REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO

PROGRAMA DE CURSO

1.- Datos de Identificación:

DENOMINACIÓN DEL CURSO O FASE: Cálculo Integral

CÓDIGO: EMAT021 U.C: 03

NO DE HORAS: Presénciales: 16 A Distancia:64 Total: 80

COMPONENTE: Formación Especializada

ESPECIALIDAD: Matemática

PRELACIÓN: EMAT003 Cálculo Diferencial

AREA O NIVEL: Integración

TIPO DE CURSO: Homologado - Obligatorio

ALTERNATIVA DE ADMINISTRACIÓN: Presencial ( ) A distancia ( ) Mixto ( x )

CARÁCTER O NATURALEZA DEL CURSO: Teórico - Práctico

AUTOR (A): Dr. Hugo Polanco

ASESORÍA EN DISEÑO: Unidad de Tecnología Educativa

FECHA DE ELABORACIÓN: Julio 2007

APROBADO POR LA UNIDAD DE CURRÍCULO

SELLO

1. FUNDAMENTACION

El uso de las matemáticas en la búsqueda y aplicación del conocimiento humano resulta un

tema indiscutible. La necesidad de los conocimientos de las matemáticas no siempre se han generado

de manera independiente, la mayoría de las veces surge como una herramienta fundamental en el

desarrollo de las aplicaciones. El cálculo diferencial e Integral surge como una herramienta de la

mecánica clásica desarrollada fundamentalmente por Newton. Incluso una vez marcadas las

limitaciones de la mecánica clásica y el surgimiento de áreas como la relatividad general, en la que

surgirían operadores que formarían parte análoga con la mecánica clásica y en la que a su vez se

crearían análogos con el cálculo desarrollado por Newton y Leibnitz, tal es el caso de operadores como

el operador de Riemmann y las segundad derivadas utilizadas en la mecánica clásica.

  La aplicación y el uso de cálculo dentro de las propias matemáticas no solo se ha concretado en

pocas aplicaciones sino que han dado formalidad a un sin número de áreas, tales como la sociología, la

antropología, la física, la psicología y las ciencias biológicas en las que las aplicaciones ha versado

entre el crecimiento de poblaciones hasta ser elementos clave en la interpretación de fenómenos.

  Es por ello que el presente curso pretende ser una herramienta clave en la incursión de las

aplicaciones básicas en algunas áreas de las ciencias, como lo es la química, la física, la farmacología,

entre otras incluyendo las propias matemáticas.

DE CÓMO SE GESTO Y VINO AL MUNDO EL CÁLCULO INFINITESIMAL

(Documento extraído de la Coordinación de Innovación Educativa, Universidad de Michoacana de San

Nicolás de Hidalgo – México - Copyright © 2001-2008) 

  Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente

y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y

un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del

cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y

volúmenes que  Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta

el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se

descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la

inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo

del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no

geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos

y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto

desde el principio.

Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se

habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos

el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya

apareció de algun modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo

tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que

alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue

prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia

y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis

que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por

adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como

una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como

queramos. Fué Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristotéles quien hizo el primer uso

"racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada

mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste

toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida

al descubrimiento de los irracionales-.

No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor

del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quiza

por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto

no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del

cálculo -recordemos que su original método "mecánico"

donde además se saltaba la prohibición aristotélica de

usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en

1906 como ya hemos tenido ocasión de contar en la

sección dedicada a los griegos-. La genial idea de

siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá

que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera

los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste

usaba un método semejante.  Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera

Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta

justo en la página donde Arquímedes describe el método de sus infintos segmentos para cuadrar la

parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que

ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.

Como ya mencionamos una razón importante

de la aparición del cáclulo fue la aparición de

una adecuada representación para los números.

