Modele periodice autoregresive

Eugen Ursu

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 1 / 41

Un exemplu ilustrativ

1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

index

of prod

uction

of foo

ds and

tobacc

o

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120 Index of production of foods and tobacco, 1947-2000

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 2 / 41

Un exemplu ilustrativ

Figura: Veniturile şi consumul în Germania de Vest între anii 1960-1987 (datetrimestriale). Datele au fost transformate aplicând logaritmul natural pentru fiecarevariabilă.

time in quarters

inco

me

1960 1965 1970 1975 1980 1985

7.4

7.8

8.2

time in quarters

cons

umpt

ion

1960 1965 1970 1975 1980 1985

7.4

7.8

8.2

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 3 / 41

Exemplu ilustrativ

Année

Déb

it de

fleu

ve

1915 1920 1925 1930

2000

4000

6000

8000

Figura: Debitele râului Fraser (date lunare), Canada

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 4 / 41

Cuprins

1 Introducere

2 Procese periodice autoregresive

3 Identificarea modelelor periodice PAR

4 Algoritmi genetici

5 Aplicaţii pe date reale

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 5 / 41

Câteva noţiuni de serii cronologice

DefiniţieŞirul de observaţii {Xt , t ∈ I} ale unei variabile X la diferite momente de timp teste numit serie cronologică (sau temporală).I este un interval de timp ce poate fi discret sau continuu.

DefiniţieŞirul de variabile aleatoare {�t} formează un zgomot alb dacă sunt respectateurmătoarele proprietăţi

1 E [�t ] = 0, ∀t ∈ Z;2 E [�2t ] = σ

2� este constantă şi strict pozitivă;

3 cov(�t , �s) = 0 dacă t 6= s.i.i.d. = independente, identic distribuite

notaţie : BB-bruit blanc(français) sau WN-white noise (anglais)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 6 / 41

Câteva noţiuni de serii cronologiceDefiniţieSeria {Xt}t=0,1,2,... este o serie staţionară în sens larg sau staţionară deordinul doi sau slab staţionară dacă următoarele condiţii sunt simultanverificate:

1 E [Xt ] = µ

Câteva noţiuni de serii cronologice

DefiniţieFuncţia autocorelaţie parţială dintre Xt şi Xt+h este corelaţia între Xt şi Xt+heliminând influenţa liniară a valorilor intermediaire Xt+1,Xt+2, . . .Xt+h−1.Notaţia uzuală este pacf ("partial autocorrelation function").

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 8 / 41

Proces tip AR(p)

DefiniţieUn proces {Xt} este numit proces de tip AR(p), p ≥ 0 dacă este staţionar şidacă admite o reprezentare:

Xt − φ1Xt−1 − . . .− φpXt−p = �t , ∀t

unde �t este un zgomot alb şi φ1, φ2, . . . , φp sunt parametri reali (φp 6= 0).

Utilizănd operatorul de decalaj B avem:

Xt − φ1Xt−1 − . . .− φpXt−p = Φ(B)Xt

unde Φ(z) desemnează polinomul 1−∑p

i=1 φizi (polinom caracteristic sau

polinom generator).

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 9 / 41

Proces ARMA(p,q)

DefiniţieUn proces {Xt} este numit proces ARMA(p,q), p ≥ 0, q ≥ 0 dacă estestaţionar şi dacă :

Xt − φ1Xt−1 − . . .− φpXt−p = �t + θ1�t−1 + . . .+ θq�t−q , ∀t

unde �t este un zgomot alb şi φ1, φ2, . . . , φp, θ1, θ2, . . . , θq sunt parametri reali(φp 6= 0, θq 6= 0).

Folosind operatorul decalaj, avem scrierea echivalentă:

Φ(B)Xt = Θ(B)�t ,

unde

Φ(B) = 1− φ1B + . . .− φpBp etΘ(B) = 1 + θ1B + . . .+ θqBq

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 10 / 41

Identificarea ordinului unui model ARDacă h > p atunci funcţia de autocorelaţie parţială de decalaj h a procesului AR(p) seanulează

0 20 40 60 80 100

−0.

