemaemrelacaoaumpontoQcomvetorposicaorQeLQ=

imi(rirQ) ( ri rQ) , (1.1.10)onder(Q)i=ri rQev(Q)i= ri rQsao, respectivamente, ovetor posicao eovetorvelocidadedai-esimapartculaemrelacaoaopontoQ. Portanto,dLQdt=

imiv(Q)iv(Q)i+

i(rirQ) pi

imi(rirQ) rQ=

i,ji=j(rirQ) Fij +

i(rirQ) F(e)iM(RrQ) rQ, (1.1.11)tendosidousadasasEqs.(1.1.3),(1.1.4)e(1.1.7). Mas,explorandoaEq.(A.9),podemosescrever

i,ji=j(rirQ) Fij=12

i,ji=j[(rirQ) Fij + (rjrQ) Fji]=12

i,ji=j[(rirQ) (rjrQ)] Fij=12

i,ji=j(rirj) Fij(1.1.12)1.1. PRINCPIOSDAMECANICANEWTONIANA 11com a ajuda da Eq.(1.1.2). Se as forcas internas obedecem `a forma forte da terceira lei deNewton,ent aoFijtemamesmadirecaoqueovetorrij rirjqueapontadaj-esimaparaai-esimapartcula,demodoquerijFij= 0. Assimsendo,aEq.(1.1.11)podeserreescritanaformadLQdt= N(e)QM(RrQ) rQ, (1.1.13)ondeN(e)Q=

i(rirQ) F(e)i(1.1.14)eotorqueexternototal emrelacaoaopontoQ. SeopontoQestaemrepousooueocentrodemassa,osegundotermo`adireitadaEq.(1.1.13) enulo3ecamoscomdLQdt= N(e)Q. (1.1.15)Esta ultimaequacao implicaumaimportante lei de conservacao, naqual omomentoangulareotorquesaotomadosrelativamenteaumpontoxoouaocentrodemassa.TeoremadaConservacaodoMomentoAngular. Omomentoangulartotaldeumsistemadepartculasseconservaseotorqueexternototal enulo.A Eq.(1.1.9) assevera que o momento linear total de um sistema de partculas coincidecomocalculadocomosetodaasuamassaestivesseconcentradanocentrodemassa. Nocasodomomentoangularasituacaoeumpoucomaiscomplexa. SeR eovetorposicaodo centro de massa em relacao`a origem Ode um sistema de coordenadas inercial e r

ie ovetorposicaodai-esimapartculaemrelacaoaocentrodemassa,entaori= r

i +R , vi= v

i +V, (1.1.16)onde V R e a velocidade do centro de massa em relacao a Oe v

i r

i e a velocidade dai-esimapartculaemrelacaoaocentrodemassa. Omomentoangulartotalrelativamente`aorigem e3Outra possibilidade, que nao consideraremos, e a de um pontoQ com aceleracao sempre ao longo dalinha que une o proprio pontoQ ao centro de massa (Tiersten 1991).12 CAPTULO1. DINAMICALAGRANGIANAL =

imirivi=

imir

iv

i+(

imir

i) V+Rddt(

imir

i) +MRV, (1.1.17)ondeusamos(1.1.16). Daprimeiradasequacoes(1.1.16)decorreque

imir

i=

imiri

imiR = MRMR = 0. (1.1.18)Assim,omomentoangulartotalemrelacao`aorigemadmiteadecomposicaoL = RMV +

ir

ip

i. (1.1.19)Empalavras: omomentoangular total emrelacao `aorigemeomomentoangular dosistemacomoseestivesseconcentradonocentrodemassaacrescidodomomentoangularassociadoaomovimentoemtornodocentrodemassa.Porm,consideremosaenergia. Aenergiacineticatotal edenidaporT=12

imiv2i. (1.1.20)Comousode(1.1.16)resultaT=12

imiv 2i+12

imiV2+Vddt(

imir

i), (1.1.21)donde,devidoa(1.1.18),T=M2V2+12

imiv 2i. (1.1.22)Aenergiacineticatotal easomadaenergiacineticadosistemacomoseestivessecon-centradonocentrodemassacomaenergiacineticadomovimentoemtornodocentrodemassa. Esteresultado eparticularmente utilnadinamicadocorporgido.OtrabalhorealizadoportodasasforcasparalevarosistemadeumaconguracaoinicialAaumaconguracaonalBedenidoporWAB=

i_BA(F(e)i+

jj=iFij)dri=

i_BAF(e)i dri +

i,ji=j_BAFij dri. (1.1.23)1.1. PRINCPIOSDAMECANICANEWTONIANA 13Usandoaequacaodemovimento(1.1.3)deduz-seWAB=

i_BAmi vi vidt =

i_BAd(12miv2i), (1.1.24)dondeWAB= TBTA, (1.1.25)isto e,otrabalhorealizado eigual`avariacaodaenergiacinetica.Emnumerososcasosasforcassaoconservativas, ouseja, derivamdepotenciaises-calares. Suponhamos que as forcas externas admitamuma funcao energia potencialV(e)(r1, . . . , rN)talqueF(e)i= iV(e), (1.1.26)onde i= i/xi +j/yi + k/zieooperadornablaemrelacao`avariavelri. Nestecaso,

i_BAF(e)i dri= _BA

iiV(e) dri= _BAdV(e)= V(e)AV(e)B. (1.1.27)SeFijdependeapenasdasposicoes relativasrij=ri rje, alemdisso, ededutvel deumafuncaoenergiapotencialVij(rij)comVij= Vji,entaopodemosescreverFij= iVij. (1.1.28)Estaformaasseguraavalidadedaversaofracadaleidaacaoereacao. Comefeito,Fij= iVij= +jVij= +jVji= Fji. (1.1.29)Se, alemdisso, Vijdependersomentedadistanciasij= [rij[ entreaspartculas(forcascentrais)temosFij= iVij(sij) = rijsijV

ij(sij) (1.1.30)onde V

ije a derivada de Vijem relacao a seu argumento, de modo que Fijaponta ao longodalinhaqueuneaspartculasealeidaacaoereacaovaleemsuaformaforte.14 CAPTULO1. DINAMICALAGRANGIANAAEq.(1.1.29)nospermiteescrever

i,ji=j_BAFij dri=12

i,ji=j_BA(Fij dri +Fji drj) =12

i,ji=j_BAFij d(rirj)= 12

i,ji=j_BAiVij drij= 12

i,ji=j_BAijVij drij= 12

i,ji=jVijBA, (1.1.31)onde ijdenotaogradienteemrelacaoaovetorrij, tendosidoutilizadaapropriedadeevidente iVij= ijVij. Finalmente, combinandoas Eqs.(1.1.23), (1.1.25), (1.1.27) e(1.1.31)deduz-se(T+V )A=(T+V )B, (1.1.32)comV =V(e)+12

i,ji=jVij. (1.1.33)OsegundotermonoladodireitodaEq.(1.1.33)echamadodeenergiapotencial internadosistema. Destes ultimosresultadosdecorreumaimportanteleideconservacao.4TeoremadaConservacao daEnergia. Setodasasforcassaoconservativas, aenergiatotalE= T+ V deumsistemadepartculas econservada.1.2 VnculosRestricoes de natureza geometrica ou cinematica que limitam a priori o movimento deum determinado sistema mecanico sao chamadas de vnculos.E importante sublinhar quevnculossaolimitacoesdeordemcinematica`asposicoese/ouvelocidadesdaspartculasdeumsistemamecanicoqueantecedemadinamica, edevemser levadas emcontanaformulacaodas equacoes demovimentodosistema. Alguns exemplos bastantesimplesseraoconsideradosaseguir.Exemplo 1.2.1 (Partcula restrita a uma superfcie xa). Seja r = (x, y, z) o vetor posicaodapartcularelativamenteaumsistemacartesianodeeixosemrelacao aoqual asuperfciepermanece xa. Entaox, y, z nao sao variaveis independentes mas devem satisfazer4E evidente que os teoremas de conservacao desta secao valem somente em referenciais inerciais, emboraisto nao conste explicitamente nos referidos enunciados.1.2. VNCULOS 15f(r) f(x, y, z) = 0, (1.2.1)ondef(r) = 0 e a equacaoda superfcie. Se, por exemplo, a superfcie for uma esfera centradana origem,f(x, y, z) = x2+y2+z2R2, (1.2.2)onde Re o raio da esfera.Exemplo1.2.2(Partcularestritaaumasuperfciemovel oudeformavel). Nestecasox, y, z obedecem `a equacaof(r, t) f(x, y, z, t) = 0, (1.2.3)a dependencia temporal explcita indicando a mudanca da forma ou localizacao da superfcie notranscurso do tempo.Exemplo1.2.3 (Duas partculas unidas por uma haste rgida). O vnculo tem a forma(r2r1)2l2= 0 (1.2.4)ou, equivalentemente,(x2x1)2+ (y2y1)2+ (z2z1)2l2= 0, (1.2.5)sendol o comprimento invariavel da haste.Exemplo1.2.4 (Pendulo duplo plano). As equacoesde vnculo saox21 +y21l21 = 0, (x2x1)2+ (y2y1)2l22 = 0, (1.2.6)como se depreende da Fig. 1.2.1.16 CAPTULO1. DINAMICALAGRANGIANAFigura1.2.1: PenduloduploplanoTodos os vnculos discutidos acima sao ditos holonomos. Se 1, . . . , Msao coordenadasarbitrariasusadasparadescreveraconguracaodeumsistemamecanico, umvnculoechamadodeholonomo5quandopodeserexpressoporumaequacaodaformaf(1, . . . , M, t) = 0. (1.2.7)Vnculosquenaopodemserassimrepresentadossaoditosnao-holonomos. Porexemplo,aimposi cao dequeas moleculas deumgas permanecamnointerior deumrecipienteedescritapor desigualdades: seorecipienteeumacaixadearestas a, b, c temos 0 z. Por outro lado, a ordem de grandeza de [(r)[ e 2a. Portanto,a razao entre o termo centrfugo e o termo de Coriolis em (3.6.7) e2a/20a = /2o 1, oque justica a posteriori a aproximacaofeita ao se escrever (3.6.17).CAPITULO3: PROBLEMAS 125PROBLEMAS3.1. Emtresdimensoesexisteumacorrespondenciabiunvocaentrevetoresematrizesanti-simetricasreais, como, porexemplo, aquelaestabelecidapelaEq.(3.4.11). (i)Proveequeosautovaloresdamatrizanti-simetricaassociadaaovetor nsaozeroe i[n[ . (ii)Se Aeumamatrizrealanti-simetrica,provequeasmatrizes I Asaonao-singularesequeamatriz B = (I +A)(I A)1eortogonal.3.2. Exprima o vetor r