Se trata de la representación decimal -cuyo

primer registro escrito en el mundo occidental

mostramos en la sección dedicada a las

matemáticas en la península ibérica-. Junto a

Viète, uno de los principales impulsores de la

idea fue Simon Stevin del cual admiramos Les

oubres mathematiques (Leiden, 1634)

especialmente abierto en la primera página de La Disme donde Stevin

desarrolla si aritmética decimal.  También Stevin uso distintos argumentos

infinitesimales para calcular centros de gravedad, pero eso lo veremos más adelante. No obstante fue la

necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes -ya en el siglo XVII se habían

recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición

de las obras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda) justamente abierta éste da su famosa

estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circuneferencia- que

desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática

del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos,

científicos, médicos y tecnólogicos- y fué el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar

pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristótelicas de las que

ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat.

La primera parte del siglo XVII vio el

nacimiento de la geometría analítica de Fermat

y Descartes. La importancia de este

descubrimiento consiste en que la geometría

analítica permite el tratamiento algebraico de

problemas geométricos, al asignar a las curvas,

superficies, etc. fórmulas algebraicas que las

describen y permiten su manipulación

analítica. De esta forma encontrar tangentes,

por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las

derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos y específicos para cada curva  procedimientos

geométricos.

De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Renato Descartes.

Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó

un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El

discurso del método. El otro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat, fue jurista y

aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda

superior a muchos profesionales. Intervino de hecho en todas las ramas de las matemáticas que se

crearon en el siglo XVII, y no fueron pocas. Fermat no publicó, sin embargo, casi nada: sus obras

aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo. Mostraremos aquí un ejemplar de la

primera edición (Leiden, 1637) del Discours de la Methode... la obra más célebre de Descartes y una de

las obras filosóficas más famosas jamás escrita que como ya dijimos antes servía de prólogo a tres

obras de este autor -entre las que se incluía su Geómetrie-. A la derecha podemos apreciar una de las

tantas ediciones que más tarde se realizaran de la Geometría ya separada del resto de sus originales

compañeras.

Otra razón no menos importante es que, como ya mencionamos, en el siglo XVII los matemáticos

perdieron el miedo  a los infinitos que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los

primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del

cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri

considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas

redescubriendo las bases metodológicas del método mécanico -y desconocido en aquella época- de

Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le

permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consigió ya que

el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-.  Las desventajas de su método de

indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos

geométricos- fueron rapidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal

Wallis y Roberval. Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin

duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius al que ya

encontramos en el apartado de astronomía reformando el calendario. Sus

principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum de cuya

primera edición de 1647 podemos admirar un ejemplar (izquierda). En ella

desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series

geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo,

como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que

además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en

la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión

geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una

de sus aportaciones más valisosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se

expresaba mediante los logaritmos. Este resultado es el que justamente podemos admirar en la foto de

su obra ya mencionada.

Nuestro próximo personaje es John

Wallis, miembro fundador de la Royal

Society de Londres y editor de obras de

Arquímedes que además escribió una

Gramática inglesa -como ya antes ya

había hecho Nebrija con la castellana-.

Wallis aritmetizó los indivisibles de

Cavalieri asignándoles valores

númericos convirtiendo de esta forma el

cálculo de áreas -hasta el momento algo

meramente geométrico- en cálculos

aritméticos más un primitivo proceso al

límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos

actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos: «Este

procedimeinto es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido métodos de

figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce máuseas al

lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba», escribió en su Arithmetica infinitorum.

Usando su método aritmético, la inducción incompleta  y su intuición llegó a calcular el área de todas

las parabolas generalizadas xrcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para

calcular Pi

Pi = 2·4·4·6·6·8·8····

 4      1·3·3·5·5·7·7····

Presentamos aquí una foto de la portada del libro De Algebra tractatus correspondiente a su primera

edición latina de 1693 contenido en su Operum mathematicorum.  El trabajo de Wallis influyó

enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el

cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en

Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:

Método de Exhausión (Arquímedes)

Método de los indivisibles (Cavalieri)

Aritmética de los infinitos (Wallis)

Métodos de las series infinitas (Newton)

Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de

tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las

cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el

siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas,

volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.  Como hemos

mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y

Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y

menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la

geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el

maestro de Newton en Cambridge la hubiera

estudiado bien, podría haber arrebatado a su

discípulo el descubrimiento del cálculo. En

efecto, como ya comentamos, la geometría

analítica amplió considerablemente el horizonte

de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos

de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos

cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente

cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron

descubiertos independientes por Napier y Bürgi

terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su

tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier

Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de

elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas

curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos paar calcular tangentes.  Uno de ellos fue el

método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto

unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del

cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo

del cálculo: «La indicación me la dió el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las

ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los

mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente

por su "larga" demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha

hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi

todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada

de su Varia opera matemathica publicada póstumamente por su hijo en 1679.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso

de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en

plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó,

entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó

sin éxito siendo Leibniz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el

cálculo infinitesimal. De hecho un elemento escencial para el descubrimiento del cálculo era el

reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de

hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda

justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.

Pero pasemos ya al Cáculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver

más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere

entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente

el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las

matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marcho de

su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus

estudios teológicos-.   En la lección X de su obra Letiones opticae &

geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema

fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así

como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica como que el valor de

la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con el segmento DE, o sea, si trazamos la

tangente a la curva cuadratriz VIFI en un punto, se obtiene como pendiente para esta recta tangente el

valor de la curva inicial en ese punto.

En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la

maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la

derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y

mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el

cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes,

centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos

conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo

El primero en descubrirlo fue Newton, pero su

fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto

su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en

sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se

refugiaba en su casa materna de la epidemia de

peste que asolaba Inglaterra. De hecho su

primera obra  sobre el cálculo De analyse per

aequationes

numero

terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro

Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 -

contémplese una foto de la portada de su primera edición donde además

admiramos el cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema

fundamental del cálculo mediante primitivas-. Nótese además la aparición

de las famosas Expistola prior y posterior, sendas cartas dirigidas a

Leibniz.  En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se

centra en el teorema del binomio-, en la primera, e incomprensiblemente,

en la segunda, su método de cálculo. La segunda obra de Newton sobre el

cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737

para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 despues de escrita!. Se trata de De methodis

serierum et fluxionum.  En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función

del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades

propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de

máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencinado

Teorema fundamenal del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas

"pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a

sus predecesores. En la figura de la izquierda podemos admirar una página de dicho libro, abierto por la

página donde Newton "destroza" la concoide de Nicómedes con su nuevo método de cálculo. Una

pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus

resultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus

contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de

fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor

también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más

riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar

una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.

Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo.

Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el

primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía

ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus

resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico

filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar -

eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde

empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y

hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos

científicos-. Durante una estancia en París -

ya que era un afamado diplomático- Leibniz conoce a Huygens quien le

induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de

Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los

de cuadraturas eran equivalentes.  Alejándose de estos problemas, a partir

de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría

de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su

cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las

mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los

mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y

es un singular género de cálculo para estos problemas". En este artículo de 6 páginas -e incomprensible

como el mismo luego reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin

ejemplos su cálculo diferencial -«un enigma más que una explicación» dijeron de él los hermanos

Bernoulli-. También el él Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que

la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente

oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686.

En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en en primero

introduce la notación "dx" para el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo

aunque por razones tipográficas en vez de la S alargada para la integral aparece una especie de f.

Como colofón a estas páginas y a nuestra Exposición virtual

dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha

conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. Las

suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores,

primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre

si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de

prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar

diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios

tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la

génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas

generadas por el movimiento continuo de un punto básandose su cálculo

diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una

curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente

en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales.

Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto

totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta

la aparición del Análisis no estándard de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó a

finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de

Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae-  además que en

Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de

Leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó

el Marquéz de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli y de cuya primera

edición podemos admirar una foto -nótese que no aparece el nombre de su autor por ningún sitio-.