50.

00.

5

(a) 100 observaţii ale unui proces AR(2)

5 10 15 20−

0.2

0.0

0.2

0.4

Lag

Par

tial A

CF

(b) Funcţia de autocorelaţie parţială estimatăa procesului AR(2)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 11 / 41

Identificarea ordinului unui model MADaca h > q atunci funcţia de autocorelaţie de decalaj h a procesului MA(q) se anulează

0 20 40 60 80 100

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

(c) 100 observaţii ale unui proces MA(2)

0 5 10 15 20−

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

(d) Funcţia de autocorelaţie estimată a proce-sului MA(2)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 12 / 41

Identificarea unui model ARMA

Lag

AC

F

0 5 10 15 20

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a) Autocorrélation empirique

Lag

Par

tial A

CF

0 5 10 15 20

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

(b) Autocorrélation partielle empi-rique

Figura: Funcţiile de autocorelaţie şi autocorelaţie parţială ale unui proces ARMA(1,1)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 13 / 41

Identificarea unui model ARMA

Metodele bazate pe funcţia de autocorelaţie ne sugerează ordinulmodelului; citerii automate (AIC, BIC) sunt disponibile;Chiar şi utilizând un criteriu de tip AIC, identificarea modelului ARMA estedestul de complicată întrucât există două dimensiuni ce trebuiescmanevrate pentru a găsi ordinul (p,q) optimal;Este posibil să căutam minimul criteriului AIC pentru toate combinaţiileposibile ale lui (p,q);Posibile probleme când anumiţi parametri intermediari sunt nuli;

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 14 / 41

Proces SARMA(p,q)× (P,Q)Definiţie{Xt} se numeşte proces SARMA(p,q)× (P,Q), de perioadă s dacă este unproces staţionar de forma:

Φ(B)Υ(Bs)Xt = Θ(B)Ψ(Bs)�t , ∀t

unde �t este un WN(0, σ2) şi

Υ(Bs) = 1− υ1Bs − . . .− υPBPs,Ψ(Bs) = 1 + ψ1Bs + . . .+ ψQBQs.

ExempluUn exemplu de serie sezonieră SARMA(3, 0)× (1, 1) este :

(1 − φ3B3)(1 − υ1B12)Xt = (1 + ψ1B12)�t

care se reprezintă şi sub forma unui ARMA(15,12)

Xt − φ3Xt−3 − υ1Xt−12 + φ3υ1Xt−15 = �t + ψ1�t−12.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 15 / 41

Proces SARMA(p,q)× (P,Q)

Identificarea modelelor SARMA(p,q)× (P,Q) este mult mai complicatădecât în cazul proceselor ARMA(p,q);Căutarea tuturor combinaţiilor posibile (p,q)× (P,Q) poate fi extrem delungă şi anevoioasă;O posibilă soluţie este utilizarea algoritmilor genetici;

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 16 / 41

Limitările modelelor SARMA - utilizarea modelelorPAR

Modelele de tip SARMA sunt cazuri particulare ale modelelor ARMA,deci staţionare. O consecinţă imediată este că atocorelaţiile nu depind deperioadă;Multe serii cronologige nu pot fi transformate in serii staţionare(desezonalizate), motivul fiind că autocorelaţiile depind de perioadă;Un model periodic autoregresiv (PAR) extinde modelul AR clasicpermiţând parametrilor autoregresivi să varieze odată cu sezonul;O astfel de proprietate poate fi folositoare pentru descrierea anumitorserii temporale economice, deoarece agenţii economici se pot comportadiferit în funcţie de sezon;Acest lucru ne-ar putea spune că structura memoriei (ce poate fireflectată în componenta autoregresivă) poate varia cu sezonul;De exemplu: progresele tehnologice de-a lungul anilor au facut posibilăcumpărarea anumitor legume în aproape toate sezoanele (în urmă cucaţiva ani aceste legume erau disponibile doar vara). Astfel am puteaobserva o anumită tendinţă în unul sau mai multe sezoane şi niciotendinţă pe timpul verii.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 17 / 41