obtido por reexao do vetor rem relacao a um plano cujo vetorunitario normal e n. Sem efetuar nenhum calculo, usando apenas argumentos geometricos,determine os autovalores e autovetores da matriz de transformacao correspondente A. Se n = (n1, n2, n3), mostre que Atem elementos Aij= ij2ninje e uma matriz ortogonalimpropria.3.3. Paraamatriz DdaEq.(3.3.1),provequeDn=___cosn sen n 0sen n cosn 00 0 1___ .3.4. Umaesferaderaio Rrolasemdeslizarsobreumasuperfcieplana. Se (x, y, R)saoascoordenadasdocentrodaesfera, mostreque, emtermosdosangulosdeEuler, ascondicoesderolamentosemdeslizamentosao x R(sen sen cos) = 0 , y + R(cos +sen sen ) = 0eprovequeessesvnculosnaosaoholonomos.3.6. Aderivadade umamatrize constitudapelas derivadas de seus elementos. (i)Se Ae umamatriz ortogonal dependente dotempo, prove, tomandocomopontodepartidaaidentidade AAT= ATA=I , queamatriz ATdA/dt eanti-simetrica. (ii)Se r0eumvetor xonumcorporgidoemrotacaoe r(t) eomesmovetor vistodeumreferencial inercial, arelacaoentreas componentes correspondentes, emlinguagem126 CAPITULO3: PROBLEMASmatricial, er(t) = A(t) r0 . Peloitemanterior,elevandoemcontaoProblema3.1,provequeexisteumvetor talque,paraoobservadorinercial, dr/dt = r .3.6. Qualquer matriz ortogonal propria Acorresponde a uma rotacao de um certo anguloem torno de uma certa direcao. O eixo de rotacao e determinado pelo autovetor de Acomautovalor1. Seescolhermosascoordenadasdetalmodoqueoeixo z coincidacomoreferidoautovetor,amatriz Ateraaforma(3.3.1). Considerandoqueotracodeumamatrizeindependentedosistemadecoordenadas,provequeoanguloderotacaoedadopor cos = (tr A 1)/2 .3.7. Odeslocamentolineardeumcorpopodeserrepresentadoporumvetor, eave-locidadelineareaderivadadovetorposicaoemrelacaoaotempo. Ovetorvelocidadeangular,noentanto,naoe,emgeral,aderivadatemporaldeumvetordeslocamentoan-gular. Para provar isso, suponha que exista um vetor cujas componentes x, y, zsejamfuncoesdosangulosdeEulertaisqueasrespectivasderivadastemporaiscoincidamcomascomponentescorrespondentesdavelocidadeangular,isto e,x=x+x+x, y=y+y+y, z=z+z+z.Usando (3.4.31), prove que nao existe nenhum vetor (x, y, z) que satisfaca as equacoesacima.3.8. Seja Puma matriz de rotacao de 180oem torno de um eixo arbitrario. (ii) DetermineP2semcalculos, reetindosobreoseusignicado. (ii)SendoA=(I+ P)/2 eB=(I P)/2 , provequeA2= AeB2= B. (iii)MostrequeasmatrizesAeBsaosingularesecalculeoseuproduto.3.9. Umprojetil e disparadohorizontalmente nas imediacoes dasuperfcie daTerra.Qual eadirecao(paracima,parabaixo,paraadireita,paraaesquerda,paraafrenteouparatras)dodesvioinduzidonatrajetoriapelaforcadeCoriolis? Adirecaododesvioediferentenoshemisferiosnorteesul?Aintensidadedoefeitodependedalatitude?3.10. Umapartculaedisparadaverticalmentecomvelocidadeinicial v0 , atingeumaalturamaximaeretornaaosolo. MostrequeadeexaoprovocadapelaforcadeCoriolis,CAPITULO3: PROBLEMAS 127quandoelaatingenovamenteochao,temsentidoopostoe equatrovezesmaiordoqueodesvioproduzidoquandoapartcula elargadaemrepousodamesmaalturamaxima.3.11. Ja se sugeriu que os passaros podem determinar sua latitude pela forca de Coriolis.Calculeaforcaqueumpassaroemvoohorizontala50km/hdeveexercercontraaforcatransversaldeCoriolisparavoaremlinhareta. Exprimaoresultadoemfuncaodopesodopassaroedalatitude.Captulo4DINAMICADOCORPORIGIDORoda mundo, roda-giganteRoda moinho, roda piaoO tempo rodou num instanteNas voltas do meu coracao.Chico Buarque, Roda VivaAgoraqueestamosdepossedosinstrumentoscinematicosnecessarios,podemospro-ceder ao exame de alguns problemas simples mas importantes da dinamica do corpo rgido,oqueexigelevaremcontaascausasdomovimento: forcasetorques. Duasgrandezasfsicasessenciaisaoestudodomovimentodeumcorporgidosaoomomentoangulareaenergiacinetica,quepassamosaconsideraremdetalhe.4.1 MomentoAngulareTensordeInerciaAsequacoesdemovimentodeumcorporgidopodemserescritasnaformadPdt= F, (4.1.1)dLdt= N, (4.1.2)onde F e a forca resultante e N e o torque total, ao passo que P e L sao o momento linear1284.1. MOMENTOANGULARETENSORDEINERCIA 129Figura4.1.1: OpontoOeumpontoxodocorpoouoseucentrodemassa.total e o momento angular total,respectivamente. Como vimos na Secao1.1,as equacoes(4.1.1)e(4.1.2)saoverdadeirassomenteseastaxasdevariacaotemporalsaorelativasaumreferencial inercial esesaoobedecidascertasrestricoes quantoaopontoemrelacaoaoqualotorqueeomomentoangularsaocalculados. Emparticular,(4.1.2)vigoraseopontodereferenciaparaocalculodeNeLeumpontoimovel(convenientenocasoemque o corpo rgido esta limitado a girar em torno de um ponto xo) ou e o centro de massadocorpo.SejaOumpontoxoouocentro demassa deumcorporgido. Dopontode vistadosistema de referencia inercial (Fig. 4.1.1), o momento angular total do corpo em relacaoaopontoOeL =N

k=1rkpk=N

k=1mkrkvk, (4.1.3)onde Neon umerodepartculasdocorpoe vk=(drk/dt)eavelocidadedak-esimapartculaemrelacaoaopontoO,dopontodevistadosistemainercial. Masrkeumvetorconstanterelativamenteaumsistemacartesiano

xonocorpo,dondevk=_drkdt_=_drkdt_

+ rk= rk. (4.1.4)Comeste ultimoresultadonos epermitidoescrever130 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOL =N

k=1mkrk( rk) =N

k=1mk [ r2k (rk )rk] , (4.1.5)onde usamos a identidade a(bc) = (ac)b(ab)c. Neste estagio torna-se convenienteadotar umanotacao indicial paraas componentes de rk, istoe, rk=(x(k)1, x(k)2, x(k)3),quecorresponde, nanotacao tradicional, ax(k)1xk,x(k)2yk,x(k)3zk. EscrevendoL = (L1, L2, L3),ai-esimacomponentede(4.1.5) edadaporLi= (N

k=1mk r2k) iN

k=13

j=1mk x(k)jj x(k)i=N

k=13

j=1mk [ r2k ijx(k)ix(k)j] j, (4.1.6)jaquerk =3

j=1x(k)jj, i=3

j=1ij j. (4.1.7)Conseq uentemente,Li=3

j=1Iij j, (4.1.7)ondeIij=N

k=1mk [ r2k ijx(k)ix(k)j] . (4.1.8)As nove quantidades Iij,i, j= 1, 2, 3, sao chamadas de componentes do tensordeinercia.Na maior parte dos problemas envolvendo corpos rgidos e mais pratico trata-los comocorpos contnuos doquecomosistemas discretos departculas. Atransicao darepre-sentacaodiscretaparaacontnuafaz-semedianteacorrespondenciark r ,N

k=1mk_Vdv . (4.1.9)Emoutraspalavras,amassapuntiformemknaposicaorkesubstitudapeloelementodemassadm=dvlocalizadonopontor, easomasobretodasaspartculasesubstitudapor umaintegracao aolongodovolumeV ocupadopelocorpo. Aversaocontnuade(4.1.8) e,portanto,Iij=_V[ r2ijxixj] dv . (4.1.10)4.2. INTERLUDIOMATEMATICO:TENSORESEDIADICAS 131Umarepresentacaointrnsecadotensordeinerciaqueremovequalquerreferenciaaumsistemadecoordenadasparticulareobtidanotandoqueaequacao(4.1.5)podeserescritanaformasimbolicaL = (N

k=1mk r2k ) (N

k=1mkrkrk ), (4.1.11)ondeasegundasomaenvolveumprodutotensorial ouprodutodiadicodevetores, cujosignicadoepropriedadespassamosadiscutir.4.2 Interl udioMatematico: TensoreseDiadicasO produto diadico ou produto tensorial de dois vetores A e B, denotado simplesmente1por AB, eumoperador linear quetransformavetores emvetores. Ooperador ABetambemchamadodeumadada, eoresultadodesuaacao sobreumvetorqualquerCdene-sepor(AB)C = A(B C) . (4.2.1)Como B C e um escalar, o lado direito de (4.2.1) e o produto de um escalar por um vetor,ouseja, edefatoumvetor. Alinearidade eumadecorrenciaimediatadestadenicao:(i)(AB)(C+ D) = (AB)C+ (AB)D , , R I . (4.2.2)Pordenicao valemasseguintespropriedadesadicionais:(ii)(AB+CD)E = (AB)E + (CD)E;(iii)(A+B)C = AC+BC; (4.2.3)(iv)A(B+C) = AB+AC.1O produto diadico e representado pela mera justaposicaode dois vetores, sem indicacaode produtoescalar nem de produto vetorial.132 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOOprodutotensorial edistributivoemrelacao `aadicao vetorial, masnaoecomutativo,isto e,AB ,= BAemgeral. Tambem epossveldeniroprodutoescalardeumvetorporumadadapelaesquerda:C (AB) = (C A)B. (4.2.4)Porestemotivo, umanotacaobastantesugestivaparaumadadaeumaletraencimadaporumasetadupla,assim:T= AB.Otensor2ouadiadicamaisgeralpossvel eumasomadedadas:T= AB+CD+ . (4.2.5)Decompondo os vetores A, B, C, D, . . . emtermos dos vetores unitarios de uma baseortonormal e1, e2, e3vericamosqueotensormaisgeralTescreve-seT= T11 e1 e1+T12 e1 e2+T13 e1 e3 +T21 e2 e1+T22 e2 e2+T23 e2 e3 +T31 e3 e1+T32 e3 e2+T33 e3 e3, (4.2.6)ondeT11, . . . , T33saonoven umerosreais,chamadosdecomponentesdotensorTnabaseemquestao. Claramente,Tij= ei

T ej, (4.2.7)nao havendo necessidade de parenteses nesta ultima equacao porque A(TB) = (AT)B(verique!).Otensorunidadeouidentidade,simbolizadopor1, edenidopor2Tendo em vista que neste captulo nao necessitaremos de tensores de ordem superior, sempre que naohouver perigo de confusao usaremos simplesmente tensor para nos referirmos a um tensor de segundaordem (vide o pen ultimo paragrafo desta secao) .4.2. INTERLUDIOMATEMATICO:TENSORESEDIADICAS 1331= e1 e1+ e2 e2+ e3 e3. (4.2.8)DadoumvetorarbitrarioA = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3temos1 A = e1( e1 A)+ e2( e2 A)+ e3( e3 A) =A1 e1+A2 e2+A3 e3=Acomidenticoresultadopara A1, oquejusticaonomedadoa1. Evidentemente, ascomponentesde1nabaseortonormal e1, e2, e3sao ei