La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar

en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis -que ya vimos antes- la correspondencia

cursada con Leibniz las Epistolas prior y posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados

sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton y

como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En una carta escrita a Sr.

Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos

teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilineas [...] Hace años yo presté un

manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas

copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibniz no se hizo esperar.

En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su

autor: Leibniz- en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos

deben ser concidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por

el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...]

Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de

este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus

varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de

L'Hospital. En vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre,

fluxiones» donde queda patente la alusión a Leibniz y sus discípulos y a Newton sin que esté claro si

éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las

Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Tras

la protesta de Leibniz la Royal Society nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de

Newton- que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz

-aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerra duró hasta principios del

siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana -que

hasta el momento habían ignorado-, con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la

matemática inglesa quedó aislada del resto de la del continente.

Para cerrar  nuestra exposición vamos a relatar, a

modo de ejemplo de la gran potencia del cálculo,

uno de los problemas que se resolvió gracias a la

nueva herramienta descubierta por Newton y

Leibniz: el problema de la braquistocrona. El

problema consistía en determinar la curva por la

que un cuerpo desciende en el menor tiempo

posible entre dos puntos que no estén en

posición vertical u horizontal. Este problema ya

interesó en su día a Galileo aunque éste fue

incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisaba del cálculo-. La historia es

como sigue. En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los

mejores matemáticos del mundo -este reto lo podemos ver en la foto a la izquierda de dicho artículo de

Bernoulli-. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis

meses pero a petición de Liebniz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e

italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de Leibniz,  una del mismo

Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus, del Marquéz de

L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién

era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que

sólo contenía 67 palabras? -la cual podemos admirar en la foto de la derecha-. Un vistazo a la solución

fue suficiente para que Juan Bernulli exclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como

«¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la

historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular

justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton

era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan Bernulli éste

conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso

años después, ya en plena polémica, Leibniz en una reseña a la solución del problema afirmaba el

problema no podía ser resuelto sin la ayuda de su recién inventado método que sólo aquellos que

habían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L'Hospital y

Newton. Este  juego de palabras de Leibniz donde se podía deducir que Newton era un discípulo de

suyo fue el otro gran detonante de la guerra que ya mencionamos antes de Duillier.

Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no "hacía

ciencia" sino que se trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton,

este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista

su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya

había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo

que refrescar la memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había

resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que

dió Augusto de Morgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo

y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho».

El curso esta conformado por cinco unidades.

Unidad I: Diferenciales

Unidad II: Integrales Indefinidas y Métodos de Integración

Unidad III: Integral Definida

Unidad IV: Aplicaciones de La Integral.

Unidad V: Sucesiones y Series

En atención a los propósitos del currículo, la Universidad Pedagógica Experimental Libertador

orienta su acción hacia la formación de profesionales de la docencia:

§ Generadores de acciones que propicien la innovación y el desarrollo educacional, capaces de

participar consciente y creativamente en la elaboración y ejecución de proyectos pedagógicos que

respondan a las necesidades de formación de la población en diferentes ámbitos y enfrenten la

realidad socio-histórica y cultural presente y futura.

§ Conscientes de la misión y compromiso socializador y cultural de la escuela, de la insurgencia

de nuevos escenarios educativos, pedagógicos y saberes, los cuales implican el desarrollo de

valores y prácticas diversas.

§ Identificados con el proyecto educativo de la Institución a la cual pertenecen y abiertos a la

apropiación de formas ohservacionales y críticas de la realidad como totalidad compleja, así como a

la incorporación de nuevos enfoques, tecnologías y posturas en el campo pedagógico.

§ Conscientes de las implicaciones éticas del proceso educacional, desarrollo bio-psico-social del

estudiante, de las dimensiones de los contenidos y los objetivos pedagógicos, que permitan el

desarrollo de estrategias de trabajo y modalidades de evaluación pertinentes a la situación educativa

en el aula y fuera de ella.

