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Fundamentos de Mecánica deFluidos

Juan Luis González-Santander Gloria Castellano Estornell

Fundamentos de mecánica de fluidos

© Juan Luis González-Santander© Gloria Castellano Estornell

ISBN: 978-84-15941-79-8Depósito legal: A 25-2014

Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, n.º 4 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma Telf.: 96 567 19 87C/ Cottolengo, n.º 25 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede repro-ducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, inclu-yendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de informa-ción o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright

Índice general

Prefacio IX

Introducción XIII

1. Conceptos fundamentales 11.1. Definición de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Densidad de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Factores de la densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. La hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Estática de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1. La presión hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2. Barómetros y manómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Viscosidad de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.1. Esfuerzo y deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2. Ley de Newton de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.3. Dependencia de la temperatura y la presión . . . . . . . . 30

1.6. Tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.1. Concepto de tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.2. Coeficiente de tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . 351.6.3. Dependencia de otras magnitudes . . . . . . . . . . . . . . 411.6.4. Gotas de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.5. Tensión superficial en un capilar . . . . . . . . . . . . . . 431.6.6. Ley de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.7. Dinámica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7.1. Descripción del movimiento de un fluido . . . . . . . . . . 471.7.2. Clasificación de los flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.7.3. Fuerzas de fricción en los fluidos . . . . . . . . . . . . . . 52

1.8. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2. Análisis Dimensional 672.1. Magnitudes físicas: unidades y dimensiones . . . . . . . . . . . . 67

2.1.1. Base dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2. Principio geométrico de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

iii

iv ÍNDICE GENERAL

2.3. Las leyes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.1. Sistemas de unidades coherentes . . . . . . . . . . . . . . 742.3.2. Invariancia de las leyes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.3. Homogeneidad de las leyes físicas . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4. Teorema Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5. Teoría de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3. Régimen turbulento 953.1. Concepto de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.1.1. Viscosidad de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2. Flujo turbulento sobre una placa plana . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2.1. Perfil de velocidades dentro de la capa límite . . . . . . . 1013.2.2. Perfil de velocidades fuera de la capa límite . . . . . . . . 1023.2.3. Perfil de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3. Flujo turbulento en una tubería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.1. Coeficiente de resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3.2. Régimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4. Fundamentos de Diferenciación 1194.1. Concepto de campo escalar y vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1.1. Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1.2. Campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.1.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.2.1. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2.2. Equilibrio hidrostático dinámico . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3. Nociones de Cálculo en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . 1354.3.1. Aproximación de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.3.2. Concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3.4. Derivadas parciales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.4. Campo de velocidades en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.4.1. Líneas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.4.2. La derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.5. Operadores diferenciales vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.5.1. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.5.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.5.3. Operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.6. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.6.1. Curvaturas principales en una superficie . . . . . . . . . . 167

4.7. Ley de Young-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.1. Ley de Young-Laplace para una superficie esférica . . . . 1684.7.2. Ley general de Young-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.8. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

ÍNDICE GENERAL v

5. Fundamentos de Integración 1835.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.1.1. Concepto de integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.1.2. Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.1.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . 190

5.2. Integración sobre regiones más generales . . . . . . . . . . . . . . 1975.2.1. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . 1995.2.2. Fuerza hidrostática sobre superficies circulares . . . . . . 203

5.3. Estabilidad de cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.3.1. Estabilidad y altura metacéntrica . . . . . . . . . . . . . . 2105.3.2. Cálculo de la altura metacéntrica . . . . . . . . . . . . . . 211

5.4. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4.1. Integrales triples sobre regiones más generales . . . . . . . 2165.4.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.4.3. Centro de empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.5. Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.5.1. Fuerzas debidas a la tensión superficial . . . . . . . . . . . 234

5.6. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.6.1. Integrales de superficie de campos escalares . . . . . . . . 2375.6.2. Películas jabonosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.6.3. Integrales de superficie de campos vectoriales . . . . . . . 2455.6.4. Fuerza hidrostática sobre superficies alabeadas . . . . . . 249

5.7. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6. Teoremas integrales 2616.1. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.1.1. Curvas orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.1.2. Enunciado del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.1.3. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656.1.4. Función corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

6.2. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

6.3.1. Fuentes y sumideros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7. Fluidos ideales 2877.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.2. Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

7.2.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2947.2.2. Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

7.3. Flujos de densidad constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2987.4. Flujos adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7.4.1. Conservación de la circulación . . . . . . . . . . . . . . . . 3057.4.2. El fenómeno de la separación . . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.5. Flujos estacionarios e irrotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3097.6. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

vi ÍNDICE GENERAL

7.7. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8. Fluidos viscosos 3318.1. El tensor de esfuerzo viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8.1.1. Fuerza de rozamiento en fluidos viscosos . . . . . . . . . . 3338.2. Ecuación de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

8.2.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3368.2.2. Términos no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3398.2.3. Presión modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3408.2.4. Fuerza de arrastre y sustentación . . . . . . . . . . . . . . 344

8.3. Ley de Newton de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3478.3.1. Energía disipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

8.4. Ley de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3608.4.1. Tubería circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3628.4.2. Medida de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3678.4.3. Ascenso de un líquido por un capilar . . . . . . . . . . . . 369

8.5. Movimiento oscilatorio de un fluido viscoso . . . . . . . . . . . . 3728.5.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3748.5.2. Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3748.5.3. Estado cuasi-estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3758.5.4. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.6. Capa de Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3838.6.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3838.6.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3848.6.3. Campo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

8.7. Ley de la semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3918.7.1. Número de Reynolds grande . . . . . . . . . . . . . . . . . 3948.7.2. Número de Reynolds pequeño . . . . . . . . . . . . . . . . 394

8.8. Ley de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3958.8.1. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3998.8.2. Función corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4038.8.3. Campo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4048.8.4. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4068.8.5. Fuerza de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

8.9. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

9. Capa límite 4279.1. Paradoja de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

9.1.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4299.1.2. Presión modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4309.1.3. Fuerza de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

9.2. Teoría de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4349.2.1. Análisis de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4359.2.2. Ecuaciones de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4389.2.3. Adimensionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

9.3. Ecuación de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

ÍNDICE GENERAL VII

9.3.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4429.3.2. Resolución de la ecuación de Blasius . . . . . . . . . . . . 4439.3.3. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4489.3.4. Espesor desplazado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

9.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

A. Funciones trigonométricas 461A.1. Derivadas de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 461A.2. Forma exponencial de las funciones trigonométricas . . . . . . . . 463

B. Funciones hiperbólicas 465B.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 465B.2. Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

C. Funciones especiales 469C.1. La integral exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

C.1.1. Desarrollo asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469C.2. La función W de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

C.2.1. La fórmula de inversión de Lagrange . . . . . . . . . . . . 471C.2.2. Desarrollo asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

D. Ecuaciones algebraicas 473D.1. Resolución de la ecuación cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

D.1.1. Solución en términos de funciones elementales . . . . . . . 475D.2. Ecuación de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

E. Operadores en coordenadas cilíndricas 479E.1. Las coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479E.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481E.3. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482E.4. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483E.5. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

E.5.1. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . 484E.5.2. Laplaciano de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 485

E.6. Operador³·´

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

E.7. Tensor de esfuerzo viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

F. Producto de Cauchy 491

G. Aceleración de Coriolis 493G.1. Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493G.2. Movimiento relativo de rotación uniforme . . . . . . . . . . . . . 495

H. Cálculo de variaciones 499H.1. Ecuación de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499H.2. Identidad de Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

Prefacio

El principal objetivo del presente libro es contribuir a ser un texto de refe-rencia para un curso universitario de grado de una ingeniería o de una titulacióncientífica. Para explicar la filosofía que ha inspirado la elaboración del presentetexto, hay que partir de la doble problemática a la que los profesores universi-tarios nos enfrentamos actualmente en nuestra labor docente. Por un lado, losalumnos que ingresan a la universidad desde el bachillerato disponen de unaescasa formación científica y matemática. Por otro lado, la reciente reformauniversitaria de los planes de estudio para adaptarse al Espacio de EducaciónEuropeo del Plan Bolonia incita a una acentuación de los contenidos prácticosy aplicados. Estos dos nuevos retos hacen que los actuales textos universita-rios se hayan quedado obsoletos pedagógicamente, por lo que la necesidad desu adaptación se hace imprescindible. En el caso de la Mecánica de Fluidos, losmanuales presuponen unos conocimientos de Matemáticas que han desaparecidode los planes de estudio de los niveles de grado. Sin este lenguaje matemático,la resolución de las aplicaciones ha de explicarse a un nivel muy superficial, conel consiguiente deterioro en el desarrollo de la capacidad crítica, argumental yoperacional de los alumnos.La fundamentación básica que pretende este libro es lo que ha motivado el

título de Fundamentos de Mecánica de Fluidos. De esta manera, se introducen,en primer lugar, los contenidos matemáticos básicos de un curso de AnálisisMatemático en varias variables, para luego presentar las ecuaciones fundamen-tales de la Mecánica de Fluidos. El lenguaje matemático no sólo permite for-mular de una forma elegante y concisa ecuaciones como la de Euler o la deNavier-Stokes, sino que también representa una herramienta ideal para la res-olución de muchos problemas aplicados relacionados con la Mecánica de Fluidos.De este modo, el esquema pedagógico que se repite a lo largo del presente tex-to es el siguiente: introducción de un concepto físico y/o matemático, ejemploque ilustre dicho concepto, ejercicio propuesto al alumno para que practique.Además, para que el alumno compruebe si ha asimilado los conceptos teóricosdesarrollados en cada capítulo, al final de cada uno de ellos se incluyen unaspreguntas tipo test de autoevaluación. Por otro lado, los ejemplos que ilustranlos conceptos matemáticos están pensados para que el alumno se familiarice conel lenguaje matemático introducido. Es más, la mayoría de los ejemplos queilustran los conceptos físicos dan cuenta de aplicaciones prácticas relacionadascon la ingeniería o las disciplinas científicas. La resolución de dichos ejemplos

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x PREFACIO

precisa de los conceptos matemáticos previamente introducidos. En muchos ca-sos, también se han escogido ejemplos que han tenido una relevancia históricaen el desarrollo de la Mecánica de Fluidos, de tal modo que dan pie a presentara los principales personajes que han contribuido a esta rama de la ciencia, comoArquímedes, Euler, Stokes o Prandtl.

A continuación, se comentan brevemente los contenidos fundamentales quese ofrecen en este texto. El primer capítulo constituye una introducción a losfluidos. En él se define qué es un fluido y cuáles son sus propiedades básicas: den-sidad, viscosidad y tensión superficial. También se presenta brevemente en quéconsiste la hipótesis del continuo, así como los principios básicos de la Estáticay la Dinámica de Fluidos.El segundo capítulo presenta los fundamentos del Análisis Dimensional y su

resultado principal, el teorema Pi de Buckingham. Este teorema permite esbozarlas bases de la teoría de modelos para el diseño a escala de prototipos, asícomo simplificar el estudio experimental de las leyes físicas que rigen fenómenoscomplejos de la Mecánica de Fluidos.En el tercer capítulo se aplicará ampliamente el Análisis Dimensional al

estudio del fenómeno de la turbulencia, tanto en una placa plana como en unatubería.El cuarto capítulo establece los principios básicos del Cálculo Diferencial en

varias variables. Este lenguaje matemático nos permitirá definir, por un lado, elconcepto de flujo de un fluido; y, por otro lado, operadores diferenciales vecto-riales tales como la divergencia, el rotacional y el gradiente, así como su inter-pretación física. Además, podremos definir el concepto de superficie paramétricay aplicarlo a la forma que adquiere la superficie de un fluido debido a la ley deYoung-Laplace.El quinto capítulo introduce el Cálculo Integral en varias variables. Con esta

extraordinaria herramienta matemática podremos abordar una gran diversidadde problemas aplicados a la Mecánica de Fluidos. Entre ellos destacaremos elcálculo de la fuerza hidrostática y su punto de aplicación sobre superficies planaso alabeadas, el criterio de estabilidad de cuerpos flotantes, la forma de las pelícu-las jabonosas y el caudal de un fluido a través de una superficie cualquiera.El sexto capítulo presenta los teoremas integrales de Stokes y de Gauss.

El teorema de Stokes permite comprender muy fácilmente en qué consisten loscampos conservativos, así como la introducción de la función corriente para elcálculo del caudal en ciertos casos. Los teoremas de Gauss y de Stokes permitenrespectivamente comprender cabalmente el significado físico del rotacional y ladivergencia.El séptimo capítulo introduce la Dinámica de Fluidos, explicando, en primer

lugar un resultado general para cualquier tipo de fluidos, la ecuación de con-tinuidad. A continuación, se deducen, a partir de los teoremas de Gauss y deStokes, las ecuaciones de Euler y de Bernoulli, que rigen el comportamiento delos fluidos ideales. La ecuación de Bernoulli permite explicar el fenómeno dela cavitación y el efecto Venturi, así como la resolución de muchos problemasaplicados. Cuando el flujo es adiabático, la ecuación de Euler permite también

xi

explicar el fenómeno de la separación en cuerpos que se desplazan en el seno deun fluido.El octavo capítulo está dedicado a la dinámica de los fluidos viscosos, intro-

duciendo el tensor de esfuerzos y la ecuación de Navier-Stokes. La resoluciónde la ecuación de Navier-Stokes es de una enorme complejidad, lo cual haceque en la actualidad se aborde fundamentalmente desde un punto de vista com-putacional. En este manual se presentan algunos casos clásicos que permitenuna solución analítica y que tienen, o bien una relevancia práctica, como la leyde Poiseuille o la ley de Stokes, o bien una cierta importancia en OceonagrafíaFísica, como la teoría de la capa de Ekman.En el noveno capítulo se describe la teoría de la capa límite de Prandtl a

partir de la paradoja de d’Alembert. Esta teoría se aplica a la resolución de laecuación de Blasius. Por último, se ofrece una definición precisa del espesor dela capa límite con el concepto de espesor desplazado.

Introducción

La Mecánica de Fluidos es la parte de la Física que se ocupa de la acciónde los fluidos en reposo o en movimiento. Actos tan cotidianos como el vuelode un pájaro, la natación, tomar una ducha, respirar o beber agua requierennecesariamente de la circulación de fluidos. El estudio de la Mecánica de Fluidospuede ayudarnos tanto a comprender la complejidad del medio natural como amejorar la eficacia de la técnica del mundo artificial.La Mecánica de Fluidos es una ciencia basada en la evidencia experimental,

y tiene en cuenta, al igual que cualquier ciencia moderna, la interacción entreel experimento y la teoría. La teoría matemática de los fluidos es, como todaslas teorías, un modelo idealizado de la realidad. Este texto pretende presen-tar el arte de la modelización matemática aplicada al comportamiento de losfluidos. El estudio de los modelos matemáticos de la Mecánica de Fluidos, in-cluidos en un gran número de problemas de diversas ciencias, atrae el interésde un creciente número de investigadores. Al mismo tiempo, el desarrollo de losmétodos de cálculo ha llevado a una más estrecha colaboración de matemáticos,físicos e ingenieros en el tratamiento propuesto por las nuevas tecnologías. Unode los aspectos más interesantes de la Mecánica de Fluidos es la gran cantidadde vertientes que tiene en distintas áreas de conocimiento, tanto matemáticascomo científicas o tecnológicas. A continuación se apuntan algunas de dichasvertientes.

Matemáticas: Resolución de ecuaciones diferenciales.Científicas- Meteorología y Climatología (Glaciología).- Oceanografía y Geofísica.- Astrofísica: dinámica estelar.- Biomedicina: interacción fluido-estructura en los distintos aparatos cir-

culatorios (cardiaco, pulmonar, renal...).Tecnológicas- Aeronáutica y Aeronáutica espacial en sus vertientes de aerodinámica

y combustión.- Hidrología terrestre y subterránea.- Industria petrolífera y siderúrgica: procesos industriales de altas tem-

peraturas (altos hornos).

xiii

xiv INTRODUCCIÓN

- Ciencias ambientales y ecología: problemas de contaminación y controlde recursos y residuos.- Industria automovilística: diseño y optimización de la resistencia aero-

dinámica.

Dado el carácter matemáticamente sofisticado de las aplicaciones, es de sumointerés que los estudiantes de ciencias aplicadas tengan a su alcance deduccionesy argumentos matemáticamente rigurosos, escritos en el lenguaje matemáticoactual.

Capítulo 1

Conceptos fundamentales

“La resistencia que se observa debida a la falta de lubricación en laspartes de un fluido es, siendo iguales las demás cosas, proporcionala la velocidad con la que se separan dichas partes una de otra” (I.Newton).

Aunque Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) introdujo algunas ideasbásicas de la estática de fluidos y Leonardo da Vinci (1452-1519) observó ydibujó esquemas de flujos complejos sobre objetos inmersos en corrientes, huboque esperar hasta Isaac Newton (1642-1727) para que empezara la descripcióncuantitativa a nivel físico y matemático de la Mecánica de Fluidos con el Libro IIde sus Principia Mathematica (1687). Durante el siguiente siglo a la publicaciónde los Principia se realizaron muchos esfuerzos en la formulación matemáticadel flujo de los fluidos con las contribuciones de Daniel Bernoulli (1700-1782),Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) y Leonhard Euler (1707-1783). Aplicandolos principos básicos de la conservación de masa y la segunda ley de Newton,Euler obtuvo un par de ecuaciones en derivadas parciales no lineales y acopladasque involucraban tanto la presión como el flujo del fluido. Aunque teóricamentelas ecuaciones de Euler son un gran logro intelectual, no tienen en cuenta elefecto de la viscosidad del fluido. Además, la solución analítica de las ecua-ciones de Euler es posible sólo en algunos pocos casos simples. Tuvo que pasarun siglo más para que los efectos de la viscosidad fueran modelizados matemáti-camente. El resultado fue un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales nolineales y acopladas aún más elaboradas, las ecuaciones de Navier-Stokes. Es-tas ecuaciones fueron obtenidas, en primer lugar, por Claude-Louis Navier en1822, a partir de su trabajo experimental sobre modelos. Posteriormente y demanera independiente, fueron deducidas matemáticamente desde primeros prin-cipios por George Stokes en 1845. La incapacidad de resolver las ecuaciones deNavier-Stokes para la mayoría de los problemas de Mecánica de Fluidos era par-ticularmente frustrante para aquellos investigadores interesados en calcular lasfuerzas de arrastre y sustentación debidas a la fricción que ejerce el flujo de unfluido sobre un objeto. Este hecho representaba una dificultad técnica severa a

1

2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

comienzos del siglo XX, sobre todo con la invención del primer aeroplano porparte de los hermanos Orville y Wilbur Wright. En contra de esta dificultad,Ludwig Prandtl, en 1904, introdujo el concepto de la capa límite. La teoría de lacapa límite no sólo daba una aproximación de las ecuaciones de Navier-Stokesconvirtiéndolas en ecuaciones mucho más sencillas de resolver, sino que ademáspermitía entender teóricamente la paradoja que d’Alembert planteara en el s.XVIII. La dificultad que plantea la resolución analítica de las ecuaciones deNavier-Stokes ha hecho que a lo largo del siglo XX se hayan desarrollado méto-dos de resolución numérica, surgiendo una nueva rama denominada Dinámicade Fluidos Computacional. Hasta finales de los años 60, los ordenadores no al-canzaron velocidades de cálculo suficientes como para resolver casos sencillos.Hasta entonces, las técnicas experimentales constituían la única herramienta deanálisis y diseño de cualquier problema realista de Mecánica de Fluidos. Hoydía existe una complementariedad entre los ensayos experimentales y las solu-ciones computacionales. Desde un punto de vista estrictamente matemático, lasecuaciones de Navier-Stokes siguen retando al ingenio humano, siendo la de-mostración de la existencia de soluciones regulares uno de los siete problemasmatemáticos del milenio al comienzo del s. XXI.

1.1. Definición de fluido

Un fluido es una sustancia (considerada como un medio continuo) que carecede forma propia, por lo que adopta la forma del recipiente que lo contiene. De es-ta manera, los diferentes elementos de un fluido homogéneo pueden reordenarselibremente sin afectar a las propiedades macroscópicas del fluido, es decir, hayun movimiento relativo entre los distintos elementos del fluido. Existen princi-palmente tres clases de fluidos:

Los líquidos (p. ej. el agua) son fluidos de muy baja compresibilidad.

Los gases (p. ej. el aire) son fluidos de una alta compresibilidad.

Los plasmas (p. ej. de la atmósfera solar) son fluidos en los que una deter-minada proporción de sus partículas está cargada eléctricamente, de talmanera que responden a la interacción electromagnética.

La diferencia entre fluidos y sólidos no es siempre nítida en la práctica,debido a que existen sustancias que se comportan ambivalentemente según lascircustancias. Por ejemplo, las sustancias tixotrópicas como la gelatina o lapintura se comportan como sólidos elásticos cuando se encuentran en un estadode reposo por un cierto tiempo, pero cuando se someten a una fuerte distorsiónpor agitación, pierden su elasticidad y se comportan como un fluido.El estado sólido interesa a la Mecánica de Fluidos en cuanto a que por

un medio poroso (como el suelo) pueden discurrir gases o líquidos. Interesantambién los procesos por los que se producen los fluidos, como la combustión.Sin embargo, a la Mecánica de Fluidos no le interesa la composición microscópica

1.2. DENSIDAD DE UN FLUIDO 3

de un fluido, sino más bien la descripción de su comportamiento macroscópicopor medio de variables como velocidad, presión, densidad, temperatura, etc.

1.2. Densidad de un fluidoLa densidad de una sustancia se define como la cantidad de masa por

unidad de volumen que ocupa ,

=

Las unidades en el S.I. son kgm 3. En los fluidos es muchas veces útildefinir la densidad relativa con respecto a la densidad del agua pura1 a 4 C

agua = 1000 kgm3,

=agua

Lógicamente, la densidad relativa es una magnitud que carece de unidades.Este tipo de magnitudes se denominan adimensionales.

1.2.1. Factores de la densidad

Si el fluido es una sustancia pura, la densidad puede variar con la temperatu-ra y la presión . La ecuación que relaciona las distintas variables del estadode un sistema se denomina ecuación de estado. Cuando las variables que definenun fluido son la densidad , la presión y la temperatura , la ecuación deestado se puede escribir como una cierta función de la presión y la temperatura( ) que define la densidad del sistema,

= ( )

En este texto consideraremos fundamentalmente fluidos de densidad con-stante. Si el fluido es un líquido en el que hay disueltos distintos solutos, ladensidad del fluido varía según la cantidad de soluto disuelto. Un ejemplo típicoes la salinidad del agua del mar, cuya densidad es mayor que la del agua dulce.Típicamente, el agua de mar es una mezcla de un 96 5% de agua pura y un3 5% de otros materiales, tales como sales, gases disueltos, sustancias orgánicasy partículas sin disolver.Según la figura 1.1, se puede observar que para cualquier valor constante

de la temperatura, a mayor salinidad, mayor densidad. También se observaque el valor máximo para el agua pura ocurre a 4 C. Esto quiere decir quecuando el agua pura se congela a 0 C su densidad es menor que a 4 C Estecomportamiento anómalo del agua es debido a que la estructura con la que elhielo cristaliza, realizando puentes de hidrógeno, ocupa un mayor volumen queel agua a 4 C. Por otro lado, también se puede apreciar que, a medida que lasalinidad aumenta, la temperatura de máxima densidad disminuye. La línea depuntos une las temperaturas de máxima densidad a distintas salinidades.

1Se toma como referencia la densidad del agua pura a 4 C porque a esta temperatura elagua pura alcanza el máximo de densidad.


Figura 1.1: Densidad del agua del mar en función de la salinidad y la tempera-tura. (Tablas de Knudsen).

Ejemplo 1 ¿Cómo varía la densidad de un gas ideal en función de la presióny la temperatura?

La ecuación de un gas ideal es

=

donde la constante de los gases ideales es = 8 314 Jmol 1K 1 y es elnúmero de moles.Si es la masa del gas y es la masa molecular de éste, tenemos que

=

Por tanto, la ecuación de los gases ideales queda

=

Teniendo en cuenta que la densidad se define como = , reordenandotérminos en la ecuación anterior, obtenemos

( ) = (1.1)

Lógicamente, la densidad es directamente proporcional a la presión e inver-samente proporcional a la temperatura. N

1.3. LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO 5

Figura 1.2: Diagrama de un gas ideal a distintas temperaturas.