Procesul PAR

DefiniţieProcesul Y = {Yt , t ∈ Z} este un proces PAR(p1,p2, . . . ,ps) :

Yns+ν =p(ν)∑k=1

φk (ν)Yns+ν−k + �ns+ν , ν ∈ {1, . . . , s} (1)

unde pentru ν fixat şi o valoare s dată, variabila aleatoare Yns+ν este orealizarea a acestui proces în sezonul ν, a anului n, n ∈ Z.

Termenul de eroare � = {�t , t ∈ Z} in (1) corespunde unui zgomot alb periodicde medie zero, adică E(�t ) = 0 şi Var(�ns+ν) = σ2(ν) > 0, ν = 1, . . . , s.

RemarcăUn proces autoregresiv periodic (PAR) este o generalizare a procesuluiautoregresiv clasic (AR) ce permite parametrilor autoregresivi să varieze înfunctie de sezon.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 18 / 41

Estimarea procesului PARFie seria de observaţii Yns+ν , n = 0,1, . . . ,N − 1, ν = 1, . . . , s. Definimurmătoarele matrici:

z(ν) =(Yν ,Ys+ν , . . . ,Y(N−1)s+ν

)>,

e(ν) =(�ν , �s+ν , . . . , �(N−1)s+ν

)>,

X(ν) =

Yν−1 Yν−2 . . . Yν−p(ν)

Ys+ν−1 Ys+ν−2 . . . Ys+ν−p(ν)...

. . ....

Y(N−1)s+ν−1 Y(N−1)s+ν−2 . . . Y(N−1)s+ν−p(ν)

.Modelul PAR poate fi reformulat sub forma următoare:

z(ν) = X(ν)β(ν) + e(ν), ν = 1, . . . , s,

unde parametrii modelului sunt regrupaţi în vectorul p(ν)× 1 β(ν):

β(ν) =(φ1(ν), . . . , φp(ν)(ν)

)>.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 19 / 41

Estimare prin metoda celor mai mici pătrate fărărestricţii asupra parametrilorEstimarea parametrilor prin metoda celor mai mici pătrate este obţinutăminimizând suma pătratelor diferenţelor dintre valoarea reală şi cea estimatăprin modelul de regresie:

S(β(ν)) =s∑

v=1

e>(ν)e(ν)

În consecinţă, estimatorul lui β(ν) este dat de relaţia

β̂(ν) =[{X>(ν)X(ν)}−1X>(ν)

]z(ν),

ν = 1,2, . . . , s. Am obţinut şi normalitatea asimptotică a parametrilor:

√N(β̂(ν)− β(ν)

)d→ N

(0, σ2� (ν)Ω

−1(ν)).

În plus, N1/2{β̂(ν)− β(ν)} şi N1/2{β̂(ν′)− β(ν′)} sunt asimptoticindependenţi, ν 6= ν′, ν, ν′ = 1, . . . , s.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 20 / 41

Estimare prin metoda celor mai mici pătrate curestricţii liniare asupra parametrilor

Să presupunem că pentru o matrice cunoscută R(ν) de rang K (ν), şi pentruun vector cunoscut b(ν) de dimensiune p(ν)× 1, următoarea relaţie estsatisfacută:

β(ν) = R(ν)ξ(ν) + b(ν),

unde ξ(ν) reprezintă un vector de parametri de dimensiune K (ν)× 1. Îngeneral, matricea R(ν) şi vectorul b(ν) permit impunerea unor restricţii liniareasupra parametrilor unui aceluiaşi sezon ν, ν = 1, . . . , s. Procedând la fel cain secţiunea precedentă, am estimat parametrii prin metoda celor mai micipătrate şi am stabilit proprietaţile asimptotice ale estimatorilor.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 21 / 41

Cum pot fi identificate modelele periodice?