§ Preparados para interpretar y comprender los procesos de enseñanza y de aprendizaje y

reconstruir estilos formativos orientarlos hacia la articulación reflexiva del conocimiento universal

con las diversidades de nuestro contexto socio-histórico y cultural.

§ Con actitudes favorables y reflexivas en cuanto al compromiso nacional y responsabilidad hacia

el desarrollo ético, político y moral de la docencia, el arraigo, liderazgo, consistencia conceptual de

su ejercicio y la comprensión del hecho educativo en su multidimensional.

§ Con dominio de las metodologías didácticas que permitan incorporar en las relaciones del

hecho educativo, la investigación independiente, los seminarios y trabajos de campo, la simulación

de experiencias y los juegos de negociación, los proyectos en pequeños y grupos e individuales, la

autoadquisición de la información, las tutorías, los contratos de aprendizaje y otras estrategias

conducentes al acto de aprender con calidad.

§ Poseedores de actitudes positivas hacia la indagación permanente y la investigación educacional

conscientes de la necesidad de conjugar la labor educativa, la realidad del país y las necesidades

locales, regionales y nacionales del presente y del futuro.

§ Comprometidos a consolidar el concepto de nación a través de valores enraizados en la

identidad nacional.

§ Comprometidos con la construcción vivencial de su pensamiento para generar actividades

creativas que le permitan elaborar teoría a partir de su propia práctica sobre bases axiológicas,

epistemológicas y ontológicas derivadas de su quehacer educativo.

3. OBJETIVOS

Objetivo General:

Adquirir herramientas teóricas prácticas relacionadas con el cálculo integral de funciones reales de una

variable real, que le permita fortalecer su capacidad para razonar matemáticamente, aplicar conocimientos

y resolver problemas de esta y otras disciplinas.

Objetivos Específicos:

Unidad I: Diferenciales

Definir el concepto de Diferencial y su interpretación geométrica.

Aplicar teoremas típicos de diferencial en la solución de problemas.

Unidad II: Integrales Indefinidas y Métodos de Integración

Analizar el concepto de la función primitiva antiderivada, a partir de la cual desarrollará habilidades

para el cálculo de integrales indefinidas.

Establecer las diferentes propiedades de la integral indefinida.

Realizar ejercicios relacionados con la aplicación de las diferentes técnicas de integración; en la

resolución de problemas de las ciencias.

Unidad III: Integral Definida

Analizar el concepto de integral definida a partir de la cual desarrollará habilidades para el cálculo

de integrales definidas.

Identificar las diferentes propiedades de la integral definida.

Realizar ejercicios relacionados con la aplicación de los teoremas de existencia de integrales

definidas, teorema fundamental del cálculo, teorema del valor medio para integrales.

Unidad IV: Aplicaciones de La Integral.

Aplicar diferentes técnicas de integración en la solución de problemas de longitud, áreas y

volúmenes de figuras geométricas.

Aplicar el método de disco en el cálculo de volumen de figuras geométricas

Aplicar el cálculo de momento, centro de masa, en problemas de las ciencias.

Unidad V: Sucesiones y Series

Analizar los conceptos de sucesiones y series de números reales.

Calcular límites de sucesión y sumas de series de números, identificando correctamente las

definiciones y propiedades.

Analizar los conceptos de convergencia o divergencia de series de potencias.

Calcular la suma de series de números, utilizando los criterios cociente y de raíz.

Calcular la serie de Maclaurin y de Taylor de algunas funciones importantes como seno, coseno,

exponencial, logaritmo natural, entre otros.

4. CONTENIDOS

Unidad I: Diferenciales

Definición de diferencial.

Incrementos y diferenciales, su interpretación geométrica.

Teoremas típicos de diferenciales.

Cálculo de diferenciales.

Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

Unidad II: Integrales Indefinidas y Métodos de Integración

Definición de función primitiva.

Definición de integral indefinida.

Propiedades de la integral indefinida.

Cálculo de integrales indefinidas.

-Directas.