1 ej= ei (1 ej) = ei ej= ij,comoerade se esperar.Efacil demonstrar que, projetadaemcomponentes nabase ei3i=1 ,aequacaoA =TB (4.2.9a)equivaleaAi=3

j=1TijBj. (4.2.9b)Comefeito,devido`alinearidade,A =T(3

j=1 ejBj) =3

j=1T ej Bj,dondeAi= ei A =3

j=1 ei

T ej Bj,quecorresponde`aEq.(4.2.9b).134 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOOprodutovetorialpelaesquerdadeumvetorAporumtensorT eumoutrotensorATdenidodemodonaturalporsuaacaosobreumvetorarbitrario B:(AT)B = A(TB) . (4.2.10)Exerccio4.2.1. Denaoprodutovetorialpela direitado vetorAporuma dadae,porlinearidade, estenda a denicaoa uma diadica qualquer T. Mostre que vale a formula(TA)B =T(AB) (4.2.11)para um vetor arbitrario B.Exemplo4.2.1. Com o emprego de diadicas, exprima o operador de rotacaonuma formaintrnseca, independente de qualquer sistema de coordenadas.Solucao. Considere o vetor r

produzido por uma rotacaode um angulo do vetorr emtornodadirecaodenidapelovetorunitario n, conformeaFig. 4.2.1. Vamosconstruirumabase ortonormal e1, e2, e3, indicada na Fig. 4.2.1, tomando e3 ao longo do eixo de rotacao, e3 = n, (4.2.12)e escolhendo e1 de modo que o vetor r pertenca ao plano denido por e1 e e3, sendo e2 perpen-dicular a este plano (Pearlman 1967). Claramente, e2 = e3r[ e3r[= n rr sen , (4.2.13)onde e o angulo entre re o eixo de rotacao. Alem disso, e1 = e2 e3 = n (r n)r sen . (4.2.14)As componentes x

1,x

2,x

3der

na base e1, e2, e3 saox

1 = r

sen cos = r sen cos, (4.2.15a)x

2 = r

sen sen = r sen sen , (4.2.15b)x

3 = r

cos = r cos , (4.2.15c)4.2. INTERLUDIOMATEMATICO:TENSORESEDIADICAS 135Figura4.2.1: Rotacaonitadeumvetor.onde usamos r

= r . Portanto,r

= x

1 e1 +x

2 e2 +x

3 e3 = cos n (r n) +sen n r + (r n) n. (4.2.16)A identidade n (r n) = r (r n) nnos permite escrever a formula de rotacaor

= cosr + (1 cos) n( nr) +sen n r . (4.2.17)Introduzindo o operador de rotacaoR n() denido porR n() = cos1 +(1 cos) n n +sen n 1, (4.2.19)a formula de rotacao(4.2.17) pode ser sintetizada emr

= R n()r . (4.2.20)A expressao (4.2.19) e uma representacao intrnseca do operador de rotacao que so faz referenciaao eixo de rotacao ( n) e ao angulo de rotacao (), sem aludir a nenhum sistema de coordenadasparticular. Essa representacao e consideravelmente vantajosa em diversas situacoesde interessefsico (Leubner 1979).Exerccio4.2.1. Se = eumanguloinnitesimal, proveque(4.2.17)reproduzaequacao(2.5.10).136 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOE importante determinar a lei de transformacaodas componentes de uma diadica sobumarotacaodoseixoscoordenados. PelaEq.(3.1.16)temosT

rs= e

r

T e

s= (

kark ek)T(

lasl el) =

k,larkaslTkl. (4.2.21)Um tensor de ordem n ou de n-esima ordeme denido como um conjunto de 3nquantidadesTk1 k2 ... knquesetransformamsobumarotacaodoseixoscoordenadossegundoaleiT

k1 k2 ... kn=

l1, l2,..., lnak1 l1 ak2 l2 . . . akn ln Tl1 l2 ... ln. (4.2.22)Portanto,uma diadica e um tensor de segunda ordem. Um vetor e um tensor de primeiraordemeumescalarpodeserconsideradoumtensordeordemzero.Em termos das matrizes T

= (T

rs), T= (Trs) e da matriz de rotacaoA, a Eq.(4.2.21)eequivalenteaT

rs=

k(A)rk

lTkl(AT)ls=

k(A)rk(T AT)ks= (AT AT)rs,isto e,T

= AT A1. (4.2.23)Portanto, amatrizassociadaaotensorTnabase e

i3i=1eobtidaapartir damatrizassociadoaotensorTnabase ei3i=1pormeiodeumatransformacao desimilaridadeexecutadapelamatrizderotacao Aquelevaabase einabase e

i.Exerccio 4.2.2. Prove que em qualquer base ortonormal o tensor unidade1e represen-tado pela matriz identidade.4.3. MOMENTOSEPRODUTOSDEINERCIA 1374.3 MomentoseProdutosdeInerciaEmnotacaodiadica,aEq.(4.1.11)escreve-seL =

kmk (r2k1 rkrk ) I , (4.3.1)ondeI=

kmk (r2k1 rkrk ) (4.3.2)eotensordeinercia,cujaversaocontnua eI=_V(r21 r r ) dv . (4.3.3)Ascomponentesdotensordeinercianabase ei3i=1saodadaspelaEq.(4.1.10),daqualeevidentequeotensordeinercia esimetrico,isto e,Iij= Iji, (4.3.4)esta propriedade sendo valida em qualquer base. A matriz cujos elementos sao as compo-nentesdotensordeinerciarelativamenteaumdadosistemadecoordenadascartesianaseconhecidacomomatrizdeinercia,denotadaporI. OselementosdadiagonaldamatrizdeinerciaI = (Iij)saochamadosdemomentosdeinercia:I11 Ixx=_V(r2x2) dv=_V(y2+ z2) dv ; (4.3.5a)I22 Iyy=_V(r2y2) dv=_V(x2+ z2) dv ; (4.3.5b)I33 Izz=_V(r2z2) dv=_V(x2+ y2) dv . (4.3.5c)Exerccio4.3.1. Mostre que cada momento de inercia nunca e maior do que a soma dosoutros dois.138 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOOselementosdeforadadiagonal damatrizdeinerciasaochamadosdeprodutosdeinerciaesaodadospor:I12= I21 Ixy= Iyx= _Vxy dv ; (4.3.6a)I13= I31 Ixz= Izx= _Vxz dv ; (4.3.6b)I23= I32 Iyz= Izy= _Vyz dv . (4.3.6c)E importante sublinhar que os momentos e produtos de inercia dependem nao apenasdasdirecoesdoseixoscoordenadosescolhidos,mastambemdesuaorigem.4.4 EnergiaCineticaeTeoremadosEixosParalelosAenergiacineticaderotacaoemtornodopontoO(Fig. 4.1.1) edadaporT=

kmk2v2k=

kmk2vk ( rk) =

kmk2(rkvk) =12

krkpk=12L.(4.4.1)ComoempregodaEq.(4.3.1)podemosescreverT=12I. (4.4.2)Seja nounitarioaolongodoeixoinstantaneoderotacao,demodoque= n. Entao,T=12 nI n212I2, (4.4.3)ondeI= nI n (4.4.4)4.4. ENERGIACINETICAETEOREMADOSEIXOSPARALELOS 139Figura4.4.1: OpontoOeumpontoxodocorpoouoseucentrodemassa.echamadodemomentodeinerciaemrelacaoaoeixoderotacao. Maisexplicitamente,comousode(4.3.2),I= nI n =

kmk[r2k( nrk)2] =

kmkd2k(4.4.5)onded2k= r2k( nrk)2= r2k(1 cos2k) = r2k sen2k= ( n rk)2(4.4.6)e o quadrado da distancia da k-esima partcula ao eixo de rotacao (Fig. 4.4.1) A expressao(4.4.5)coincidecomadenicao demomentodeinerciaencontradanostextosdefsicaelementar. Damesmaforma,(4.4.3) eaformulausualparaaenergiacineticaderotacaodeumcorporgido. Emgeral, noentanto, avelocidadeangularmudadedirecaocomopassar do tempo, de modo que Ivaria com o tempo. O momento de inercia Ie constantese o corpo estiver limitado a girar em torno de um eixo xo, caso normalmente tratado nafsicaelementar.Omomentodeinerciadependedaescolhadaorigemdosistemadecoordenadasado-tado para calcula-lo. Ha, todavia, uma relacao simples entre momentos de inercia relativosaeixosparalelosquandoumdelespassaeelocentrodemassa.140 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOFigura4.4.2: Teoremadoseixosparalelos.TeoremadosEixosParalelos.3Omomentodeinerciaemrelacaoaumdadoeixoeigualaomomentodeinerciarelativoaumeixoparalelopassandopelocentrodemassaacrescidodomomentodeinerciadocorpoemrelacaoaoeixooriginal,calculadocomoseocorpoestivesseinteiramenteconcentradonocentrodemassa.Demonstracao. DaFig. 4.4.2infere-serk=R + r

kondeReovetorposicaodocentro de massa a contar da origem O. O momento de inercia em relacaoao eixo a e,por(4.4.5)e(4.4.6),Ia=

kmk( n rk)2=

kmk( n R+ n r

k)2== (

kmk)( n R)2+

kmk( n r

k)2+ 2( n R)( n

kmkr

k) . (4.4.7)ComoempregodaEq.(1.1.18)esta ultimaequacaoreduz-seaIa= Ib + M( n R)2, (4.4.8)completando a demonstracao do teorema, pois ( nR)2vem a ser o quadrado da distanciadocentrodemassaaoeixooriginala. 2Opropriotensor deinerciaadmiteumadecomposicao analoga`a(4.4.8). Defato,substituindork=R + r

kem(4.3.2), eutilizandoaspropriedadesdoprodutotensorial,resulta3Tambem conhecido como teorema de Steiner.4.5. DIAGONALIZAC AODOTENSORDEINERCIA 141IO=

kmk[(r/k2+ 2Rr/k + R2)1 (R+r/k)(R+r/k)]=

kmk(r/k2 1 r/kr/k) + (R2 1 RR)

kmk+2R(

kmkr/k)1 R(

kmkr/k) (

kmkr/k)R=

kmk(r/k2 1 r/kr/k) + M(R2 1 RR) ,isto e,IO=ICM+ M(R21 RR) . (4.4.9)Note que o segundo termo e o tensor de inercia, relativo `a origem O, do corpo rgido comosetodaasuamassaestivesseconcentradanocentrodemassa.Exerccio4.4.1. Deduza (4.4.8) tomando (4.4.9) como ponto de partida.Teorema do Eixo Perpendicular. Dada uma placa plana de formato e distribuicaode massa arbitrarios, a soma de seus momentos de inercia em relacao a quaisquer dois eixosperpendicularescontidosnoplanodaplacaeigual aomomentodeinerciarelativamenteaumeixoquepassaporseupontodeintersecaoe eperpendicular`aplaca.Exerccio4.4.2. Demonstre o teorema do eixo perpendicular .4.5 DiagonalizacaodoTensordeInerciaAs componentes do tensor de inercia dependem da origem e da orientacao dos eixos co-ordenados relativamente ao corpo rgido. Uma vez xada uma origem, seria extremamenteconvenientesefossepossvel encontrareixoscoordenados1, 2, 3comvetoresunitarios1,2,3relativamenteaosquaisotensordeinerciaassumisseaformadiagonal. NessecasoteramosI = I1 11 + I2 22 + I3 33(4.5.1)142 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOdondeL =I= I11 1 + I22 2 + I33 3(4.5.2)isto e,L1= I11, L2= I22, L3= I33. (4.5.3)Analogamente,aenergiacineticatomariaaformaparticularmentesimplesT=12I=12L =12(I121 + I222 + I323) . (4.5.4)Otensor de inerciae umoperador linear real e simetrico, logoauto-adjunto, e oTeoremaC.13doApendiceCasseguraaexistenciadeumabaseortonormal constitudapor autovetores deI. Emoutras palavras, existemtres n umeros reais I1, I2, I3etresvetoresunitariosemutuamenteortogonais1,2,3taisqueI

1= I11,I

2= I22,I

3= I33(4.5.5)ou,emformaabreviada,I

j= Ijj, j= 1, 2, 3 . (4.5.6)Escolhendo os eixos cartesianos ao longo dos vetores 1,2,3 as componentes deInestabasesaodadasporIij= i