1 Ordinul autoregresiv pentru fiecare sezon este obţinut minimizând uncriteriu de tip BIC. Utilizând ideea lui McLeod (1994), acest criteriu poatefi descompus în funcţie de sezon:

BIC =s∑ν=1

BIC(ν).

Criteriul BIC pentru sezonul ν este dat de

BIC(ν) = log σ̂2(ν) +log(N)

Nλ(ν),

unde λ(ν) reprezintă numărul parametrilor autoregresivi în sezonul ν.2 Folosind autocorelaţiile parţiale periodice.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 22 / 41

ExempluAm simulat următorul model:

Y4n+1 = φ1(1)Y4n + φ2(1)Y4n−1 + �4n+1Y4n+2 = φ2(2)Y4n + φ4(2)Y4n−2 + �4n+2Y4n+3 = φ1(3)Y4n+2 + φ2(3)Y4n+1 + φ3(3)Y4n + �4n+3Y4n+4 = φ6(4)Y4n−2 + φ7(4)Y4n−3 + �4n+4,

Modelul este un PAR(

(1,2), (2,4), (1,2,3), (6,7))

cu următorii parametri:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7ν = 1 0.30 0.50 0 0 0 0 0ν = 2 0 -0.65 0 0.50 0 0 0ν = 3 -0.80 0.30 0.35 0 0 0 0ν = 4 0 0 0 0 0 0.81 0.70

Înapoi

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 23 / 41

Exemplu

0 1 2 3 4

02

46

810

12

period

pa

cf

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 24 / 41

ExempluAutocorelaţiile parţiale periodice ne sugerează un model PAR(2,4,3,7).

φ̂1 φ̂2 φ̂3 φ̂4 φ̂5 φ̂6 φ̂7ν = 1 0.314 0.478 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

(0.031) (0.023)ν = 2 -0.054 -0.656 -0.014 0.521 0.000 0.000 0.000

(0.087) (0.048) (0.068) (0.075)ν = 3 -0.762 0.431 0.297 0.000 0.000 0.000 0.000

(0.070) (0.069) (0.057)ν = 4 0.121 0.159 0.085 -0.059 -0.006 0.906 0.786

(0.078) (0.112) (0.118) (0.090) (0.093) (0.111) (0.082)

Pentru a propune un model mai simplu, am restricţionat la zero toţi parametriiautoregresivi ce au valoarea absolută a statisticii t mai mică decât 1 (aceastăvaloare este calculată împărţind valoarea estimată la abaterea pătratică).

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 25 / 41

Introducere

Algoritmii genetici sunt algoritmi de optimizare stocastică bazaţi pemecanismul selecţiei naturale şi al geneticii.

Demarăm cu o populaţie de potenţiale soluţii (cromozomi) ce sunt aleseîn mod aleatoriu;Se evaluează performanţa relativă (fitness) a fiecărui cromozom;Pe baza acestei performanţe se creează o nouă populaţie utilizândtransformări specifice asupra populaţiei: selecţie, recombinare şi mutaţie;Se continuă acest ciclu până la găsirea unei soluţii satisfăcătoare.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 26 / 41

Reprezentarea cromozomului

Dată fiind independenţa asimptotică a parametrilor în funcţie de sezon,problema se reduce la utilizarea unui algoritm genetic independent pentrufiecare perioadă (sezon). Pentru o perioadă dată, utilizăm un şir de caracterebinare de lungime k (am considerat ordinul maximal pentru fiecare perioadăegal cu k ). Pentru modelul precedent, pentru prima perioadă de ecuaţie:

Y4n+1 = φ1(1)Y4n + φ2(1)Y4n−1 + �4n+1

cromozomul are reprezentarea următoare chrs = (1100000), iar pentru adoua perioadă de ecuaţie:

Y4n+2 = φ2(2)Y4n + φ4(2)Y4n−2 + �4n+2

cromozomul este dat de chrs = (0101000) etc.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 27 / 41