-Por cambio de variable.

-Por partes.

-Trigonométricas.

-Por sustitución trigonométrica.

-Por fracciones parciales.

Unidad III: Integral Definida

Definición integral definida.

Propiedades de la integral definida.

Teorema de la existencia para las integrales definidas.

Teorema fundamental del cálculo.

Cálculo de integrales definidas.

Teorema del valor medio para integrales.

Unidad IV: Aplicaciones de La Integral.

Longitud de curvas

Cálculo de áreas

Áreas entre curvas.

Cálculo de volúmenes

Volúmenes de sólidos de revolución

Cálculo de volúmenes por el método de los discos

Cálculo de momentos, centros de mesa y trabajo.

Unidad V: Sucesiones y Series

Definición de sucesión.

Series y convergencia.

Criterio de la integral.

Comparación de series.

Series alternadas y alternantes.

Criterio del cociente t de la raíz.

Series de potencias y representación de funciones.

Series de Taylor y Maclaurin.

5.- ESTRATEGIAS SUGERIDAS

Aprendizaje grupal e individual.

Demostraciones

Trabajo colaborativo

Sensibilización y contacto con la realidad

Solución de Problemas como estrategia para las transferencias u aplicaciones del conocimiento,

así como para el desarrollo de habilidades de investigación.

Adquisición de valores para el desarrollo personal y la competencia profesional.

Enriquecimiento de experiencias, a través del uso y diseño de actividades con apoyo

informático.

6.- MEDIOS Y RECURSOS

Medios:

Textos recomendados

Rotafolio

Video Beam y pantalla

Pizarra

Computador

Recursos:

§ Talleres individuales y grupales

§ Materiales instruccionales del área

§ Internet

7. EVALUACIÓN

El Plan de Administración, conjuntamente con el Plan de Evaluación es producto de una

concertación estudiantes – facilitador realizada en el primer encuentro, los acuerdos deben quedar por

escrito y remitidos a la coordinación.

En la administración curricular del curso se debe tener presente lo siguiente:

§ El número de horas presenciales y a distancia, tal como se refleja en la portada de este

programa.

§ El plan de administración debe diseñarse de manera que los objetivos y contenidos, puedan ser

distribuidos con coherencia, es recomendable que se establezcan las semanas, objetivos,

contenidos, las actividades, los recursos, las asignaciones, para los eventos presenciales y a

distancia.

§ Las actividades presenciales están demarcadas en los datos de identificación y se utilizaran en

actividades de tutoría, discusión confrontación de grupos y todas deben ser de carácter

evaluativo.

§ Las actividades a distancia tendrán carácter individual o por grupo y se refiere al estudio

independiente que debe realizar el estudiante sobre los temas asignados, sobre los cuales debe

obtenerse una evidencia, la cual debe ser presentada.

§ Se debe prever en el Plan las actividades de inicio (presentación de curso, discusión del plan de

administración y de evaluación), y las actividades de cierre (consolidación de curso, discusión y

entrega de calificaciones).

El Plan de Evaluación del Curso, el cual refleja las estrategias de evaluación con su respectiva

ponderación. El mismo debe ser objeto de discusión en la primera tutoría, la cual debe estar

caracterizada por un proceso de comunicación, transparente basado en la negociación, sin desmedro del

nivel de exigencia establecido. El Plan de Evaluación es susceptible de modificación siempre que los

cambios introducidos guarden relación con lo establecido en el Plan de Administración.

Para cada curso se prevé la realización de una evaluación diagnóstica, de carácter obligatorio, que

tendrá como objeto orientar al tutor en relación con el nivel de conocimientos previos que el grupo

posee sobre la materia a desarrollar, la misma puede consistir en la aplicación de un pre-test o en la

realización de una entrevista participativa y debe realizarse en la primera tutoría presencial o a

distancia antes de iniciar la administración del curso.

Es oportuno resaltar la importancia que tiene el tutor en la instauración y consolidación de una cultura

de evaluación, que incorpore la autoevaluación, coevaluación y la evaluación multidireccional, pues de

esta forma se aspira no sólo garantizar la mayor efectividad del proceso, sino brindar a los estudiantes

la oportunidad de modelar su desarrollo como evaluadores del aprendizaje.

Lineamientos generales a considerar para el proceso evaluativo de Cursos, Fases y Actividades

de Extensión Acreditables

§ Debe considerar la modalidad de estudios: mixta o a distancia.

§ Todos los cursos, fases y actividades de extensión acreditables, deben regirse por el

Reglamento y la Normativa de Evaluación Estudiantil de la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador.

§ Para cada uno de los cursos, fases y actividades de extensión acreditable se utilizará la

evaluación diagnóstica, formativa y sumativa.

§ Para cada uno de los cursos, fases y actividades de extensión acreditable debe

realizarse la autoevaluación y coevaluación; las mismas no deben excederse del 5%, según lo

establecido en el artículo Nº 2 literal 2 de la Normativa del Reglamento de Evaluación Estudiantil.

§ El Tutor debe seleccionar las estrategias de evaluación de acuerdo a la naturaleza de

cada fase o actividad de Extensión.

§ La ponderación (%) está basada en un cien por ciento, en tal sentido, ninguna estrategia

debe excederse del 30%, según el artículo 6 Parágrafo Segundo del Reglamento de Evaluación

Estudiantil de la UPEL. Igualmente , debe adaptarse a los niveles de complejidad de cada actividad

planificada.

§ En las fases no esta permitido administrar evaluaciones remediales o de superación; de

acuerdo al Artículo Nº 5 numeral 6 de la Normativa del Reglamento de Evaluación. Estudiantil.

§ En ninguna de las fases el alumno podrá solicitar la Nota de Observación, ni

Evaluaciones Especiales de acuerdo al Artículo Nº 5, y numerales 7 y 8 de la Normativa del

Reglamento de Evaluación Estudiantil.

Para llevar a cabo, la evaluación de los diferentes cursos, fases y actividades de extensión

acreditables, la Unidad de Evaluación sugiere considerar los siguientes aspectos:

ACTIVIDAD: Se define como el conjunto de tareas propias de una persona, acciones, movimientos.

Se refiere a los trabajos, operaciones, gestiones, acciones, prácticas y otras, que realizan los estudiantes

en el proceso de aprendizaje y son objeto de valoración.

TÉCNICA: Significa “como hacer algo”, se refiere al conjunto de procedimientos usados por el

docente con la finalidad de obtener información acerca del comportamiento del estudiante en las áreas

cognoscitiva, afectiva y psicomotora.

INSTRUMENTO: Se refiere al “con qué”. Es la herramienta que contiene los criterios a considerar

en la acción evaluativa y registra la información aportada por el ente evaluado. Un instrumento es

valido cuando miden lo que se propone medir y confiable, cuando aplicado varias veces da resultados

similares. Igualmente, un instrumento permite recabar información relevante para el docente y/o el

estudiante.

CURSO TEORICO PRÁCTICO

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN SUGERIDAS

ACTIVIDAD

EVALUATIVA TECNICA INSTRUMENTOS

Pasantías

Taller

Estudio de casos

Proyectos

Plan de clases

Discusión Socializada

Foro

Seminario

Panel

Trabajo de Grado

Ensayo

Portafolio

Observación: Es la técnica mas utilizada por excelencia, y consiste en percibir, reconocer y notar hechos relacionados con la conducta y/o aspecto personal, cognoscitivo, afectivo y psicomotor..

Análisis Crítico: Es el estudio o examen detallado de algo en cada una de sus partes, para determinar su circunstancia.

Análisis de Contenido: Es un método que busca descubrir la significación de un mensaje ya sea esto un discurso, una historia de vida, un artículo, un texto, un documento; a través de la descripción objetiva y sistemática y cuali o cuantitativa.