I

j= Ij i

j= Ij ij, (4.5.7)demodoqueamatrizdeinercianestabase ediagonal:I = (Iij) =___I10 00 I200 0 I3___ . (4.5.8)4.5. DIAGONALIZAC AODOTENSORDEINERCIA 143Oselementosdadiagonal I1,I2,I3saochamadosdemomentosprincipaisdeinercia, eoseixoscartesianoscorrespondentessaochamadosdeeixosprincipaisdeinercia.A determinacao dos eixos principais de inercia equivale `a resolucao da equacao para I = I , (4.5.9)com ,= 0eI R I. Encontradastressolucoesmutuamenteortogonaiscamdenidososeixos principais de inercia, os valores correspondentes de I sendo os momentos principais deinercia. Com uma escolha inicial arbitraria dos eixos coordenados, a Eq.(4.5.9) escreve-se,emcomponentes,

jIij j=I i, (4.5.10)ou,matricialmente,___I11I I12I13I21I22I I23I31I32I33I______123___ = 0 . (4.5.11)Estesistemadeequacoeslinearesparaascomponentesdesotemsolu caonaotrivialsedet___I11I I12I13I21I22I I23I31I32I33I___ = 0 . (4.5.12)Esta ultima equacaoe c ubica em I, e suas tres razes sao os momentos principais de inercia.Paracadaraiz, aEq.(4.5.11)podeserresolvidaparaascomponentesde, fornecendo,assim,adirecaodoeixoprincipaldeinerciacorrespondente.Exemplo 4.5.1. Dada uma placa homogenea na forma de um triangulo retangulo isosceles,determinar os eixos principais de inercia em relacaoao vertice oposto `a hipotenusa.Solucao. AdotamosinicialmenteosistemadeeixosindicadonaFig. 4.5.1(a). SeMeamassa da placa, sua densidade supercial de massa e =Ma2/2=2Ma2.144 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOO tensor de inercia tem as seguintes componentes:I11 Ixx = _(y2+z2)da = _a0_ay0y2dxdy =Ma26;I22 Iyy = _(x2+z2)da = I11 =Ma26(por simetria) ;I33 Izz = Ixx +Iyy =Ma23(pelo teorema do eixo perpendicular) ;I12 Ixy = _xyda = _a0_ay0xydxdy = Ma212;I13 Ixz = _xzda = 0; I23 Iyz = _yzda = 0 .Portanto,I = (Iij) =Ma212___2 1 01 2 00 0 4___.PondoI = Ma2/12, precisamos encontrar as razes da equacaodet___2 1 01 2 00 0 4 ___ = (4 )[(2 )21] = 0 .As razes sao1 = 1, 2 = 3, 3 = 4, de modo que os momentos principais de inercia saoI1 =Ma212, I2 =Ma24, I3 =Ma23.O autovetor com autovalorI1 satisfaz___2 11 01 2 100 0 4 1______123___ = 0 =___12 = 01 +2 = 033 = 0.4.5. DIAGONALIZAC AODOTENSORDEINERCIA 145Figura4.5.1: Eixosoriginalmenteescolhidoseeixosprincipaisdeinerciadeumaplacaplanatriangularemrelacaoaoverticeoposto`ahipotenusa.Conseq uentemente,___123___ = ___110___ ou = (i +j) ,ondeeumn umeroreal arbitrario. Escolhendo-se=1/2resultaumvetornormalizado(unitario) 1. Este vetor, que pertence ao plano xy e faz um angulo de 45ocom o eixo x, fornecea direcaodo primeiro eixo principal de inercia. Repetindo o procedimento obtem-se o segundoeixoprincipal deinerciaaolongodovetor2=21/2(i +j), eoterceiroaolongodovetor3 = k, isto e, coincidente com o eixoz (Fig. 4.5.1(b)).Exemplo4.5.2. Usandoaequacao(4.4.9), mostrequeoseixos1, 2, 3daFig. 4.4.1(b)tambem sao eixos principais de inercia em relacaoao centro de massa da placa e determine osmomentos principais de inercia correspondentes.Solucao. Ovetorposicao docentrodemassaacontardaorigemOeR=(a2/3)1,donde, por (4.4.9),ICM= IO M(R21 RR) = I111 +I222 +I333 2Ma29(11 + 22 + 3311)= I111 + (I2 2Ma29)22 + (I3 2Ma29)33.Logo, ICMtambem e diagonal relativamente aos eixos 1, 2, 3 com origem no centro de massa e146 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOICM1=Ma212, ICM2=Ma236, ICM3=Ma29sao os momentos principais de inercia correspondentes.4.6 SimetriaseEixosPrincipaisdeInerciaAidenticacaodoseixosprincipaisdeinerciaegrandementefacilitadaseocorpoesimetrico. Dizemosqueumcorporgidopossuiumplanodesimetriaseexisteumplanoquedivideocorpoemduasporcoes detal modoqueumasejaaimagemespeculardaoutra relativamente ao referido plano. Em particular, a densidade de massa do corpo deveseramesmaempontossimetricamentesituadosemrelacaoaoplanodesimetria.Lema4.6.1. Seumcorpotemumplanodesimetria,umeixoprincipaldeinerciaeperpendicularaesseplano.Demonstracao. Sejaxyoplanodesimetria, demodoque(x, y, z)=(x, y, z).Conseq uentemente,Ixz= _ _ _xz(x, y, z)dxdydz= 0 (4.6.1)porqueointegrandoeumafuncao mpardezeointervalodeintegracaoesimetricoemrelacaoaz= 0. Argumentoanalogoaplica-seaIyz,demodoqueI =___IxxIxy0IyxIyy00 0 Izz___ , (4.6.2)queclaramentepossuioautovetor___123___ =___001___ , ou =k (4.6.3)comautovalorIzz. 24.6. SIMETRIASEEIXOSPRINCIPAISDEINERCIA 147Diz-sequeumcorpopossuiumeixodesimetriaseeleeumaguraderevolucaoemtornodoreferidoeixoeadistribuicaodemassadependeexclusivamentedadistanciaaoeixo.Lema4.6.2. Umeixodesimetriadeumcorporgido eumeixoprincipaldeinercia.Quaisquer dois eixos mutuamente ortogonais contidos num plano perpendicular ao eixo desimetria sao eixos principais de inercia, e os momentos principais de inercia correspondentessaoiguaisentresi.Exerccio4.6.1. Demonstre o Lema 4.6.2. Sugestao: considere dois planos perpendicu-lares cuja intersecao e o eixo de simetria e aplique o Lema 4.6.1 a cada um deles.Um reexame do Exemplo 4.5.1 `a luz dos lemas anteriores revela que os eixos principaisdeinerciadaplacatriangularpoderiamtersidoidenticadossemcalculos. Oeixozeperpendicularaoplanodaplaca(Fig. 4.5.1), queobviamenteeumplanodesimetria.Portanto,oLema4.6.1garantequeoeixozeumeixoprincipaldeinercia. Claramente,umplanoperpendicular`aplacaquepassapelaorigemOeeortogonal `ahipotenusaetambemumplanodesimetria, demodoque, novamentepeloLema4.6.1, oeixo2eumeixoprincipal deinercia. Finalmente, oterceiroeixoesimplesmenteperpendicularaosoutrosdois,eidenticamosoeixo1comoo ultimoeixoprincipaldeinerciadaplaca.Exemplo4.6.1. Determinaroseixosprincipaisdeinerciadeumcubohomeogeneo, demassaMe arestaa, em relacaoa um dos vertices.Solucao. EscolhamososeixosiniciaisconformeindicadonaFig. 4.6.1. Porsimetria, osmomentos de inercia sao iguais entre si, o mesmo acontecendo com os produtos de inercia:Izz = Iyy = Ixx =_a0_a0_a0(y2+z2)dxdydz =23a5=23Ma2;Ixz = Iyz = Ixy = _a0_a0_a0xydxdydz = 14a5= Ma24.Assim, a matriz de inercia e dada porI =2Ma23___1 3/8 3/83/8 1 3/83/8 3/8 1___. (4.6.4)148 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOFigura4.6.1: Planosdesimetriadeumcubohomogeneoemrelacaoaumvertice.PorinspecaodaFig. 4.6.1identicamososplanosdesimetria OABCOe ODBEO, cujosvetores unitarios normais sao, respectivamente, n1 =OC2 a

OAa=12(i+j )k =12(ij ) , n2 =ODa

OE2 a=i(j + k)2=12( kj ) .Notequeosvetores n1e n2saolinearmenteindependentesmasnaosaoortogonais. Istoepossvel porque a matriz de inercia tem autovalores degenerados (vide Apendice C), isto e, doisdos momentos principais de inercia sao iguais. De fato, de___1 1 1______110___ = (1 )___110___,___1 1 1______011___ = (1 )___011___,com= 3/8deduz-seque I1=I2=11Ma2/12. Autovetores mutuamenteortogonais enormalizadospodemserobtidosfazendo, porexemplo,1= n1e2=( n1 + n2 ), comosn umerosreaiseescolhidosdetal modoque12=0e [2[ =1. Umcalculoelementarfornece 2 = (i+j2k)/6. O vetor ao longo do terceiro eixo principal de inercia e simplesmente3 = 1

2 =(i j )2

(i +j 2k)6=13(i +j + k) ,cuja direcaocoincide com a da diagonal OBdo cubo. Finalmente, de___1 3/8 3/83/8 1 3/83/8 3/8 1______111___ =14___111___,conclui-se que o terceiro momento principal de inercia eI3 = Ma2/6.4.7. MOEDAROLANTE 149Figura4.7.1: Moedarolandosemdeslizaraolongodeumplanoinclinadoxo.4.7 MoedaRolanteMesmoosproblemastridimensionaismaissimplesdadinamicadoscorposrgidosjasao consideravelmente complicados. No outro extremo situam-se os problemas elementaresde rotacao em torno de um eixo xo. Ha problemas interessantes com apenas dois graus deliberdaderotacionais, osquaiscaracterizam-seporumgraudediculdadeintermediarioe fornecemilustracoesbastante ricas e instrutivas dos conceitos e tecnicas empregados nainvestigacaodomovimentodoscorposrgidos.Consideremos, por exemplo, uma moeda de massame raioRque cai ao longo de umamesa inclinada rolando sem deslizar e sem tombar o seu plano permanece perpendicular`a mesa. Os eixos principais de inercia xos na moeda e passando pelo centro de massa saoquaisquerdoiseixosmutuamenteortogonaiscontidosnoplanodamoeda,comoterceiroeixoperpendicular aoplanodamoeda. Umcalculoelementar fornece I3=mR2/2 e,porsimetriaepeloteoremadoeixoperpendicular, I1=I2=I3/2=mR2/4 . Aenergiacineticadamoedaeaenergiadetranslacaodocentrodemassaacrescidadaenergiaderotacaoemtornodocentrodemassa,demodoquealagrangianadosistemaescreve-seL = T V=m2 ( x2+ y2) +12(I121 + I222 + I323) + mgy sen , (4.7.1a)onde eainclinacaodamesae x, y saocoordenadascartesianasdocentrodamoeda.Sejam e angulosquedescrevemrotacoesdamoedaemtornodoseueixodesime-triaedeumeixoperpendicular`amesa, respectivamente, comoindicadonaFig. 4.7.1.150 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOConseq uentemente, 3=e,levandoemcontaque eomodulodaprojecaodovetorvelocidadeangular sobreoplanodamoeda, 21+ 22=2. Assim, alagrangianadosistematomaaformaL =m2 ( x2+ y2) +mR242+mR282+ mgy sen . (4.7.1b)Osvnculosderolamentoescrevem-se x R sen = 0 , (4.7.2a) y R cos = 0 . (4.7.2b)LancandomaodometododosmultiplicadoresdeLagrange,encontramosasequacoesdemovimentom x = 1, (4.7.3a)m y mg sen = 2, (4.7.3b)mR24 = 0 , (4.7.3c)mR22 = 1Rsen 2Rcos , (4.7.3d)onde1, 2sao os multiplicadores de Lagrange associados aos dois vnculos nao-holonomos(4.7.2).Exerccio4.7.1. Deduza as equacoes (4.7.3).4.7. MOEDAROLANTE 151De(4.7.3c)resultaimediatamente = 0 + t , (4.7.4)onde 0e saoconstantesarbitrarias. CombinandoasEqs.(4.7.2a)e(4.7.3a)obtem-se1= mRsen + mR cos , (4.7.5)e,procedendoanalogamente,2= mRcos mR sen mg sen . (4.7.6)Asubstituicaodessasexpressoespara 1e 2em(4.7.3d)conduz`aseguinteequacaodiferencialpara : =2g sen 3Rcos(0 + t) . (4.7.7)Asolucaogeraldestaequacao e = 0 + t 2g sen 32Rcos(0 + t) . (4.7.8)Finalmente,levandoasEqs.(4.7.4)e(4.7.8)nasequacoesdevnculo(4.7.2)eintegrandoresultamx = x0 +g sen 3t _R+g sen 32sen (0 + t)_cos(0 + t) , (4.7.9)y= y0 +_R+g sen 32sen (0 + t)_sen (0 + t) . (4.7.10)Istocompletaaintegracaodasequacoesdemovimentodamoedarolanteemtermosdasseisconstantesarbitrarias x0, y0, 0, 0, , .152 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOExerccio4.7.2. Asolucaoqueacabamosdeencontrar paraomovimentodamoedarolante nao vale se = 0 . Obtenha a solucao neste caso.Surpreendentemente,no caso ,= 0o acoplamento entre a translacao e a rotacao fazcomqueomovimentodocentrodemassadamoedaaolondodoeixo y sejalimitadoeoscilante: seoplanoinclinadoforsucientementeextenso,amoedasemprepermanecerasobreoplano.4.8 AsEquacoesdeEulerSejaNotorqueemrelacaoaumpontoO,que eumpontoxodocorporgidoou eoseucentrodemassa. Dopontodevistadeumasistemainercialtemos_dLdt_inercial= N, (4.8.1)donde_dLdt_corpo+ L = N. (4.8.2)O tensor de inercia varia com o tempo se estiver referido a eixos xos no espaco. Relativa-menteaeixosatadosaocorpo,noentanto,otensordeinercia eindependentedotempo,oquetornaasequacoesdemovimentodocorporgidosubstancialmentemaissimples. Avida simplica-se ainda mais com a escolha dos eixos xos no corpo como eixos principaisdeinercia, oqueserafeitodoravante. AscomponentesdaEq.(4.7.2)aolongodeeixosprincipaisdeinerciaxosnocorposaodL1dt+2L3 3L2=N1, (4.8.3)com as demais sendo obtidas a partir desta por permutacao cclica dos subscritos. FazendousodeL1= I11,L2= I22,L3= I33podemosescreverI1 1(I2I3) 23=N1,I2 2(I3I1) 31=N2, (4.8.4)I3 3(I1I2) 12=N3.4.8. ASEQUACOESDEEULER 153EstassaoascelebresequacoesdemovimentodeEulerparaumcorporgido,edescrevemcomooeixoinstantaneoderotacao(denidopelovetor)variacomotemporelativa-menteaumsistemadereferenciasolidarioaocorpo. Umasolucaocompletadoproblemadinamico, quepermitaumavisualizacao domovimentodocorpo, requer aindaquesedetermineaorientacaoinstantaneadoseixosligadosaocorpoemrelacaoaumsistemadeeixosinerciaisexternos. Mesmonocasomaissimplesderotacaolivre(N=0), aes-pecicacaocompletadomovimentodeumcorporgidoarbitrarioconstituiumproblemadedifcil resolucao. Oproblemasimplica-seconsideravelmenteseocorpotemumeixodesimetria. Emvezdetratargenericamenteumcorposimetricoemrotacaolivre,vamosconsiderar um exemplo especial que contem as principais caractersticas do caso geral comavirtudecomplementardepermitirumavisualizacaomaisclaradomovimento.Exemplo 4.7.1.Um prato de plastico (frisbee) e arremessado quase horizontalmente paraoar,demodoqueopratogiraaomesmotempoqueseuplanooscila. Descrevaomovimentode rotacao do prato e mostre que as oscilacoes sao duas vezes mais rapidas do que a rotacao doprato em torno do seu proprio eixo de simetria.Solucao. SejaI3o momento principal de inercia em torno do eixo de simetria do prato eI1=I2os momentos principais de inercia em torno de dois eixos mutuamente perpendicularescontidos no plano do prato e passando por seu centro de massa. Como e nulo o torque em relacaoao centro de massa exercido pelo peso, as equacoesde Euler (4.8.4) reduzem-se aI1 1(I1I3) 23=0 ,I2 2(I3I1) 31=0 , (4.8.5)I3 3=0 .Esta ultima equacaomostra que3 permanece invariavel. Denindo a constante =I3I1I13, (4.8.6)camos com 1 = 2, 2 = 1. (4.8.7)Destas equacoesdeduz-se imediatamente 1 + 21 = 0 . (4.8.8)Com uma escolha apropriada da origem do tempo, a solucao desta ultima equacao pode ser postana forma1 = Acos t , (4.8.9a)154 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOFigura4.8.1: Precessaodoeixoinstantaneoderotacaodeumcorporgidosimetrico.donde2 = Asen t , (4.8.9b)sendo A uma constante arbitraria. O movimento executado pelo eixo instantaneo de rotacao, istoe, pelo vetor , esta representado na Figura 4.8.1. O vetor = 11+22 gira com velocidadeangular em torno do eixo 3, ao mesmo tempo que executa um movimento de precessao emtorno do eixo de simetria do corpo. O modulo de e constante e igual a (23 +A2)1/2, de modoque o eixo instantaneo de rotacao descreve um cone `a medida que precessa em torno do eixo desimetria. Aprecessaodovetorvelocidadeangularemtornodoeixodesimetriaaparececomoumaoscilacaodocorpo.Eimportantesublinharqueaprecessaodeerelativaaeixosxosno corpo, os quais, por sua vez, giram no espaco com velocidade angular, o que torna difcil avisualizacaodo movimento.Aescolhadasdirecoes doseixosprincipaisdeinercianoplanoperpendicularaoeixodesimetria e arbitraria. Assim,podemos escolher num dado momento o eixox

x1coincidentecom a linha nodal, de modo que no instante em questao = 0 e as componentes da velocidadeangular tornam-se mais simples:1 = , 2 = sen , 3 = cos+. (4.8.10)Para simplicar ainda mais a analise, tomemos os eixozdo sistema de eixos xos no espaco aolongo do vetor momento angularL,que e uma constante de movimento. Uma vez que a linhanodal e perpendicular ao eixoz, temos:L1 = 0 , L2 = L sen L3 = L cos . (4.8.11)Assim, com a ajuda de (4.5.3), obtemos4.8. ASEQUACOESDEEULER 155 =L1I1= 0 , =2sen =LI1, 3 =L3I3=LcosI3. (4.8.12)Oangulodeinclinacao doeixodesimetriadocorpoemrelacao aovetormomentoangularpermanece constante. No caso do prato tem-seI3 = 2I1 em virtude do teorema do eixo perpen-dicular. Para um prato lancado quase horizontalmente o vetor momento angular e praticamentevertical, e pequeno e 23 , isto e, a taxa de oscilacaodo prato (que coincide com a taxade precessao) e duas vezes maior do que a taxa de rotacaoem torno do proprio eixo.4Naausenciadetorques (N=0) as equacoes deEuler admitemsolucoes tais quepossui componentediferentedezeroeconstantesomenteaolongodeumdos eixosprincipais de inercia. Por exemplo, 1=(0)1, 2=3=0e solucao de (4.8.4) seN=0. Portanto, arotacao uniformeemtornodeumdos eixos principais deinerciarepresentaumasituacaodeequilbrioparaumcorporgidolivre(naosujeitoatorques).Isto eimportanteparaaplicacoesmecanicas,poisumarodaouumvolantesopermanecegirandouniformementeemtornodeumdadoeixonaausenciadetorquesseoeixoemquestaoforumeixoprincipaldeinercia. Paramanterumcorpogirandocomvelocidadeangular constante em torno de um eixo qualquer e necessario aplicar um torque ao corpo,resultandonummaiordesgastenoeixo. Umaquestaointeressanteeseomovimentoderotacao uniforme em torno de um eixo principal de inercia e um estado de equilbrio estavelouinstavel.Exemplo4.7.2. Mostre que so e estavel a rotacaouniforme em torno dos eixos principaisde inercia de maior ou menor momento de inercia.Solucao. Suponhaquearotacao emtornodeumeixoprincipal deinercia, digamosoterceiro eixo, seja ligeiramente perturbada de tal modo que aparecam componentes 1, 2 3.4Esteproblemadesempenhouumpapel bastantepeculiar natrajetoriacientcadograndefsicoamericano Richard Feynman. Em meados de 1947 Feynman era professor na Universidade Cornell. Depoisde haver concludo o doutorado em Princeton e ter participado do Projeto Manhattan de construcaodabomba atomica,em Los Alamos,ele atravessava uma fase improdutiva que o levou a pensar que estavaacabado (burned out) para a Fsica. Feynman preferia almocar no restaurante estudantil porque gostavade olhar as mocas bonitas. Um dia,durante o almoco,alguem de brincadeira arremessou para o ar umprato com o emblema do fundador da Universidade Cornell e Feynman observou como ele oscilava enquantogiravaemtornodoproprioeixodesimetria. Semnadaparafazer,eleformuloueresolveuasequacoesdemovimentodopratooscilante-girante. Animadocomaresolucao doproblema, Feynmandirigiu-se`asaladeHansBetheelhecontouoquetinhavistonorestauranteeoquehaviacalculado. Masqueimportancia tem isso?, perguntou Bethe. Feynman lhe disse que nao tinha nenhuma importancia nem eleligava para isso, mas havia sido divertido. Ele decidiu que daquele momento em diante iria se se divertircomaFsicaesofariaolhedesseprazer. EsseepisodioreacendeuemFeynmanapaixaol udicapelaFsica e ajudou a por m ao estado depressivo em que ele se encontrava (Feynman 1985; Mehra 1994).156 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOOproblemaresume-seadescobrirse1e2permanecempequenas, casoemqueoequilbriosera estavel. As equacoesde Euler com N = 0 escrevem-se, aproximadamente,I1 1(I2I3) 23=0 ,I2 2(I3I1) 31=0 , (4.8.13)I3 3=0 ,onde o termo proporcional ao produto 12 foi desprezado por ser, por hipotese, muito pequeno.Conclui-se que3 e aproximadamente constante e, diferenciando a primeira e usando a segundadas equacoes(4.8.13), deduz-se 1 + 201 = 0 , (4.8.14)onde20 =(I3I2)(I3I1)I1I223. (4.8.15)Se 20> 0, podemos escrever1(t) = 1(0) cos 0t , 2(t) =0(I3I2)I131(0) sen 0t , (4.8.16)de modo que 1 e 2 oscilam harmonicamente em torno da situacao de equilbrio 1 = 2 = 0, aperturbacaopermanecendo pequena se, inicialmente, for sucientemente pequena. Mas 20> 0se: (i)I3>I2eI3>I1; I3I2eI30eforadoconedocorpose 0 refere-se a um corpo achatado na direcao do eixo de simetria.4.10 PiaoSimetricocomumPontoFixoGenericamente, umpiaosimetricoeumcorpoqualquercomI1=I2. SuponhamosqueelesejacapazdegiraremtornodeumpontoxoOdoeixodesimetria,localizadoaumadistanciadocentrodemassa,numcampogravitacionaluniforme(Fig. 4.10.1). Omovimento do piao sera descrito em termos dos angulos de Euler , , . O angulo medeainclinacaodoeixodesimetriadopiaorelativamente`avertical,aopassoquedescreve4.10. PIAOSIMETRICOCOMUMPONTOFIXO 161Figura4.9.3: Vetoresintroduzidosparaanalisarasposicoesrelativasdosconesdocorpoedoespaco.Figura4.10.1: Piaosimetricocomumpontoxo.aprecessaodestemesmoeixoemtornodadirecao vertical. Finalmente, descrevearotacaodo piao em torno do seu proprio eixo de simetria (vide a denicaodos angulos deEulernaSecao3.3).Em vez de empregar as equacoes de Euler (4.8.4), revela-se mais vantajoso lancar maodoformalismolagrangianoparaaanalisedomovimentodopiao. Jaquea unicaforcaaplicada eopeso,alagrangianaescreve-seL = T V=12I1 (21 + 22) +12I323mg cos , (4.10.1)poisI1=I2. Notequeoseixosx

, y

, z

daFig. 3.3.1saoosmesmoseixos1, 2, 3daFig.4.10.1. Assim,recorrendo`asEqs.(3.4.24),alagrangianaassumeaformaL =12I12+12I12sen2 +12I3 ( +cos)2mg cos . (4.10.2)162 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOAs variaveis e saocclicas, logoos momentos conjugados correspondentes saoasconstantesdemovimentopep:L= I3( +cos) = I33= p= constante , (4.10.3)L = I1 sen2+I3cos( + cos) = I1 sen2+p cos = p= constante . (4.10.4)Exerccio4.10.1. Mostre que o torque exercido pelo peso nao tem componente ao longodadirecao3. Use, emseguida, asequacoes deEulerparadeduziraconstantedemovimento(4.10.3).Uma vez que uma variacao do angulo implica uma rotacao em torno do eixo verticalz, peacomponentezdomomentoangular, Lz. Aconservacao deLz, porsuavez, efacilmente compreendida notando que o torque devido ao peso nao possui componente nadirecao vertical. Outra constante de movimento de importancia fundamental e a energia:7E= T+ V=12I12+12I12sen2 +12I3 ( +cos)2+ mg cos . (4.10.5)Essas tres constantes de movimento permitem reduzir a solucao do problema a quadraturas.8Defato,escrevendo +cos = p/I3, (4.10.6) =pp cosI1 sen2(4.10.7)eintroduzindoanovaconstante7Alagrangiananaodependeexplicitamentedotempoeaenergiacineticaefuncaohomogeneadosegundo grau das velocidades, de modo que a integral de Jacobih e a energia (vide Secao2.6).8Resolver o problema por quadraturas signica exprimir a solucao do problema em termos de integraisde funcoesconhecidas.4.10. PIAOSIMETRICOCOMUMPONTOFIXO 163E

= E p22I3, (4.10.8)deduzimosE

=12I1 2+ Vef() , (4.10.9)ondeVef() =(pp cos)22I1 sen2+ mg cos . (4.10.10)SeparandovariaveisnaEq.(4.10.9)obtem-se_0d[E

Vef()]1/2= 2I1t (4.10.11)onde0eovalor denoinstanteinicial t =0.9Emprincpio, portanto, uma unicaquadratura(integracao)permitedeterminartcomofuncaode, umainversaoadicionalfornecendo(t). Umavezencontradaadependenciatemporal de, determina-se(t)porumaintegracaodaEq.(4.10.7). Finalmente, dispondode(t)e(t), obtem-se(t)poruma ultimaintegracaoutilizandoaEq.(4.10.6). Aintegralem(4.10.11),noentanto,naopodeserexpressaemtermosdefuncoeselementares salvoparacondicoesiniciaismuitoparticulares ,demodoque,emgeral,exprime-seemfuncaodetemtermosdefuncoes elpticas de Jacobi.10Afortunadamente, as caractersticas principais do movimentodopiaopodemserinferidassemanecessidadedelidarcomessasfuncoes relativamentecomplicadas.Ocomportamentode(t)podeseranalisadopelometododopotencialefetivocomaajuda da equacao (4.10.9). Consideremos uma situacao geral em que p ,= p (um exemplodo caso especial p= p sera tratado mais adiante). O intervalo sicamente aceitavel parae[0, ],ede(4.10.10)deduz-sequeVef() para 0ou. Poroutrolado,aderivadadopotencialefetivoanula-separa0talqueV

ef(0) = mg sen 0 +(pp cos0)(pp cos0)I1 sen30= 0 . (4.10.12)9Se < 0 no instantet = 0 deve-se tomar a raiz quadrada negativa no lado esquerdo de (4.10.11).10Uma excelente introducao`as funcoeselpticas encontra-se em (Synge & Grith 1959). Para outrosdetalhesarespeitodeintegraiselpticasefuncoes elpticas, (Spiegel1971) eumareferenciaqueprimapela concisao e objetividade.164 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOFigura4.10.2: Aintersecaodascurvasdenidasporf(u)eg(u)forneceo unicovalorde0= cos1u0queanulaV

ef(). Ocasorepresentadocorrespondeapp> 0.Figura4.10.3: OpotencialefetivoVef().Fazendou = cos0,esta ultimaequacaoequivaleamgI1(1 u2)2= (ppu)(ppu) . (4.10.13)Denotandooladoesquerdode (4.10.13) por f(u) e oladodireitopor g(u), podemosdeterminar gracamenteon umerodeintersecoes das curvas denidas por f(u) eg(u)para 1 u 1. As razes de f(u) sao 1, a tangente ao graco de f(u) e horizontal emu = 0, 1 e f(u) para u . Por outro lado, as razes de g(u) sao u0= p/pe1/u0,demodoqueseu0pertenceaointervalo[1, 1]entao1/u0naopertencea[1, 1]evice-versa. Emoutraspalavras, haapenasumaraizdeg(u)nointervalosicamentesignicativo. Estasinformacoes bastamparatracaraFig. 4.10.2, quetornaclaroqueaequacao (4.6.12)possui uma unicasolucao u0nointervalofsico, ou, equivalentemente,haum unicovalor0 [0, ]queanulaV

ef(). Inferimos,assim,queaformadeVef() eaquelaesbocadanaFig. 4.10.3.4.10. PIAOSIMETRICOCOMUMPONTOFIXO 165Emgeral,dadoumvalordeE

oangulooscilaperiodicamenteentreosvalores1e2indicadosnaFig. 4.10.3. Diz-sequeoeixodesimetriadopiaoexecutaumanutacaoemrelacao`avertical. Duranteanutacaoavelocidadeangulardeprecessaodoeixodopiaoemtornodadirecaovertical e,emcadainstante, =pp cosI1 sen2= pppcosI1 sen2. (4.10.14)Hadiversaspossibilidades,asaber:(i) [p[ > [p[. A taxa de precessao tem sempre o mesmo sinal durante todo o tempo.(ii) [p[ < [p[. Introduzindooanguloauxiliar

[0, ] denidoporcos

=pp,temos = (cos

cos)/I1 sen2 . Para determinar a posicaode

, note que a equacao(4.10.12)forneceV

ef(

) = mg sen

< 0,demodoque

< 0. Se

< 1entaotemsempreomesmosinal durantetodoomovimento. Nestecaso, assimcomonoanterior,oeixodesimetriadopiaotraca, sobreumaesferacentradanopontoO, umacurvaqueassemelha-se `a mostrada na Fig. 4.10.4(a). Se

> 1, troca de sinal durante a nutacaoeomovimentocorrespondeaoindicadonaFig. 4.10.4(b). AsituacaoretratadanaFig.4.10.4(c)correspondea

=1. Este ultimocasonaoetaoexcepcional quantoparece.Suponha,porexemplo,queascondicoesiniciaissejam = 0, = 0,= 3,demodoqueo unicomovimentoinicialdopiaoconsistenumarotacaoemtornodeseuproprioeixodesimetria. Comessascondicoesiniciaistem-sep= I33, p= p cos1,dondecos

=pp= cos1=

= 1.SeE

=Vef(0) oangulo permanececonstanteeigual a0, naoocorrenutacaoeoeixodesimetriadopiaoexecutaumaprecessaoregularemtornodavertical comavelocidadeangularconstante =pp cos0I1 sen20. (4.10.15)166 CAPTULO4. DINAMICADOCORPORIGIDOFigura4.10.4: Ascombinacoespossveisdosmovimentosdeprecessaoenutacao.Ha,emgeral,doisvalorespossveisparaporqueaequacao(4.10.12) equadraticaem= pp cos0. (4.10.16)Defato,pp cos0= p sen20 cos0, (4.10.17)demodoque(4.10.12)torna-se2cos0p sen20 + mgI1 sen40= 0 , (4.10.18)cujassolucoessao=I33 sen202 cos0_1 1 4mgI1 cos0I2323_, (4.10.19)ondeusamosp=I33. Se00, avelocidadeangulardopiao em torno de seu eixo de simetria nao pode ser inferior a um valor mnimo11para queopiaopossaprecessarregularmentecomangulodeinclinacao0:min=_4mgI1 cos0I23_1/2. (4.10.20)11No caso de um giroscopio suspenso pelo topo,0> /2 e a precessao regular e possvel qualquer queseja o valor de3.4.10. PIAOSIMETRICOCOMUMPONTOFIXO 167Se3> minhaduassolucoespara= pp cos0,correspondendoaumaprecessaolentaeoutrarapida. Para3 mintemososseguintesvaloresaproximados:rapida I33I1 cos0,lenta mgI33. (4.10.21)Exerccio4.10.1. Deduza estes dois ultimos resultados aproximados aplicando uma ex-pansao binomial `a Eq.(4.10.19).O ultimo problema importante que investigaremos e o da estabilidade de um piao postoa girar na posicao vertical, tambem conhecido como piao dormente.12As condicoes iniciais(0)=0,(0)=3implicam, pelaequacao(4.10.4), p=p. Emtaiscircunstanciasopotencialefetivotorna-seVef() =p22I1(1 cos)2sen2+ mg cos =p22I1tan2 2+ mg cos . (4.10.22)Parapequenasnutacoesrelativamente`aposicaovertical,Vef() p22I1_2_2+ mg_1 22_ = mg +12k2, (4.10.23)ondek =I23234I1mg . (4.10.24)ParapequenosvaloresdeogracodeVef() eumaparabolacomummnimoem = 0sek > 0,eummaximoem = 0sek < 0. Conseq uentemente,omovimentodopiaocomeixodesimetriaverticalseraestavelsek > 0,ouseja,se3> c=_4mgI1I23_1/2. (4.10.25)12O leitor e remetido a Whittaker (1944) para outros aspectos do movimento do piao, bem como paraa solucao exata em termos de funcoeselpticas.168 CAPITULO4: PROBLEMASEmoutraspalavras, avelocidadeangulardopiaoemtornodoseuproprioeixopossuiumvalorcrticocabaixodoqual omovimentoderotacaodopiaonaposicaoverticaltorna-seinstavel. Se3> caspequenasoscilacoesdoeixoemtornodadirecaoverticalpermanecempequenas, oeixodesimetriadopiaocontinuapraticamentevertical eelerodopia serenamente, parecendo parado, dormente. Na pratica, se um piao e posto a girarquaseverticalmentecom3>c, elecaadormecidoateque, porcausadoatrito, 3torna-semenordoquec,quandoopiaodespertaecomecaacambalear,comseueixodesimetriaafastando-secadavezmaisdavertical ateopiaocair. Qualquerpessoaquetenhabrincadocompioescertamentejateraobservadoessecomportamento.PROBLEMAS4.1. OcubodoExemplo4.6.1epostoagiraremtornodaarestaquecoincidecomoeixo z. Determineovetormomentoangulardocuboeoanguloqueelefazcomovetorvelocidadeangular.4.2. (i)DadoumtensorarbitrarioT,proveque_dTdt_inercial=_dTdt_corpo+T T.UsandoL =I , (dL/dt)inercial= Ne o resultado do item anterior, deduza as equacoesdeEulerparaomovimentodeumcorporgido.4.3. Umanaveespacial simetricamove-senoespacosideral. Motores simetricamentesituadosaplicamumtorqueconstante N3aolongodoeixodesimetria. (i)Supondoque3(0) =0 , determine 3(t) . (ii) Proveque 21+ 22econstantedemovimento. (iii)Tomandocomocondicoes iniciais 1(0) =0 e 2(0) =, determine 1(t) e 2(t) .Descrevaomovimentoexecutadopelovetorvelocidadeangularrelativamenteaoseixosprincipaisdeinercia.4.4. (i)Determineoseixosemomentosprincipaisdeinerciadeumaplacahomogenearetangular, delados a e b , emrelacaoaumdosvertices. (ii) UmaplacahomogeneaCAPITULO4: PROBLEMAS 169retangular estasuspensapor umdosverticesepodeoscilar numplanovertical coinci-dentecomoplanodaplaca. Determineoperododaspequenasoscilacoesdaplacaeocomprimentodopendulosimplesequivalente.4.5. Determineoseixosemomentosprincipaisdeinerciaemrelacaoaoverticedeumconehomogeneodealtura heraiodabase R. Sabendoqueocentrodemassadoconeencontra-seaumadistancia 3h/4 dovertice,obtenhaoseixosemomentosprincipaisdeinerciaemrelacaoaocentrodemassa.4.6. Umahastehomogeneadecomprimento 2 emassa mestapresaporumaextre-midadeaumamolacujaconstanteelasticae k , equependedeumumsuportexo. Ahastepodeoscilarnumplanoverticaleamolaestarestritaamover-seapenasparacimaouparabaixo. Escrevaalagrangianaeasequacoesdemovimentodessesistema.4.7. Osmomentosprincipaisdeinerciade I1, I2, I3deumcorporgidoemrelacaoaocentrodemassasaotodosdistintos. Seocentroderotacaodocorpopassaraserumponto Odeslocadodeumvetor s emrelacaoaocentrodemassa,mostrequeapenasses foraolongodeumdoseixos 1, 2, 3 equeoseixosprincipaisdeinerciapassandopeloponto Oseraoparalelosaoseixos 1, 2, 3 .4.8. Aaceleracaocentrfugaac= (r ) dependelinearmentede r ,logopodeserescritanaforma ac=Tc r . ExprimaotensorTcemtermosde eobtenhaamatrizdascomponentesdeTcnumsistemacartesianoqualquer.4.9. Uma roda desce rolando um plano inclinado de um anguloem relacao `a horizontal.Arodasemantemperpendicular`asuperfcieinclinadamaspodegiraremtornodoeixonormal`asuperfcie. EncontreasolucaoparaomovimentodarodausandooformalismolagrangianoeatecnicadosmultiplicadoresdeLagrange.Captulo5PEQUENASOSCILAC OESTimetravelsindiverspaceswithdiverspersons. Ill tell youwhoTimeambleswithal, whoTimetrotswithal, whoTimegallopswithal, andwhohestandsstillwithal.William Shakespeare, As You Like ItAteoriadaspequenasoscilacoesemtornodeposicoesdeequilbrioestavelencontraaplicacao na espectroscopia molecular, no estudo de vibracoes mecanicas, na ac ustica e nateoriadoscircuitoseletricos,entreoutrasareas. Oconceitodemodonormal devibracao,introduzido na teoria, e de enorme importancia em praticamente todos os ramos da Fsica,dateoriaquanticadecampos`afsicadamateriacondensada. Seosdesviosdaposicaodeequilbrioforemsucientementepequenos, emgeral omovimentopoderaserdescritocomoodeumacolecaodeosciladoresharmonicosacoplados.5.1 CasoUnidimensionalConsideremosumsistemaconservativocomum unicograudeliberdadedescritopelacoordenadageneralizadaq. Semperdasignicativadegeneralidade, suponhamosquearelacao entreas coordenadas cartesianas eacoordenadageneralizadaq naoenvolvaotempo,demodoquealagrangianatemaforma1L =12(q) q2V (q) , (5.1.1)1Considere a versao unidimensional das equacoes(2.6.4) e (2.6.5).1705.1. CASOUNIDIMENSIONAL 171comafuncao(q)positiva.Exemplo 4.5.1.Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de um o rgido contidonum plano vertical e na forma de uma parabola com equacaoy = x2/R. O sistema encontra-senumcampogravitacional constanteg= gj. Usandoq=xcomocoordenadageneralizada,temosL =m2 ( x2+ y2) mgy =m2_1 + 4x2R2_ x2mgRx2, (5.1.2)que e da forma (5.1.1) com(x) = m(1 + 4x2/R2).Diz-sequeaconguracaoq= q(0)eumpontodeequilbriose_dVdq_q=q(0)=0 . (5.1.3)Defato,aequacaodemovimentoproduzidapelalagrangiana(5.1.1) eddt_(q) q_+dVdq= 0 , (5.1.4)quepossui asolucao q=q(0)=constante desdeque(5.1.3)sejavericada. Emoutraspalavras, se num dado instante o sistema encontra-se na conguracaoq= q(0)com veloci-dade q= 0, o sistema permanecera nessa situacao para sempre. Por exemplo, um penduloinicialmente em repouso na posicao de equilbrio ( = 0) assim perdurara indenidamente.O equilbrio e dito estavel se uma perturbacao sucientemente pequena nao e capaz deafastar grandemente o sistema da condicao de equilbrio, mas provoca pequenas oscilacoesemtornodaconguracaodeequilbrio. Istoocorreseopotencial passaporummnimonaposicaodeequilbrio. SeV passaporummaximooupontodeinexao,oequilbrio einstavel. ComosedepreendedaFig. 5.1.1, seumapequenavelocidadeforimprimida`apartculanaconguracaodeequilbrio, aumentandoligeiramentesuaenergia, odesloca-mento permanecera pequeno se o potencial Vfor mnimo, mas nao sera pequeno, podendocrescerindenidamente,quandoVemaximooupassaporumpontodeinexao.Estaremosinteressadosempequenasvibracoes emtornodeumpontodeequilbrioestavel. Ocriteriodeestabilidade e172 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOESFigura5.1.1: Em(a)oequilbrio eestavel,masem(b)ou(c) einstavel._d2Vdq2_q=q(0)>0 , (5.1.5)quegarantequeV passaporummnimolocalemq= q0. Denaq= q(0)+ (5.1.6)ondeeodeslocamentodaposicaodeequilbrio. Supondosucientementepequeno,podemosaproximarV (q)nasvizinhancasdaposicaodeequilbrioporV (q) = V (q(0)+ ) = V (q(0)) +_dVdq_q=q(0) +12_d2Vdq2_q=q(0)2+ . (5.1.7)Otermolinearemnesta ultimaequacaoenuloemvirtudedaEq.(5.1.3). Portanto,atesegundaordemem,V (q) = V0 +12k(0)2, (5.1.8)ondek(0)=_d2Vdq2_q=q(0)>0 (5.1.9)e V0=V (q(0)) e constante e igual ao valor da energia potencial na conguracao deequilbrio.5.1. CASOUNIDIMENSIONAL 173Coerentemente,facamos umaexpansaodaenergiacinetica ate segundaordememe . Temos(q) = (q(0)+ ) = (q(0)) +_ddq_q=q(0) + . (5.1.10)Porem,como q= ,vemosqueotermolinearemnesta ultimaequacaodarialugarnaenergia cinetica a um termo proporcional a 2,que e c ubico nas quantidades pequenas e . Portanto, mantendonomaximotermosquadraticoseme , alagrangiana(5.1.1)escreve-seL =(0)2 2k(0)22, (5.1.11)onde(0)= (q(0)) , (5.1.12)tendosidodescartadaaconstanteV0, poisnaoafetaaequacao demovimentopara.Constata-se imediatamente que (5.1.11) tema forma da lagrangiana de umosciladorharmonicodemassa(0)econstanteelasticak(0),demodoqueexecutaoscilacoesharmonicasemtornode= 0comfreq uenciaangular=_k(0)(0)_1/2. (5.1.13)No Exemplo 5.1.1 claramente x =0e ponto de equilbrio estavel, pois V

(0) =(2mgx/R)x=0= 0eV

(0) = 2mg/R > 0. Portanto,deacordocom(5.1.13),afreq uenciadaspequenasoscilacoesemtornodex = 0sera= (2g/R)1/2.E necessario sublinhar a hipotese de que a expansao do potencial em torno da posicaodeequilbriosejadominadapelotermodesegundaordem. Noscasosanomalosemqueotermodesegundaordemestaausente,omovimentooscilatorioemtornodasposicoesdeequilbrioestavelnaoseraharmonicosimpleseaanaliseacimanaoseaplica.Exemplo 5.1.2.Uma conta de massa m desliza ao longo de uma haste cilndrica lisa ligada auma mola com constante de forca k e comprimento natural , conforme a Fig. 5.1.2. Determinaras posicoesde equilbrio e classica-las quanto `a estabilidade nos casos > a e < a.174 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOESFigura5.1.2: Exemplo5.1.2Solucao.Usando como coordenada generalizada o deslocamento horizontal x, a lagrangianaescreve-seL =m2 x2k2(_a2+x2)2. (5.1.14)As posicoesde equilbrio satisfazemdVdx= k(_a2+x2)xa2+x2= 0 , (5.1.15)cujassolucoes saox = 0ex =

2a2(se>a). Parainvestigaraestabilidadedevemosdeterminar o sinal ded2Vdx2= kx2a2+x2 +k__a2+x2_a2(a2+x2)3/2(5.1.16)nos pontos de equilbrio. (i) Casoa > . Somentex = 0 e ponto de equilbrio, o qual e estavel,pois_d2Vdx2_x=0= k_1

a_ > 0 , (5.1.17)e a freq uencia das pequenas oscilacoesem torno dex = 0 e =km(1

a) . (5.1.18)(ii) Casoa < . Ha tres posicoesde equilbrio,x = 0 oux =

2a2. O pontox = 0 agora eposicao de equilbrio instavel porqueV

(0) < 0. Por outro lado, as posicoesx =

2a2saode equilbrio estavel porque_d2Vdx2_x=

2a2= k(1 a2

2 ) > 0 , (5.1.19)5.1. CASOUNIDIMENSIONAL 175Figura5.1.3: Exemplo5.1.3sendo =km_1 a2

2_. (5.1.20)a freq uencia das pequenas oscilacoesem torno dessas posicoes.Neste ultimoexemplo, notequesea= nos deparamos comasituacao anomalamencionadaanteriormente: a unicaposicaodeequilbrio ex = 0masotermodominantenaexpans aodopotencialemtornodex = 0 edequartaordem.Exemplo 5.1.3.Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma circunferencia deraio R que gira em torno de seu diametro vertical com velocidade angular constante , conformea Fig. 5.1.3. Estudar as conguracoesde equilbrio e classica-las quanto `a estabilidade.Solucao. Comacoordenada indicadanaFig. 5.1.3, as coordenadas cartesianas dapartculademassamsaox=Rsin cos,y=Rsin sin,z= Rcos onde = teo angulo de rotacao em torno do eixo verticalz. A lagrangiana e dada porL = T V=m2 (R2 2+R22sin2) mgR(1 cos) , (5.1.21)o nvel zero do potencial gravitacional tendo sido tomada no ponto mais baixo da circunferencia.A lagrangiana (5.1.21) e da forma (5.1.1) com um potencial efetivoVef() = mgR_(1 cos) 1222csin2_, (5.1.22)ondec = _g/R. As posicoesde equilbrio sao as solucoesde176 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOESFigura5.1.4: Potencialefetivo(5.1.22)noscasos(a)< ce(b)> c.dVefd= mgR_sin 22csin cos_ = 0 , (5.1.23)e as condicoesde estabilidade sao determinadas pelo sinal ded2Vefd2= mgR_cos 22c(2 cos2 1)_(5.1.24)nas conguracoesde equilbrio. Dois casos sao possveis: (i)se 0,esta ultima posi caoe de equilbrioestavel ( =e posicao de equilbrio instavel); (ii) se>coutras duas solucoesde (5.1.23)sao = 0comcos0=(c/)2. Agora=0 einstavel( = continuainstavel)easconguracoesde equilbrio estavel sao = 0, , poisV

ef(0) = mgR(44c)/(22c) > 0.O graco deVef() para >ce (g/)1/2.Nosdoisexemplosanterioresalagrangiananaodependeexplicitamentedotempoeaenergiacineticaefuncaohomogeneadosegundograudasvelocidadesgeneralizadas, de178 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOESsortequeh=Eeheconstantedemovimento. Emambososcasosaconservacao daenergiaexprime-senaforma(q)2 q2+ Vef(q) = E, (5.2.5)ondeqdenotaacoordenadanao-cclica. Comefeito,noExemplo5.2.1,E= T+ V=m2 r2+m2 r2 2+ V (r) =m2 r2+p22mr2+ V (r) , (5.2.6)aopassoque,noExemplo5.2.2,usandom2 2sin2 = p,E= T+ V=m222+p22m2sin2 mg cos . (5.2.7)AsconguracoesdeequilbrioestacionariosaoassolucoesdedVef(q)dq= 0 , (5.2.8)enquantoqueaestabilidadedependedosinal dasegundaderivadadopotencial efetivonasposicoesdeequilbrio,osinalpositivoimplicandoequilbrioestavel.Exemplo5.2.3. Investigar a estabilidade da orbita circular de um corpo celeste em tornodo Sol.Solucao. Segundo a Eq.(5.2.6),Vef(r) =p22mr2 Ar(5.2.9)comA = GmM> 0, sendoMa massa do Sol em a massa do corpo celeste em orbita circular.O raio da orbita determina-se de0 =dVefdr= p2mr3 +Ar2= r = r0 =p2mA, (5.2.10)ja obtido de outra forma no Exemplo 5.2.1. Por outro lado,5.2. MOVIMENTOESTACIONARIOEPEQUENASOSCILACOES 179k(0)=_d2Vefdr2_r=r0=3p2mr40 2Ar30=Ar30> 0 , (5.2.11)e as orbitas circulares sao estaveis frente a pequenas perturbacoes,2sendo =_k(0)(0)_1/2=_GMr30_1/2(5.2.12)a freq uencia das pequenas oscilacoesem torno da orbita circular.Exemplo5.2.4. Estudaraestabilidadedomovimentoestacionariodeprecessao(=0)de um pendulo esferico.Solucao. De (5.2.7) infere-seVef() = mg(1 cos) +p22m2sin2. (5.2.13)O movimento estacionario = 0 requer_dVefd_=0= mg sin0p2 cos0m2sin3= 0 . (5.2.14)Fazendousode p=m2sin20 resulta cos0=g/( 2) contantoque >(g/)1/2. Poroutro lado,k(0)=_d2Vefd2_=0= mg cos0 +p2m2sin20+ 3p2 cos20m2sin40=mgcos0(1 + 3 cos20) > 0 .(5.2.15)A precessao e estavel e =_k(0)(0)_1/2=_k(0)m2_1/2=_g

1 + 3 cos20cos0_1/2(5.2.16)e a freq uencia das pequenas oscilacoesem torno do movimento estacionario.2A presente analise nao se aplica a perturbacoesperpendiculares ao plano da orbita.180 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOES5.3 PequenasOscilacoes: CasogeralComas mesmas hipoteses docasounidimensional, umsistemaconservativocomngrausdeliberdadedescritopelascoordenadasgeneralizadas q1, . . . , qntemlagrangianaL =12n

k,l=1Mkl qk qlV (q1, . . . , qn) (5.3.1)ondeos Mkl= Mkl(q1, . . . , qn) saoquantidadessimetricasemseus ndices,istoe, Mkl=Mlk(vide Eq.(2.6.5)). Aconguracao q(0)(q(0)1, . . . , q(0)n) e uma conguracao deequilbriose_Vqk_q(0)= 0 , k = 1, . . . , n. (5.3.2)Denindoqk= q(0)k+ k, k = 1, . . . , n, (5.3.3)eexpandindoV (q)atesegundaordemempotenciasde 1, . . . , nresultaV (q1, . . . , qn) = V (q(0)) +

k_Vqk_q(0)k +12

kl_2Vqkql_q(0)k l + . (5.3.4)Otermolinearnospequenosdeslocamentos enuloemvirtudede(5.3.2)eaaproximacaodominanteparaV tomaaformaV= V0 +12

klVklk l, (5.3.5)onde V0= V (q(0)) econstanteeVkl=_2Vqkql_q(0). (5.3.6)As quantidadesVklsao constantes e simetricas: Vkl= Vlk. O criterio de estabilidade agora5.3. PEQUENASOSCILACOES:CASOGERAL 181eumpoucomaiscomplicado. SeV emnimoemq=q(0)seuvalorsopodeaumentaremconseq uenciadeumpequenodeslocamentodaconguracao q= q(0). PelaEq.(5.3.4),portanto, q= q(0)epontodeequilbrioestavelse

klVklk l> 0 (1, . . . , n) ,= (0, . . . , 0) . (5.3.7)Em resumo, o equilbrio e estavel se a forma quadratica (5.3.7) construda com as segundasderivadasdopotencial epositivadenida,hipotesequefaremosdeagoraemdiante.Assimcomonoproblemaunidimensional, aexpansaodalagrangiana(5.3.1), corretaatesegundaordemem e ,escreve-seL =12

klTkl k l12

klVklk l, (5.3.8)ondeTkl= Mkl(q(0)) (5.3.9)eaconstanteaditiva V0foi descartada. Asequacoesdemovimentoparaospequenosdeslocamentosdaposicaodeequilbriosaoddt_L j_Lj= 0 , j= 1, . . . , n. (5.3.10)MasL j=12

klTkl (kj l + k lj) =12_

lTjl l +

kTkj k_ =12_

lTjl l +

kTjk k_,(5.3.11)porqueTkj= Tjk. Finalmente, levando em conta que ondice de soma e mudo, podemostrocarlporknopen ultimosomatorioqueaparecenaEq.(5.3.11),obtendoL j=

kTjk k. (5.3.12)182 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOESAnalogamente,Lj=

kVjk k, (5.3.13)demodoqueasequacoesdeLagrange(5.3.10)assumemaforma

kTjk k +

kVjk k= 0 , j= 1, . . . , n, (5.3.14)quesaoequacoesdemovimentodeosciladoresacoplados.5.4 ModosNormaisdeVibracaoComologoveremos, asolucao geral daEq.(5.3.14)podeserexpressaemtermosdesolucoes particulares emque todos os deslocamentos 1, . . . , noscilamcomamesmafreq uencia. Tais solucoes particulares sao conhecidas como modosnormaisdevibracao.Econvenientesubstituirk(t)pelafuncaocomplexazk(t)edenirk(t) = Re zk(t) , k = 1, . . . , n. (5.4.1)Como os coecientes do sistema de equacoes (5.3.14) sao reais, as partes real e imaginariadeumasolucaocomplexasaotambemsolucoes,oquejusticaaEq.(5.4.1). Busquemos,portanto,solucoescomplexasde(5.3.14)naformazk(t) = z(0)keit, k = 1, . . . , n, (5.4.2)em que todos os deslocamentos vibram com a mesma freq uencia . Substituindo k(t) porzk(t)em(5.3.14)resulta

k(Vjk2Tjk) z(0)k= 0 . (5.4.3)Denindoasmatrizes5.4. MODOSNORMAISDEVIBRAC AO 183VV = (Vjk) , TT = (Tjk) , z(0)=____z(0)1...z(0)n____, (5.4.4)asequacoes(5.4.3)equivalem`aequacaomatricial(VV2TT) z(0)= 0 . (5.4.5)Esta ultimaequacaosopossuisolucaonao-trivial z(0),= 0 sedet(VV2TT) = det____V112T11V122T12. . .V212T21V222T22. . ..........____ = 0 , (5.4.6)que eumaequacaoalgebricadegraunpara2,possuindonrazes2= 2s, s = 1, . . . , n, (5.4.7)onde 1, . . . , nsaochamadasdefreq uenciascaractersticas dosistema.E possvel encontrar n vetores linearmente independentes(1), . . . , (n)que satisfazem(5.4.5),isto e,(VV2(s)TT) (s)= 0 , s = 1, . . . , n. (5.4.8)ComoVVeTTsao matrizes reais, e sempre possvel escolher cada(s)de modo que todasas suas componentes sejamreais. Supondoquetal escolhatenhasidofeita, asolucaocomplexamaisgeralassociada`afreq uencia sescreve-sez(s)(t) = A(s)

(s)eist+B(s)

(s)eist, (5.4.9)pois 2=2(s)esatisfeitapor =sou = s , equalquercombinacao lineardesolucoes com coecientes complexos arbitrarios A(s)e B(s) continua sendo solucao em184 CAPTULO5. PEQUENASOSCILACOESvirtudedalinearidadedaEq.(5.3.14). Asolucaomaisgeral possvel para z(t) eobtidaporsuperposicaodassolucoesassociadasacadafreq uenciacaracterstica s :z(t) =n

s=1[A(s)eist+B(s)eist] (s), (5.4.9)Asolucaofsica e(t) = Re z(t) =z(t) +z(t)2=n

s=112[(A(s)+ B(s)) eist+(A(s)+ B(s)) eist] (s)(5.4.10)jaqueos (s)saovetoresreaisporhipotese. DenaA(s)+ B(s)= C(s)eis(5.4.11)comC(s)e sreais,demodoqueA(s)+ B(s)=_A(s)+ B(s)_= C(s)eis. (5.4.12)Comoempregodestasduas ultimasequacoespodemosescrever(t) =n

s=1C(s)

(s)cos (st + s) (5.4.13a)ou,emcomponentes,k(t) =n

s=1C(s)

(s)kcos (st + s) , k = 1, . . . , n. (5.4.13b)Asolucao geral dasequacoes demovimento(5.3.14)expressaporesta ultimaequacaocontemas 2n constantes arbitrarias C(1), . . . , C(n), 1, . . . , nquepodemser determi-nadaspelascondicoesiniciais.Exemp