Ejercicio 1 La ecuación de estado para los gases reales viene dada por³+

2

´( ) =

donde es el volumen molar y y son constantes que dependen de la naturalezadel gas. Determínese la densidad del 2 a presión atmosférica y 25 C, sabiendoque para este gas = 0 138Nm4mol 2 y = 3 18× 10 5m3mol 1 Solución:

1 309 kgm3

1.3. La hipótesis del continuoLas moléculas de un gas están separadas entre sí por distancias mucho mayo-

res que las dimensiones de las moléculas mismas. Incluso en un líquido, en el cuallas moléculas están estrechamente empaquetadas, la masa (que reside esencial-mente en los núcleos atómicos) dista mucho de estar distribuida uniformementeen el espacio. Sin embargo, en muchas aplicaciones de interés práctico, tan sólonos interesa el comportamiento de la materia en una escala macroscópica. Éstees el caso de la Mecánica de Fluidos, de tal manera que podemos ignorar en lapráctica la estructura molecular del fluido cuando describimos su movimiento.La hipótesis básica de la Mecánica de Fluidos consiste en suponer que, a

escala macroscópica, un fluido se comporta como si estuviera dotado de unaestructura perfectamente continua (o como si no tuviera estructura alguna). Portanto, magnitudes como la masa , la cantidad de movimiento y la energía


se consideran uniformemente distribuidas en cada elemento diferencial devolumen del fluido (en lugar de estar concentradas en una pequeña fracciónde éste, como realmente ocurre). En consecuencia, vamos a suponer que, encada punto del seno de un fluido y para cada instante , es posible definir unasfunciones continuas para la densidad ( ), la velocidad ( ), la aceleración( ), etc.Debe quedar claro que la hipótesis del continuo no implica que todo rastro

de la granulosidad de la materia desaparece de las ecuaciones macroscópicas delmovimiento. En estas ecuaciones quedan coeficientes (como la viscosidad) queno se pueden calcular o aproximar sin recurrir a modelos microscópicos. Peroel cálculo de estos coeficientes es misión de la Mecánica Estadística y no de laMecánica de Fluidos.

Ejemplo 2 Analícese la hipótesis del continuo para el caso de la densidad.

Consideremos una porción de fluido de forma cúbica de lado y masa . Si ellado del cubo es , el volumen de la porción de fluido será = 3. Obviamente,la masa estará en función del volumen de la porción del fluido considerado.Por tanto, la densidad vendrá dada en función del tamaño de la siguientemanera,

( ) =

¡3¢

3

Figura 1.3: Densidad de un fluido en función de la escala considerada.

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS 7

En la figura 1.3 se pueden distinguir claramente tres dominios diferentes,

Dominio 1: para valores muy pequeños de , del orden de la distanciaintermolecular , la granulosidad de la materia produce variaciones bruscasde ( ). Éste es el dominio microscópico.

Dominio 2: en un intervalo en que el valor de es pequeño en la escalamacroscópica, pero grande respecto a , ( ) se mantiene prácticamenteconstante e independiente de .

Dominio 3: cuando es muy grande, ( ) ya no se mantiene constante,debido a una posible distribución espacial no homogénea de la densidad.

El límite 1 2 entre los dos primeros dominios depende del estado de con-densación,

Gas ( y normales): 1 2 10 5 10 6 cm

Líquido o sólido: 1 2 10 7 cm

El límite 2 3 entre los dos últimos dominios (macroscópicos) depende delas particularidades del sistema sobre escalas grandes, que habitualmente suelenser mayores de 1 mm, excepto cerca de superficies especiales (por ejemplo,interfases líquido-gas), que se observan como discontinuidades macroscópicas.En consecuencia, podemos concluir que en el intervalo 1 2 2 3 (región2) tiene sentido definir una densidad del elemento del fluido, pues no dependeni de la forma ni de la dimensión del volumen de muestreo . Matemáticamente,la hipótesis del continuo para la densidad se escribe como

lım0

( )= =

aunque en la realidad, debido a la naturaleza atómica de la materia, tal límiteno existe. N

1.4. Estática de Fluidos

La Estática de Fluidos, históricamente denominada Hidrostática, es la partede la Mecánica de Fluidos que trata de los fluidos en reposo. Los resultadosdescritos en esta sección también se pueden aplicar a fluidos con un movimientouniforme con un cambio de coordenadas a un sistema inercial en reposo. Debidoa su simplicidad, la Estática de Fluidos ha sido la primera rama de la Mecánicade Fluidos que ha sido estudiada científicamente, y durante muchos siglos laúnica. A ella pertenece el resultado más importante de la Antigüedad clásica,el principio de Arquímedes.


1.4.1. La presión hidrostática

La presión se define como la magnitud de la fuerza normal por unidadde área que se ejerce sobre una determinada superficie (véase figura 1.4),

=

Figura 1.4: Definición de la presión.

La presión en un determinado punto de un fluido en reposo es igual en todaslas direcciones. Esto es así debido a que, si hubiera una diferente presión en unadirección que en otra, el fluido estaría en movimiento y no en reposo. Suponga-mos que tenemos un punto a una profundidad , cuya presión hidrostáticaqueremos calcular. Observando la figura 1.5 consideremos la columna de fluidoque se encuentra por encima del punto , de altura y volumen = . Elpeso de esta columna de fluido es = .Si la superficie se encuentra a una presión 0 y la diferencia de presión entre

el punto y la superficie es = 0, tenemos que

= = = (1.2)

Sustituyendo en (1.2) la densidad del fluido,

= =

resulta,= 0 = (1.3)

Observemos que la diferencia de presión hidrostática es directamente propor-cional a . La constante de proporcionalidad es y se denomina peso específicodel fluido. Como la presión hidrostática sólo depende de , eso quiere decir quees la misma en cualquier plano horizontal de la superficie del fluido. Esta ob-servación explica el fenómeno de los vasos comunicantes, como se aprecia en lafigura 1.6.


Figura 1.5: Presión hidrostática en un punto a una profundidad de la su-perficie del fluido.

Figura 1.6: Fenómeno de los vasos comunicantes.


La prensa hidráulica, inventada por J. Bramah en 1795, se basa en el mismoprincipio. Según la figura 1.7, como los puntos 1 y 2 se encuentran a la mismaaltura, tendrán la misma presión,

1 =1

1=

2

2= 2

Figura 1.7: Esquema de funcionamiento de una prensa hidráulica.

Despejando,

2 = 12

1

Si 2 1, entonces 2 1, con lo que podemos aumentar la fuerzaejercida.

1.4.2. Barómetros y manómetros

Un barómetro es un instrumento para medir la presión atmosférica atm .Según la ecuación de la presión hidrostática (1.3), la variación de presión entrelos puntos (1) y (2) de la figura 1.8 será

2 1 =

Si en el punto (2) hemos practicado el vacío, entonces 1 = 0, por tanto,

2 = atm =


Figura 1.8: Esquema de funcionamiento de un barómetro.

El líquido que se utiliza para fabricar barómetros suele ser mercurio, ,porque su presión de vapor es pequeña, con lo que preserva muy bien la condición1 0. La altura que alcanza la columna de a la presión atmosférica es de760mm. La equivalencia entre las distintas unidades de presión es

760mmHg = 1atm

=

= 13600 kgm 3 × 9 82ms 2 × 0 760m= 1 013× 105Nm 2

La unidad de 1 atm se corresponde con la presión media de la atmósfera alnivel del mar. La variación meteorológica hace variar esta presión media 5%.Por tanto, en unidades del Sistema Internacional (1Nm 2 = 1Pa), la presiónatmosférica es

atm = 1 013× 105Nm 2 (1.4)

Un manómetro es un instrumento que mide la diferencia de presión en-tre dos puntos dados. Si tenemos un recipiente con un gas, podemos medir ladiferencia de presión con respecto a la presión atmosférica. De este modo, deacuerdo con la figura 1.9, la presión manométrica vendrá dada por

= = 2 1 =

Ejemplo 3 En la figura 1.10 el líquido en y es agua y el líquido delmanómetro es aceite de densidad relativa 0 80 Si 1 = 0 25m 2 = 0 15m y3 = 0 50m determínese la diferencia de presión entre los puntos y


Figura 1.9: Esquema de funcionamiento de un manómetro.

Figura 1.10: Manómetro diferencial de aceite.


Tomando como nivel de referencia el punto , tenemos que

= 3 (1.5)

= 2 + 1 (1.6)

donde es la densidad del agua y la densidad del aceite. Restando lasecuaciones (1.5) y (1.6) obtenemos la diferencia de presión entre los puntos y,

= 3 2 1

= ( 3 1 2)

donde = es la densidad relativa del aceite. Sabiendo que la densidaddel agua es = 1000 kgm 3 y teniendo en cuenta los datos del enunciado,

1275 3Pa N

Ejercicio 2 En la figura 1.11 se presenta el esquema de un micromanómetro,utilizado para medir pequeñas diferencias de presión. El líquido más denso (dedensidad 1) llena la parte inferior del tubo en forma de (de sección 1)hasta el nivel 0. A continuación se añade el líquido menos denso (de densidad2) por ambas ramas de la llenándose los depósitos (cada uno de sección2) hasta el nivel 1 Si se introduce un líquido de densidad por ambas ramasde tal manera que el líquido en la parte inferior del manómetro experimentauna diferencia de nivel entre sus ramas, determínese la diferencia de presiónentre los puntos de entrada de ambas ramas del micromanómetro. Solución:

=h( 2 ) 1

2+ 1 2

iEjemplo 4 Hacia 1657, Otto von Guericke, inventor de la bomba de aire, hizoel vacío en una esfera hueca construida a partir de dos semiesferas de latón. Dosequipos de ocho caballos cada uno podían separar las semiesferas sólo en algunode los intentos y con “enorme dificultad”, resultando un sonido estruendosoparecido al que produce el disparo de un cañón. Calcúlese la fuerza necesariapara separar las semiesferas si el radio de éstas es de 30 cm.

Para determinar la fuerza que ejerce sobre cada una de las semiesferas ladiferencia de presión entre el interior y el exterior de éstas, vamos a dividirla superficie en anillos de área diferencial tal como presenta la figura 1.12.

= 2

La fuerza que ejerce la diferencia de presión sobre el anillo es

= = 2

Ahora bien, la fuerza que ejercen los caballos para separar ambas semiesferasestá sobre el eje , por tanto, sólo nos interesa la fuerza que realiza la presiónsobre dicho eje ,

= cos = 2 cos


Figura 1.11: Micromanómetro de líquidos inmiscibles.


Figura 1.12: Fuerza diferencial debida a la presión atmosférica sobre unelemento diferencial de superficie en forma de anillo sobre una semiesfera.


Notemos que a partir de la figura 1.12, = sin y = , por consigu-iente,

= 2 2 sin cos

= 2 sin 2

donde hemos utilizado la identidad trigonométrica sin 2 = 2 sin cos . Suman-do la contribución de todos los anillos que componen la semiesfera, tenemos lafuerza que la presión ejerce en la dirección , es decir,

=

Z

= 2

Z 2

0

sin 2

=1

22 [cos 2 ] 2

0

= 2

Si se ha practicado el vacío en el interior de la esfera, la diferencia de presiónserá aproximadamente 1 atm = 1 013 105Nm 2 Por tanto, la fuerzaque han de ejercer los caballos para separar las esferas es de

= 2 28642N N

1.4.3. Principio de Arquímedes

Consideremos en el interior de un fluido una porción de éste de masay volumen figura 1.13. El peso de dicha porción de fluido ha de estarcompensado con otra fuerza, que llamaremos empuje , pues dicha porción defluido no se mueve en el seno del fluido. Es decir, la aceleración de la porciónde fluido es nula, = 0 Por tanto, aplicando la segunda ley de Newton a laporción de fluido, tenemos

+ = = 0

es decir,= =

Llamando a la densidad del fluido,

= (1.7)

Observemos que el punto de aplicación de la fuerza de empuje estará en elcentro de masas de la porción de fluido.Si ahora sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma

forma y dimensiones que la porción de fluido de masa figura 1.14, el empuje


Figura 1.13: Equilibrio entre el peso y el empuje en una porción defluido.

que experimenta dicho cuerpo sigue siendo el calculado anteriormente (1.7). Sinembargo, lo que sí puede variar ahora es el peso del sólido,

= = (1.8)

pues su densidad no tiene por qué coincidir con la del fluido. Según (1.7) y(1.8), el balance de fuerzas ahora es

+ =¡ ¢

(1.9)

De acuerdo con (1.9), si la densidad del sólido es mayor que la densidad delfluido, , el cuerpo se hundirá y, si , el cuerpo flotará. Obsérveseque ahora, figura 1.14, el punto de aplicación del peso estará en el centro demasas del cuerpo sólido, que no tiene por qué coincidir con el punto de aplicacióndel empuje.

Principio de Arquímedes Todo cuerpo sumergido en un fluido en reposoexperimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del fluidodesalojado.

Ejemplo 5 Una máquina de hacer hielo hace piezas de la misma masa en formade bolitas y cubitos. Se sirve un refresco y se echan una bolita y un cubito dehielo. ¿Cuál de los dos alcanzará una mayor profundidad bajo la superficie?

Consideremos que es la densidad del refresco, 0 la densidad del hielo, 0

el volumen sumergido y el volumen total de la pieza de hielo. Como el hieloflota en el refresco, tenemos que por el principio de Arquímedes el empuje secontrarresta con el peso ,¯ ¯

= 0 = 0 0 =0= (1.10)


Figura 1.14: Sustitución de la porción de fluido por un cuerpo sólido de lasmismas dimensiones.

donde es la densidad relativa del hielo con respecto al refresco. En el caso deun cubito de lado , el volumen total del cubito y su volumen sumergido 0

son

= 3 (1.11)0 = 2 (1.12)

donde, según la figura 1.15, es la profundidad que alcanza el cubito bajo lasuperficie. Aplicado (1.10) a las ecuaciones (1.11) y (1.12),

0 = = (1.13)

Para determinar el volumen de la parte sumergida de una bolita de hielo deradio , hemos de calcular el volumen de un casquete esférico de altura , taly como aparece en la figura 1.16. Para ello, podemos dividir la esfera en discosde espesor diferencial y radio cuyo volumen es

= 2

Observando la figura 1.16 podemos darnos cuenta de que 2 = 2 + 2, portanto, el volumen de un casquete esférico de altura será

( ) =

Z2

=

Z ¡2 2

¢=

£2 3 3

¤


Figura 1.15: Esquema de un cubito de hielo flotando en un líquido.

Operando obtenemos

( ) =1

32 (3 ) (1.14)

Observemos que, cuando = 2 , obtenemos el volumen de la esfera,

=4

33 (1.15)

Observando la figura 1.17, a partir de (1.14) y (1.15) podemos concluir queel volumen total y sumergido de una bolita de hielo flotante es

=4

33

0 =1

32 (3 )

donde es la profundidad que alcanza la esfera bajo la superficie. Aplicandode nuevo (1.10) a las ecuaciones (1.11) y (1.12), resulta

0 = 3 3 2 + 4 3 = 0 (1.16)

Ahora bien, como la masa de ambas piezas de hielo es la misma, = ,su volumen también será igual, pues las piezas tienen la misma densidad, estoes, la densidad del hielo 0,

= 0 = 0 3 =4

33 = (1.17)


Figura 1.16: Cálculo de un casquete esférico a partir de la integración de discosde espesor diferencial

Figura 1.17: Esquema de una bolita de hielo flotando en un líquido.


donde por simplicidad hemos definido la constante,

=3

r4

31 612 (1.18)

De las ecuaciones (1.13) y (1.17), obtenemos

= =1

(1.19)

Dividiendo la ecuación (1.16) entre 3 y definiendo la proporción entre lasprofundidades que alcanzan las piezas, como

= (1.20)

resulta la ecuación3 3 2 + 4

μ ¶3= 0

que según (1.19) se puede escribir como

3 3 2

+42 3

= 0

o bien, teniendo en cuenta (1.18), como,

2 3+

32= 0 (1.21)

Despejando de (1.21) obtenemos

=1

2

"3 ±

r92

12#

Observemos que, para que sea un número real, el discriminante ha de sermayor que cero,

92

120

4 2

31 214 1 (1.22)

Por tanto, teniendo en cuenta la definición de dada en (1.20), resulta que(1.22) indica que

Es decir, la bolita de hielo alcanzará una mayor profundidad. Señalemos porúltimo que la solución 0 en (1.22) no tiene sentido pues 0 N

Ejercicio 3 Una burbuja de aire caliente (30 C) sube rodeada de aire frío(10 C). Si despreciamos la resistencia del aire, ¿cuál es la aceleración ascen-dente de la burbuja? Solución: 0 69ms 2.