Etapele algoritmilor genetici

String Initial BIC fitness Expected ActualNo. population value probi count count1 110001000101101 286.054 38.182 0.236 0.945 12 010110000001010 312.307 11.928 0.074 0.296 03 010011110101100 213.715 110.521 0.684 2.735 34 101000001001000 323.236 1.000 0.006 0.024 0Sum 1135.312 161.631 100% 4 4

Tabela: Selecţie

Se calculează probabilitatea de selecţie prin :

probi =f (xi )∑Npi=1 f (xi )

,

unde Np reprezintă mărimea populaţiei, f (xi ) este valoarea funcţiei deadecvare (fitness) corespunzătoare individului i din populaţie.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 28 / 41

Etapele algoritmilor genetici

Vom selecta cromozomul ce va participa la etapa de recombinare(încrucişare) utilizând o selecţie de tip roată de ruletă (Roulette Wheel).Conform acestei metode, fiecare cromozom va fi selectat în noua populaţie înfuncţie de gradul de adecvare (grad de adecvare mare - şanse mari de a fiselectat)

24%

7%

68%

< 1%

string1string2string3string4

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 29 / 41

Etapele algoritmilor genetici

Operatorul genetic de recombinare permite schimbul de informaţii întrecromozomi (indivizi). Pentru început, doi indivizi, care formează un cuplu,sunt extraşi din populaţia rezultată după procesul de selecţie. Apoi, un punctde încrucişare este extras aleatoriu (o valoare între 1 şi k − 1). În final, potrivitunei probabilităţi Pc de efectuare a reproducerii, segmentele finale ale celordoi părinţi sunt schimbate în jurul acestui punct.

OffspringString Mating Cross after BIC FitnessNo. pool point crossover value1 110001000101101 8 110001000101100 281.174 1.0003 010011110101100 8 010011110101101 218.528 63.6463 010011110101100 11 010011110101100 213.715 68.4593 010011110101100 11 010011110101100 213.715 68.459Sum 927.132 201.565

Tabela: Încrucişare

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 30 / 41

Etapele algoritmilor genetici

Rolul operatorului de mutaţie este de a produce noi indivizi prin modificareaaleatorie, cu o anumită probabilitate, a indivizilor din populaţia curentă. Încazul codajului binar, fiecare bit ai ∈ {0,1} este înlocuit cu o probabilitate Pmprin opusul său a′i = 1− ai .

String Offspring after Mutation chromosome Offspring after BIC FitnessNo. crossover for flipping mutation value1 110001000101100 000000000001000 110001000100100 277.261 1.0002 010011110101101 000000000000000 010011110101101 218.528 59.7333 010011110101100 000000000000000 010011110101100 213.715 64.5464 010011110101100 100000000000000 110011110101100 216.451 61.810Sum 925.954 187.088

Tabela: Mutaţie

RemarcăStrategia elitistă este aplicată: pentru a evita ca cei mai buni indivizi să fiemodificaţi sau pierduţi pe drum, cei mai buni 5% sunt transferaţi direct în nouapopulaţie. Operatorul de recombinare se aplică doar pe cei 95% rămaşi.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 31 / 41

Simularea unui model PAR

Pentru modelul dat în exemplu, am simulat 100 de traiectorii independente cuN = 200 de observaţii pe sezon. vezi modelulOrdinul procesului poate varia de la 0 la 15, ceea ce ne duce la alegerea unuicromozom de lungime L = 15. Mărimea populaţiei este aleasă 20 sau 40,probabilitatea de încrucişare este Pc = 0.8 şi probabilitatea de mutaţiePm = 0.01, numărul de generaţii poate fi 25, 50 sau 100 iar cel mai buncromozom este selectat direct în populaţia următoare (elitism).

q1 q2 q3Ng = 25 74 23 3

Np = 20 Ng = 50 98 2 0Ng = 100 100 0 0

SIMULAT ION

Ng = 25 99 1 0Np = 40 Ng = 50 100 0 0

Ng = 100 100 0 0

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 32 / 41

Evoluţia algoritmului genetic (a patra perioadă)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 33 / 41