Juicio de Expertos: Se le atribuye a una persona poseedora de un nivel académico con basto conocimiento y experiencia en aquello que pretende evaluar, con madurez, reflexión, tino, tacto y moderación.

Guía de observación

Escala de Estimación

Lista de cotejo

Cuestionario

Prueba teórico práctica

COMPONENTE PERSONAL Y SOCIAL

ESTRATEGIAS SUGERIDAS PARA LA COEVALUACION

ACTIVIDADES DE

EVALUACION TECNICA INSTRUMENTOS

Interacción Social Sociograma: Permite determinar las relaciones interpersonales, los vínculos de influencia y de preferencia que existen en el grupo.

Entrevista: Interrogatorio realizado grupal o individualmente por un experto, persona capacitada o especialista en una actividad o tema específico.

Registro de hechos significativos : Los estudiantes y/o el docente registran luchas o incidentes que se presentan en el estudio independiente o en el encuentro presencial.

Registros

Escala de Estimación

Cuestionario de preguntas abiertas.

Guía de entrevista

o PERSONAL

1. Reflexión Personal

§ Autoreportes : Fortalece el proceso reflexión personal y permite recolectar información personal y académica del estudiante.

§ Proyecto de vida: Consiste en realizar relatos nuevos sobre experiencias de aprendizaje personal, académica, profesional, Portafolio: consiste en registrar y valorar las evidencias que va desarrollar el estudiante.

§ Entrevista.

AUTOEVALUACIÓN

Registros

Escala de Estimación

Guía para evaluar el portafolio

Guía de estudiante

Matriz DOFA

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO

PLAN DE ADMINISTRACIÓN Y EVALUACIÓN

Denominación del Curso: __________________________________________ Código: __________ U.C.: _______ Lapso Académico: ______________ Grupo: ____

Carácter o Naturaleza del Curso: Teórico ( ) Práctico ( ) Teórico Práctico ( ) Horas Presenciales: ____

A Distancia _____ Total: ____ Fecha __________

Horas Objetivo o

Contenidos /

Unidad

Tipo de Evaluaci

Momento de Admón

Estrategias de EvaluaciónActividades Técnic

asInstrumentos

Pondn %

Product

oSem.

P AD D F S

Nombre y Apellido del Tutor:

C.I. Nº Firma Nombre y Apellido del Resp. Evaluación

C.I. Nº Firma

8. BIBLIOGRAFÍA

TEXTO GUÍA

LARSON Y HOSTLETER, Cálculo I, 8ª edición. McGraw Hill, México. 2006.

TEXTOS DE CONSULTA

THOMAS FINNEY. Cálculo de una y varias variables. Addison Wesley. Logman, México 1998

LEITHOLD LOUIS. Cálculo con geometría analítica. Editorial Harla, 5ª edición, 1987

ZILL DENNIS G, Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana. México,

D.F. 1987

SIMMONS GEORGE. Cálculo con geometría analítica. Editorial Mc Graw Hill, 2ª edición, 2002

STEWART JAMES, Precálculo. Thomson Learnig. Sexta edición.2006

CONSULTAS EN INTERNET

www.matematicas.net.

www.dudasmatematicas.con.ar.

www.awlonline.com/bittingercalculus.

www.mhhe.com/hoffmann.

http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Programas/Programa%20Matematicas%20V

%20(Calculo%20Integral).pdf ojojoojoojo

http://www.umng.edu.co/www/resources/programa_de_calculo_integral_2008-2.doc

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/INTEGRAL/

http://www.uam.es/departamentos/economicas/econcuan/PID.Matematicas_Derive/derive-5/derive-

6%20(integrales).pdf

Problemas Propuestos Cálculo Integral

http://www.monografias.com/trabajos55/problemas-propuestos/problemas-propuestos.shtml

métodos de integración

http://www.aulafacil.com/matematicas-integrales/curso/Temario.htm

http://www.ingenieria.unam.mx/~posgradoingcivil/DocsMatemat/Tema_4_CalculoIntegral.pdf