Ejemplo 6 Según el arquitecto romano del s. I a. C. Marco Vitrubio, el rey deSiracusa, Hierón II, dio a un orfebre una cierta cantidad de oro para fabricaruna corona triunfal. Cuando el orfebre entregó la corona al rey, éste no estabamuy seguro de si la corona estaba hecha con todo el oro que le había entregado, osi el orfebre se había quedado con parte del oro, sustituyendo éste por plata. Asíque el rey ordenó a Arquímedes determinar si la corona estaba adulterada, perocon la condición de no dañar la corona. Galileo (1564-1642) pensó que el métodoque utilizó Arquímedes fue el siguiente. En primer lugar, Arquímedes comprobóque la balanza estaba equilibrada al poner en uno de sus platillos la corona y enel otro la misma cantidad de oro que el rey entregó al orfebre. De este modo,dedujo que si la corona estaba adulterada, la masa de oro robada debería coincidircon la masa de plata de la corona. A continuación, introdujo la balanza en elagua y ésta se desequilibró haciendo subir la corona. Utilizando el principio quelleva su nombre, Arquímedes dedujo que la corona tenía menor densidad queel oro, es decir, estaba adulterada con algún metal de menor densidad que eloro, como es el caso de la plata. Si además de utilizar plata, el orfebre hubierautilizado también platino, ¿qué cantidades de estos metales debió utilizar parano ser descubierto por Arquímedes y poderse quedar con una quinta parte del orodel rey? Datos: masa de oro del rey, 200 g; densidad de la plata, 10 500 kgm 3;densidad del oro, 19 320 kgm 3; densidad del platino, 22420 kgm 3.

Sea la cantidad de oro del rey, que según la primera parte de la pruebade Arquímedes ha de coincidir con la masa de la corona. Si Au, Ag y Pt

son las masas de oro, plata y platino que tiene la corona, se ha de cumplir que,

= Au + Ag + Pt (1.23)

Una parte de la masa de oro entregada por el rey coincide con la masa deoro de la corona Au, por tanto,

Au = (1.24)

donde según el enunciado = 4 5. Sustituyendo (1.24) en (1.23), tenemos que

(1 ) = Ag + Pt (1.25)

Obsérvese que (1 ) es precisamente la masa de oro robada por el or-febre. Análogamente, si es el volumen de la corona y Au, Ag y Pt son losvolúmenes de oro, plata y platino que tiene la corona, tenemos que

(1 ) = Ag + Pt (1.26)

Para superar la segunda parte de la prueba de Arquímedes, la densidad dela corona ha de coincidir con la densidad del oro. Si Au es la densidad del oro,tenemos que

Au = (1.27)

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO 23

Por tanto, teniendo en cuenta (1.27) en (1.26) y denominando Ag y Pt alas densidades de la plata y el platino, respectivamente, resulta que

(1 )Au

=Ag

Ag

+Pt

Pt

(1.28)

Las ecuaciones (1.25) y (1.28) constituyen un sistema de ecuaciones linealespara las incógnitas Ag y Pt. Despejando, tenemos que

Pt = (1 )Pt

¡Ag Au

¢Au

¡Ag Pt

¢ 34 35 g (1.29)

y despejando de (1.25), teniendo en cuenta (1.29), resulta que

Ag = (1 ) Pt 5 65 g N

Ejercicio 4 Se tiene un cuerpo en forma de prisma cuya base cuadrada tiene1m de lado y al que se le ha practicado un vaciado coaxial de 40 cm de radio.Si el cuerpo flota en equilibrio, teniendo una de las caras laterales paralelas alagua y alcanzando una profundidad de 30 cm, ¿cuál será su densidad relativa?Solución: 0 4056

1.5. Viscosidad de un fluidoEtimológicamente la palabra viscosidad se deriva del término latino viscum,

que significa muérdago. El origen de la palabra viscosidad proviene de que, enla Antigüedad, a partir de bayas de muérdago, se preparaba una cola pegajosaque se utilizaba para atrapar aves, encolando las ramas de los árboles.

1.5.1. Esfuerzo y deformación

Si una fuerza produce un cierto alargamiento en una cierta sustanciasólida (por ejemplo, una cinta de caucho) de sección transversal (véase figura1.18), se necesita el doble de fuerza, 2 , para producir la misma deformación

en la misma sustancia, pero cuya sección transversal sea el doble 2 . Asípues, las deformaciones en los materiales se determinan por la fuerza por unidadde área y no por la fuerza total. Resulta entonces útil definir la magnitud es-fuerzo como el cociente entre la fuerza aplicada sobre el material y el áreatransversal de éste, ,

=

Cuando tenemos esfuerzos de tracción, el cambio de longitud del cuerpoen la dirección del esfuerzo es proporcional a la longitud del cuerpo . Convieneentonces definir la deformación como la variación relativa de la longitud,

=


Figura 1.18: Esfuerzo de tracción y de cizalla (o cortante) sobre un materialsólido.

Para pequeños valores del esfuerzo aplicado, la deformación es proporcionalal módulo del esfuerzo | |. La constante de proporcionalidad se denominamódulode Young ,

| | =Sin embargo, cuando tenemos esfuerzos cortantes o de cizalladura (véase

figura 1.18),

=k (1.30)

la deformación se cuantifica con el ángulo , donde es ahora el área tangencialdonde se aplica esfuerzo. Para esfuerzos pequeños, la deformación angulares también proporcional al módulo del esfuerzo aplicado | |. La constante deproporcionalidad se denomina módulo de cizalladura ,

| | = (1.31)

1.5.2. Ley de Newton de la viscosidad

A diferencia de los materiales sólidos, los fluidos son sustancias que se defor-man continuamente al aplicarles un esfuerzo cortante. Por tanto, para cuantificarsu deformación al aplicarle dicho esfuerzo, resulta que éste es proporcional no yaa la deformación angular (1.31), sino al ritmo de variación de la deformación


angular . La constante de proporcionalidad es precisamente la viscosidaddinámica del fluido,

= (1.32)

Figura 1.19: Régimen laminar en un fluido viscoso.

Cuando el esfuerzo cortante no es muy grande, podemos considerar el fluidocomo distintas capas que deslizan unas sobre otras, lo que se denomina régimenlaminar (véase figura 1.19). Estas láminas de fluido tienen un rozamiento entreellas debido a la viscosidad del fluido. Observemos que la velocidad de cadauna de las capas es mayor cuanto mayor es la distancia a la superficie delrecipiente. Es decir, el módulo de la velocidad es una magnitud creciente con, ¯

¯¯¯ 0

Figura 1.20: Láminas adyacentes de fluido que deslizan una sobre otra al apli-carles un esfuerzo de cizalladura


Si consideramos dos láminas de fluido adyacentes (véase figura 1.20) y unesfuerzo cortante pequeño (por tanto, un ángulo de deformación pequeño 0),tenemos que el fluido se mueve en régimen laminar y que

tan = (1.33)

de tal manera que derivando con respecto al tiempo (1.33) y teniendo en cuenta

que la velocidad de la lámina es¯ ¯

=

=

¯ ¯(1.34)

A partir de (1.32) y (1.34) y sabiendo que el esfuerzo es paralelo a lavelocidad de las láminas , concluimos que

(1.35)

La ecuación (1.35) se denomina ley de Newton de la viscosidad. Segúnesta ley, podemos clasificar los fluidos en:

Fluidos newtonianos: Son aquellos cuya viscosidad dinámica depende deltipo de fluido y no del estado de su movimiento.

Fluidos no newtonianos: Aquellos cuya viscosidad dinámica no sólo de-pende del tipo de fluido, sino también de su movimiento.

En la figura 1.21 se presenta una gráfica en la que se representa la defor-mación de distintos tipos de fluidos frente a distintas magnitudes de esfuerzostangenciales. Cuando la relación es lineal, tenemos fluidos newtonianos. Un casoespecial de fluido newtoniano es un fluido ideal en el que la viscosidad dinámicaes nula.Las unidades en el S.I. son Pa s y en el sistema cegesimal dyn cm 2 s = 1

(Poise). La equivalencia entre ambas unidades es: 10 = 1Pa s. En la tabla 1.36se presentan los valores de la viscosidad para diversas sustancias a 20 C (y enel caso del aire a una presión de 100 kPa).

SUSTANCIA (Pa s)

Aire 1 81× 10 5

Metanol 5 44× 10 4

Agua 1 002× 10 3

Aceite de oliva 8 1× 10 2

Aceite de ricino 9 85× 10 1

Glicerina 8 5× 10 1

(1.36)

La viscosidad dinámica de los fluidos es la responsable de que éstos se adhie-ran a las superficies de los recipientes tal y como indica la figura 1.22. Esteefecto se denomina efecto Coanda.


Figura 1.21: Relación entre el gradiente de velocidades y el esfuerzo tangencialpara distintos tipos de fluidos.

Figura 1.22: Efecto Coanda sobre una superficie de vidrio.


Ejemplo 7 Se dispone de un fluido newtoniano encerrado entre dos tubos cilín-dricos coaxiales de longitud cuya distancia entre ellos es . Si mantenemosel cilindro exterior fijo y consumimos una potencia constante ˙ para que elcilindro interior de radio rote alrededor de su eje a una velocidad angularconstante ¿cuál es entonces la viscosidad dinámica del fluido? Supóngase que¿

Figura 1.23: Disposición del fluido en el interior de dos cilindros coaxiales.

Si es la fuerza tangencial que realizamos sobre el cilindro interno paraque se mueva con una velocidad tangencial la potencia consumida ˙ es

˙ = · = (1.37)

pues y son vectores paralelos. Ahora bien, como el cilindro interiorestá rotando con velocidad angular , tenemos que

= (1.38)

Por tanto, según (1.37) y (1.38),

=˙

(1.39)

Por otro lado, genera un esfuerzo tangencial sobre el fluido, de tal modoque lo deforma. Como, según el enunciado ¿ , podemos suponer que tenemosuna situación como la que aparece en la figura 1.24. Como además el fluido esnewtoniano, podemos aplicar con bastante aproximación la ley de la viscosidadde Newton,

= (1.40)

donde es la superficie del cilindro interior,

= 2 (1.41)


Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.39)-(1.41), resulta que,

˙

2 2=

Integrando,

( ) =˙

2 2+ (1.42)

donde es una constante de integración.

Figura 1.24: Deformación del fluido debido a que se genera un esfuerzo tangencialen la superficie del cilindro interno.

Imponiendo en (1.42) la condición de contorno, (0) = 0 resulta que = 0.Imponiendo también la condición de contorno,

( ) = =

resulta que,˙

2 2=

Por tanto, despejando la viscosidad dinámica,

=˙

2 3 2N (1.43)

Ejercicio 5 Un fluido de viscosidad dinámica circula en régimen laminar poruna tubería recta, horizontal y cilíndrica de radio 0. La distribución de veloci-dades en la tubería es ( ) = max

¡1 2 2

0

¢donde indica la distancia al

eje de la tubería. Si la tubería tiene una longitud determínese la fuerza queejerce el fluido sobre la tubería. Solución: = 4 max


1.5.3. Dependencia de la temperatura y la presión

En los líquidos, la viscosidad dinámica depende fuertemente de la tempera-tura, de tal manera que puede haber variaciones de hasta un 10% por cada Cmodificado. Por ejemplo, la sensibilidad a la temperatura del agua es de un 3%por grado centígrado a temperatura ambiente, de tal modo que para tener unaprecisión del 1% se requiere que la temperatura esté regulada en 0 3 C. Paralíquidos más viscosos, esta dependencia es mayor y han de tomarse mayoresprecauciones en el control de la temperatura.Para la mayoría de los líquidos, la viscosidad dinámica disminuye exponen-

cialmente con la temperatura, de tal manera que, para altas temperaturas, laviscosidad es muy pequeña. La expresión más común que liga la viscosidaddinámica con la temperatura es la ecuación de Guzmán-Andrade2 ,

( ) = exp

μ0

¶(1.44)

donde 0 es una temperatura característica del líquido y

= lım ( )

es la viscosidad a la que tiende el fluido cuando la temperatura es muy elevada.Notemos que, derivando en (1.44), tenemos que

0 ( ) = 0

2exp

μ0

¶0

pues 0 0. De este modo, en los líquidos, el aumento de la temperaturaresulta en una disminución de la viscosidad dinámica.En el caso de los gases, la fórmula más usual es la fórmula de Sutherland3

(con un error 2% en un gran rango de temperaturas),

( ) = 00 +

+

μ0

¶3 2

(1.45)

donde 0 es una viscosidad de referencia a la temperatura 0, 0 = ( 0), yes la llamada constante de Sutherland, característica del gas en cuestión.

Gas (K) 0 (K) 0 ( Pa s)

Aire 120 291 15 18 27

2 72 293 85 8 76

2 111 300 55 17 81

2 127 292 25 20 18

2 240 293 15 14 8

2E. N. Andrade, C. Da, “A theory of the viscosity of liquids”, Philosophical Magazine 17497-511, 698-732 (1934).

3W. Sutherland, “The viscosity of gases and molecular force”, Philosophical Magazine, S.5, 36, 507-531 (1893).


Obsérvese que, a diferencia de los líquidos, los gases aumentan su viscosidadcon la temperatura . Efectivamente, derivando en (1.45), tenemos que

0 ( ) = 0 ( 0 + )( + 3 )

2 ( + )20

pues 0 0 0.

Ejemplo 8 Sabiendo que la viscosidad dinámica del agua a 20 C y a 30 C esrespectivamente 1 002×10 3 Pa s y 7 977×10 4 Pa s, determínese la viscosidaddinámica del agua a 25 C

Según la ecuación de Guzmán-Andrade (1.44), si conocemos la viscosidaddinámica de una sustancia a dos temperaturas diferentes, 1 = ( 1) y 2 =( 2), tenemos que

1 = exp

μ0

1

¶(1.46)

2 = exp

μ0

2

¶(1.47)

Por tanto, para determinar la viscosidad dinámica a cualquier otra temper-atura, hemos de determinar las constantes características y 0 para el agua.Si dividimos (1.46) entre (1.47) y tomamos logaritmos, resulta que

log

μ1

2

¶= 0

μ1

1

1

2

¶y, despejando 0,

0 =1 2

2 1log

μ1

2

¶2026 38K (1.48)

donde hemos sustituido los datos del enunciado, 1 = 293 15K, 2 = 303 15K

1 = 1 002× 10 3Nm 2 s y 2 = 7 977× 10 4Nm 2 s. Por otro lado, a partirde (1.46) y teniendo en cuenta (1.48),

= 1 exp

μ0

1

¶9 973× 10 7Nm 2 s (1.49)

Por tanto, según la ecuación de Guzmán-Andrade (1.44) y teniendo en cuentalos resultados (1.48) y (1.49), la viscosidad dinámica del agua a = 25 C =298 15K resulta ser

( ) = exp

μ0

¶8 923× 10 4Nm 2 s N

Ejercicio 6 Determínese la viscosidad del dióxido de carbono a 40 C sabiendoque a 15 C tiene una viscosidad de 1 72× 10 5 Pa s, mientras que a 100 C esde 2 096× 10 5 Pa s. Solución: 1 84× 10 5 Pa s.


Ejemplo 9 Se dispone de dos placas paralelas separadas entre sí por una dis-tancia = 10 cm estando el espacio entre ellas relleno de etanol. La placainferior está fija y se halla a una temperatura 1 = 40 C, mientras que la placasuperior es móvil y se encuentra a una temperatura 2 = 10 C. La distribuciónde temperaturas en el etanol es lineal entre las temperaturas de las placas. Si seejerce un esfuerzo tangencial = 0 1Nm 2 sobre la placa superior, determínesela velocidad que ésta adquiere. Datos: la viscosidad del etanol a las temperaturas10 C y 40 C es de 1 466× 10 3 Pa s y 0 834× 10 3 Pa s respectivamente.

En la figura 1.25 se ha tomado el eje como eje vertical.

Figura 1.25: Líquido entre dos placas paralelas sometido a un esfuerzo tangencialy a un gradiente de temperaturas.