Evoluţia BIC (a patra perioadă)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50180

190

200

210

220

230

240

250

260

270

280Minimum and Average BIC

Generation

BIC

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 34 / 41

Indicele producţiei alimente şi tutun

0 1 2 3 4

01

23

45

period

acf

Figura: Autocorelaţiile parţiale periodice pentru indice.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 35 / 41

Indicele producţiei alimente şi tutun

Tabela: Estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici patrate (cu restricţii) ale unuimodel PAR. Modelul are 4 sezoane şi ordinul ((2),(2,3),(1,2,4),(2,4)).

φ1 φ2 φ3 φ4ν = 1 0 -0.3045 0 0

(0.0864)ν = 2 0 -0.5182 -0.5847 0

(0.1399) (0.0924)ν = 3 -0.6189 -0.3480 0 0.2077

(0.0998) (0.1088) (0.1051)ν = 4 0 -0.1770 0 0.3480

(0.0869) (0.1286)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 36 / 41

Venitul şi consumul din Germania de Vest.

Tabela: Estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici patrate (cu restricţii) ale unuimodel PAR bidimensional. Modelul are 4 sezoane şi ordinul (2,1,3,1).

Φ̂1(1) =

0 −0.2955

(0.0499)0.3252 −0.6959(0.1306) (0.1066)

, Φ̂2(1) =−0.2812 0(0.0563)

0 0

,

Φ̂1(2) =

0.2247 0.1961(0.1499) (0.0486)

0 0

,

Φ̂1(3) =

−1.1186 1.5694(0.3178) (0.4515)−0.4088 1.2369(0.3215) (0.4568)

, Φ̂2(3) =−1.7824 2.0949(0.3680) (0.3125)−0.9379 1.5613(0.3723) (0.3162)

, Φ̂3(3) =−1.1139 0.7885(0.1976) (0.1923)−0.4302 0.2505(0.1999) (0.1945)

,

Φ̂1(4) =

−0.4055 −0.6175(0.1268) (0.1451)0.2686 −1.6554(0.1213) (0.1387)

.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 37 / 41

Debitele lunare ale râului Fraser (1912 -1990)Folosind autocorelaţiile parţiale periodice şi BIC pe fiecare sezon un modelPAR(1,1,1,1,1,3,2,1,1,3,1,1) a fost identificat.

0 2 4 6 8 10 12

05

1015

period

pa

cf

Figura: Autocorelaţiile parţiale periodice pentru râul Fraser. Perioada 1 corespundelunii ianuarie.

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 38 / 41

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 φ9 φ10 φ11 φ12ν = 1 0.664 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.063)ν = 2 0.733 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.229

(0.063) (0.065)ν = 3 0.813 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.074)ν = 4 0.765 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.123)ν = 5 0.177 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.360 0

(0.065) (0.137)ν = 6 0.278 -0.211 0 0 0 0 0.181 0 0 0 0 0

(0.077) (0.049) (0.056)ν = 7 0.715 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.105)ν = 8 0.751 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.067)ν = 9 0.751 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.089)ν = 10 1.159 -0.682 0.364 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.137) (0.210) (0.167)ν = 11 0.754 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.091)ν = 12 0.745 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(0.072)

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 39 / 41

Debitele lunare ale râului Fraser

1912 1913 1914 1915 1916 1917 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1922 1923 19246

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

log(flows)adjusted model

Figura:

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 40 / 41

Concluzii

Toate rezultatele au fost obţinute în cazul modelelor PARmultidimensionale;Teste de validare a modelelor au fost stabilite (teste portmanteau);Estimarea robustă a modelelor periodice a fost obţinută;

E.Ursu (GREThA) PAR Timişoara, 27 aprilie 2016 41 / 41

IntroducereProcese periodice autoregresiveIdentificarea modelelor periodice PARAlgoritmi geneticiAplicatii pe date reale

fd@rm@0: