Area Académica: Licenciatura en Sistemas Computacionales

Asignatura: Álgebra Lineal

Profesor: I.E.C. Roxana Sifuentes Carrillo

Periodo: Julio-Diciembre 2011

Tema: Determinants

Abstract

•A determinant is mathematical notation consists

of a square table of numbers, or others

elements between two vertical lines, the

expression value is calculated by following

certain rules development..

Keywords: Determinant

Tema: Determinantes

Resumen

Una determinante es una Notación matemática

formada por una tabla cuadrada de números, u

otros elementos, entre dos líneas verticales; el

valor de la expresión se calcula mediante su

desarrollo siguiendo ciertas reglas.

Palabras claves: Determinante

Desarrollo del tema

Los determinantes fueron originalmente

investigados por el matemático japonés Seki Kowa

alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y

matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz

alrededor de 1693.

Una matriz es un arreglo rectangular de números.

Si la matriz es cuadrada se le puede asignar un

número, al que se llama DETERMINANTE.

•Una determinante es cuadrada cuando

tienen el mismo número de filas que de

columnas.

•La expresión es una determinante.

•Las columnas de una determinante están

constituidas por las cantidades que están en

una misma línea vertical. En la expresión

anterior es la primer columna y la

segunda columna.

a b

c d

a

c

b

d

•Las filas de una determinante están

constituidas por las cantidades que están en

una misma línea horizontal. En la expresión

anterior es la primer fila y la

segunda fila.

•El orden de una determinante cuadrada es el

número de elementos de cada fila o columna.

a b c d

DETERMINANTES DE ORDEN 1

• Un determinante de orden uno puede ser tratado

como un escalar, pero aquí la consideraremos

una matriz cuadrada de orden uno:

• A= (a11)

• El valor del determinante es igual al único

termino de la matriz:

Det A = det (a11 ) = | a11 | = a11

• Ejemplos:

• Det (-5) = | -5 | = -5

• Det (29) = |29 | = 29

• Det (x+2) = | x+2 | = x+2

• Det (y-8) = | y-8 | = y-8

• Det (9z) = | 9z | = 9z

DETERMINANTES DE ORDEN 2

• Una determinante de orden dos, está formado por 2

elementos en cada fila y 2 elementos en cada columna.

• En la determinante la línea que une a con b es

la diagonal principal y la línea que une a c con d es la

diagonal secundaria.

• Los elementos de esta determinante son los productos

ab y cd , a cuya diferencia equivale esta determinante.

a b

c d

DESARROLLO DE UNA DETERMINANTE DE ORDEN 2

• Una determinante de segundo orden, equivale al

producto de los términos que pertenecen a la diagonal

principal, menos el producto de los términos que

pertenecen a la diagonal secundaria.

• Ejemplos:

• = ab-mn a n

m b

= ab-(-mn)= ab+mn a -n

m b

3 2

5 4

4 -5

-1 -2

-5 6

-3 4

= ((3)(4))-((5)(2))= 12-10 = 2

= ((4)(-2))-((-1)(-5))= -8-5 = -13

= ((-5)(4))-((-3)(6))= -20+18 = -2

SOLUCIÓN POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA

DE 2 ECUACIONES Y 2 INCÓGNITAS

• Sea el sistema:

2

1

2

1

22

11

cybxa

cybxa

• Resolviendo este sistema por el método general, se tiene:

3221

221

1

1

baba

bcbcx

4

221

221

1

1

baba

cacay

• Véase que ambas fracciones tienen el mismo

denominador a1b2-a2b1 y esta expresión es el desarrollo

del determinante: a1 b1

a2 b2

(5)

• Formada con los coeficientes de las incógnitas en las

ecuaciones (1) y (2). Este es el determinante del sistema.

• El numerador de x, c1b2-c2b1 es el desarrollo del

determinante.

C1 b1

C2 b2

Que se obtiene del determinante del sistema (5) con sólo

sustituir en él la columna de los coeficientes de x por

la columna de los términos independientes de las

ecuaciones (1) y (2).

a1

a2 c1

c2

• El numerador de y, a1c2-a2c1 es el desarrollo del

determinante.

a1 c1

a2 c2

Que se obtiene del determinante del sistema (5) con sólo

sustituir en él la columna de los coeficientes de y por la

columna de los términos independientes de las ecuaciones

dadas.

b1

b2 c1

c2

• Por tanto, los valores de x y y, igualdades (3) y (4), pueden

escribirse.

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

• Visto lo anterior, podemos decir que para resolver un

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por

determinantes:

• 1) El valor de x es una fracción cuyo denominador es el

determinante formado con los coeficientes de x y y

(determinante del sistema) y cuyo denominador es el

determinante que se obtiene sustituyendo en el

determinante la columna de los coeficientes de x por la

columna de los términos independientes de las ecuaciones

dadas.

• 2) El valor de y es una fracción cuyo denominador es el

determinante del sistema y cuyo numerador es el

determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante

del sistema la columna de los coeficientes de y por la

columna de los términos independientes de las ecuaciones

dadas.

• Ejemplo: Resolver por determinantes el siguiente sistema

de ecuaciones.

2774

535

yx

yx

21235

8135

74

35

727

35

x

51235

20135

74

35

274

55

y

5

2

y

x

• Ejemplo: Resolver por determinantes el siguiente sistema

de ecuaciones.

296024

1289

yx

yx

3

2

192540

232720

6024

89

6029

812

x

4

3

192540

288261

6024

89

2924

129

y

4

3

3

2

y

x

Ejemplo: Resolver por determinantes el siguiente sistema de

ecuaciones.

3

8

6

9

3

4

7

2

5

1

yx

yx

4107

517

12

57

11

517

x 9107

347

12

57

12

177

y9

4

y

x

Quitando denominadores

16982

10577

yx

yx

Reduciendo

12

1757

yx

yx

BIBLIOGRAFIA

• BALDOR, Aurelio, “Ecuaciones Simultaneas

de primer grado con dos incógnitas” en

Algebra, 2ª reimpresión, ed. Grupo Patria,

México, 2009 pp. 319-337.