Como la distribución de temperaturas es lineal entre las placas, tenemos que

( ) = + (1.50)

donde y son unas constantes que debemos determinar sabiendo que

(0) = 1 (1.51)

( ) = 2 (1.52)

Sustituyendo (1.51) en (1.50) llegamos a que

= 1 313 15K (1.53)

y sustituyendo (1.52) y (1.53) en (1.50), llegamos a que

=2 1

= 300Km 1 (1.54)

Por otro lado, sabemos que la viscosidad varía con la temperatura de acuerdocon la ecuación de Guzmán-Andrade (1.44),

( ) = exp

μ0

¶(1.55)


donde si 1 = ( 1) y 2 = ( 2) según el ejemplo anterior (1.48) y (1.49),

0 =1 2

2 1log

μ1

2

¶1667 14K (1.56)

= 1 exp

μ0

1

¶4 065× 10 6 Pa s (1.57)

Sustituyendo (1.50) en (1.55), tenemos la variación de la viscosidad con lacoordenada

( ) = exp

μ0

+

¶(1.58)

Ahora bien, como el etanol es un líquido newtoniano, tomando módulos enla ley de Newton de la viscosidad (1.35),

= (1.59)

y sustituyendo (1.58) en (1.59),

= exp

μ0

+

¶(1.60)

Despejando de (1.60) e integrando,Z0

exp

μ0

+

¶=

Z ( )

(0)

(1.61)

Como la placa inferior está fija, (0) = 0 según (1.61), la velocidad queadquiere la placa superior es

( ) =

Z0

exp

μ0

+

¶(1.62)

Para efectuar la integral dada en (1.62), podemos realizar el cambio =+ , = de tal modo que

=

Zexp

μ0

+

¶=1Zexp

μ0

¶

Haciendo ahora el cambio, = 0 , = 02 (de tal modo que

= 02 ), llegamos a

=0Z

2(1.63)

Integrando por partes en (1.63),

=0

+

Z ¸(1.64)


La integral que hemos obtenido en (1.64) al integrar por partes se denominaintegral exponencial (véase Apéndice C.1) y no se puede expresar en términosde funciones elementales, de tal modo que define la siguiente función especial,

Ei ( ) =

Z(1.65)

Por tanto, teniendo en cuenta (1.65) en (1.64) y deshaciendo los cambiosefectuados,

=0Ei ( )

¸

=0Ei

μ0

+

¶+

+

0exp

μ0

+

¶¸(1.66)

Finalmente, sustituyendo (1.66) en (1.62),

( ) =0

Ei

μ0

+

¶Ei

μ0

¶

++

0exp

μ0

+

¶0exp

μ0

¶¸

Sustituyendo los datos del enunciado y teniendo en cuenta (1.53), (1.54),(1.56) y (1.57), llegamos a que la placa superior tiene una velocidad de

( ) 9 25m s 1 N

Ejercicio 7 Se dispone de dos placas paralelas separadas entre sí por una dis-tancia estando el espacio entre ellas relleno de un líquido newtoniano. Laplaca inferior está fija y se halla a una temperatura 1, mientras que la placasuperior es móvil y se encuentra a una temperatura 2, siendo la distribuciónde temperaturas lineal entre las placas. Se ejerce un esfuerzo tangencial sobrela placa superior y ésta adquiere una determinada velocidad. Si se repite el ex-perimento, pero con la placa superior a una temperatura 1 y la placa inferior auna temperatura 2, demuéstrese que la velocidad que adquiere la placa superioren ambos experimentos es la misma.

La viscosidad dinámica de los líquidos aumenta exponencialmente con lapresión. El agua por debajo de 30 C es la única excepción, en la que disminuyeen un primer momento, a continuación del cual el comportamiento es normal.Para presiones que difieren poco de la atmosférica, los cambios son bastantepequeños. Por esta razón, en los usos de la mayoría de los fluidos, este factorapenas se toma en consideración. Sin embargo, hay casos, como en la indus-tria de lubricantes, donde las medidas de viscosidad han de tomarse a elevadaspresiones. Las presiones soportadas por lubricantes en engranajes son del ordende 103MPa, mientras que en las perforadoras que operan a profundidad han

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL 35

de soportar presiones de aproximadamente 20MPa. De forma general, se puedeexpresar la viscosidad como una función de la presión y la temperatura,

( ) = ( ) (1.67)

donde tiene valores típicos entre 2× 10 8 Pa 1 y 6× 10 8 Pa 1.

1.6. Tensión superficial

1.6.1. Concepto de tensión superficial

Las fuerzas de cohesión de las moléculas en un líquido dan lugar al fenómenode la tensión superficial. Esto es debido a que la fuerza de cohesión resultanteque experimenta una molécula en la región superficial es hacia el interior dellíquido. Sin embargo, la fuerza resultante que experimenta una molécula en elinterior del líquido es nula. Esta fuerza que experimentan las moléculas en lasuperficie es la causa del fenómeno de la tensión superficial.

Figura 1.26: Fuerzas de cohesión entre las moléculas de un líquido en la superficiey en el interior de éste.

Debido a esta tensión superficial, podemos predecir que los líquidos no ex-puestos a interacciones externas tenderán a minimizar su superficie. Efectiva-mente, en gravedad cero, la tensión superficial de un líquido hace que éstosadquieran forma esférica (véase figura 1.27), pues, de entre todas las figurasgeométricas con el mismo volumen, la esfera es la de menor superficie.

1.6.2. Coeficiente de tensión superficial

Según acabamos de ver, la tensión superficial tiende a minimizar el área queocupa un líquido. Por tanto, si queremos aumentar el área de un sistema líquidoen una cantidad deberemos ejercer un trabajo sobre dicho sistema.


Figura 1.27: Porción de fluido en gravedad cero.

Experimentalmente ambas magnitudes (el trabajo ejercido y el aumentode área ) son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidaddepende de las fuerzas de cohesión del líquido y es lo que se denomina coefi-

ciente de tensión superficial,

= (1.68)

Una manera de interpretar la definición dada en (1.68) es considerando unalámina de jabón adherida a un alambre doblado en doble ángulo recto y a unalambre móvil tal y como se presenta en la figura 1.28. Para evitar que lalámina se contraiga por efecto de las fuerzas de cohesión, es necesario aplicar unafuerza al alambre deslizante. Si desplazamos el alambre móvil una longitud, la fuerza ha realizado un trabajo,

= (1.69)

Ahora bien, teniendo en cuenta que la película de jabón tiene dos caras, elincremento en la superficie del sistema será

= 2 (1.70)

A partir de (1.68) y teniendo en cuenta (1.70), resulta que el trabajo invertidoen aumentar la superficie del sistema es

= = 2 (1.71)

Igualando (1.69) y (1.71), llegamos a

=2

donde la fuerza es paralela a la superficie y perpendicular a la línea de contactoentre el alambre móvil y la superficie. La longitud 2 es precisamente la longitudde la línea de contacto.

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL 37

Figura 1.28: Lámina de jabón en un alambre rectangular con un lado móvil.

Por tanto, alternativamente, podemos definir el coeficiente de tensión su-perficial como la fuerza a lo largo de la línea de contacto por unidad delongitud de contacto

= (1.72)

donde la fuerza es paralela a la superficie, pero perpendicular a la línea decontacto. Obsérvese que según (1.68) las unidades en el S.I. del coeficiente detensión superficial son Jm 2, mientras que de una manera equivalente, según(1.72), las unidades son Nm 1.Las fuerzas debidas a la tensión superficial aparecen en la línea de contacto

entre un sólido parcialmente sumergido en un líquido. Para visualizar dichasfuerzas, imaginemos una aguja sobre la superficie del agua. En la figura 1.29aparece la sección transversal de una aguja, en donde se observa que la fuerzadebida a la tensión superficial es paralela a la superficie. En la figura 1.30 seobserva que la fuerza debida a la tensión superficial es perpendicular a la líneade contacto. Notemos que, al colocar la aguja sobre la superficie del agua, ésta seha deformado incrementando su área para poder mantener el peso de la aguja.Según la figura 1.29, las componentes horizontales de se anulan, mientras

que las componentes verticales se pueden hallar a partir de (1.72),

= cos = cos

Integrando a lo largo de toda la línea de contacto, teniendo en cuenta quesu longitud es 2 (despreciamos la longitud de contacto en los extremos de laaguja), resulta que

= 2 cos (1.73)

Ejemplo 10 Determínese el radio máximo que puede tener una aguja deacero que flota sobre el agua. Datos: densidad del acero, 7850 kgm 3; densi-


Figura 1.29: Sección transversal de una aguja sobre la superficie de un fluido.

Figura 1.30: Aguja de longitud sobre la superficie de un fluido.

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