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8/18/2019 DISTRIBUCION-BINOMIAL final.docx

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DISTRIBUCION BINOMIAL

La función de probabilidad de la distribución binomial, tambiéndenominada función de la distribución de Bernoulli, es:

n es el número de pruebas.k es el número de éxitos.p es la probabilidad de éxito.q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio

CARACTERISTICAS

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: elsuceso A éxito! " su contrario .#. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no $ar%a de unaprueba a otra. &e representa por p.'. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultadosobtenidos anteriormente.La distribución binomial se suele representar por Bn, p!.n es el número de pruebas de que consta el experimento.p es la probabilidad de éxito.

La probabilidad de es 1( p, " la representamos por q.

)ariable aleatoria binomial

La $ariable aleatoria binomial, *, expresa el número de éxitos obtenidos encada prueba del experimento.La $ariable binomial es una $ariable aleatoria discreta, sólo puede tomar los$alores +, 1, #, ', , ..., n suponiendo que se -an realiado n pruebas.E/0k 2, al lanar una moneda 1+ $eces " obtener 2 caras.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCION BINOMIAL

1. &e lana una moneda cuatro $eces. 3alcular la probabilidad de quesal4an m5s caras que cruces

B, +.6! p +.6q +.6

2. &i de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de

cada cinco est5 comunicando, 7cu5l es la probabilidad de que, cuando semarquen 1+ números de teléfono ele4idos al aar, sólo comuniquen dos8

http://www.vitutor.com/pro/1/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/pro/1/a_9.html


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B1+, 196!p 196q 96

3. En una urna -a" '+ bolas, 1+ roas " el resto blancas. &e eli4e una bolaal aar " se anota si es roa; el proceso se repite, de$ol$iendo la bola, 1+$eces. 3alcular la media " la des$iación t%pica

B1+, 19'! p 19'q #9'

DISTRIBUCION NORMAL

Variable aleatoria de la distrib!i"# #or$al

!, si se cumplen las si4uientescondiciones:1. La $ariable puede tomar cualquier $alor: @, !#. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuaciónmatem5tica de la cur$a de Causs:

CARACTERISTICAS

El campo de existencia es cualquier $alor real, es decir, @, !.Es simétrica respecto a la media µ.

Diene un m5ximo en la media µ.3rece -asta la media µ " decrece a partir de ella.En los puntos µ − σ " µ + σ presenta puntos de inexión.El ee de abscisas es una as%ntota de la cur$a.El 5rea del recinto determinado por la función " el ee de abscisas esi4ual a la unidad.Al ser simétrica respecto al ee que pasa por x F, dea un 5rea i4ual a+.6 a la iquierda " otra i4ual a +.6 a la derec-a.La probabilidad equi$ale al 5rea encerrada bao la cur$a.

p= @ > G * H = >! +.2I#2 2I.#2 Jp= @ #> G * H = #>! +.K6 K6. J


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p= @ '> G * H = '>! +.KK KK. J

EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCION NORMAL

1. En una ciudad se estima que la temperatura m5xima en el mes de uniosi4ue una distribución normal, con media #'M " des$iación t%pica 6M.3alcular el número de d%as del mes en los que se espera alcanarm5ximas entre #1M " #

2. )arios test de inteli4encia dieron una puntuación que si4ue una le"normal con media 1++ " des$iación t%pica 16

1 Neterminar el porcentae de población que obtendr%a un coeOciente entre

K6 " 11+

# 7Pué inter$alo centrado en 1++ contiene al 6+J de la población8

' En una población de #6++ indi$iduos 7cu5ntos indi$iduos se esperan que

ten4an un coeOciente superior a 1#68

3. Dras un test de cultura 4eneral se obser$a que las puntuacionesobtenidas si4uen una distribución una distribución ?26, 1I!. &e deseaclasiOcar a los examinados en tres 4rupos de baa cultura 4eneral, decultura 4eneral aceptable, de excelente cultura 4eneral! de modo que-a" en el primero un #+J la población, un 26J el se4undo " un 16J enel tercero. 73u5les -an de ser las puntuaciones que marcan el paso deun 4rupo al otro8


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Baa cultura -asta K puntos.3ultura aceptable entre 6+ " I'.Excelente cultura a partir de I puntos.

DISTRIBUCION C%I CUADRADO

En realidad la distribución i@cuadrada es la distribución muestral de s#. Qsea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal "a cada muestra se le calcula su $ariana, se obtendr5 la distribuciónmuestral de $arianas.Rara estimar la $ariana poblacional o la des$iación est5ndar, se necesitaconocer el estad%stico *#. &i se eli4e una muestra de tamaSo n de una

población normal con $ariana , el estad%stico:

tiene una distribución muestral que es una distribución i@cuadrada con4ln@1 4rados de libertad " se denota *# * es la minúscula de la letra4rie4a i!. El estad%stico i@cuadrada esta dado por:

donde n es el tamaSo de la muestra, s# la $ariana muestral " la$ariana de la población de donde se extrao la muestra. El estad%stico i@cuadrada también se puede dar con la si4uiente expresión:

&RO&IEDADESLos $alores de *# son ma"ores o i4uales que +.La forma de una distribución *# depende del 4ln@1. En consecuencia, -a"un número inOnito de distribuciones *#.El 5rea bao una cur$a i@cuadrada " sobre el ee -oriontal es 1.Las distribuciones *# no son simétricas. Dienen colas estrec-as que seextienden a la derec-a; esto es, est5n ses4adas a la derec-a.3uando nT#, la media de una distribución *# es n@1 " la $ariana es #n@1!.El $alor modal de una distribución *# se da en el $alor n@'!.


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EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCION C%I CUADRADO

1. &upon4a que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanar

un de sus destinos en una ciudad 4rande forman una distribución normalcon una des$iación est5ndar 1 minuto. &i se eli4e al aar unamuestra de 1 tiempos, encuentre la probabilidad de que la $arianamuestral sea ma"or que #.

Solución:

Rrimero se encontrar5 el $alor de i@cuadrada correspondiente a s## comosi4ue:

El $alor de '# se busca adentro de la tabla en el ren4lón de 12 4rados delibertad " se encuentra que a este $alor le corresponde un 5rea a la derec-ade +.+1. En consecuencia, el $alor de la probabilidad es Rs #T#!

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de #6obser$aciones, de una población normal con $ariana , ten4a una$ariana muestral:

0a"or que K.1Entre '.2# " 1+.6Solución.

Rrimero se proceder5 a calcular el $alor de la i@cuadrada:

Al buscar este número en el ren4lón de # 4rados de libertad nos da un5rea a la derec-a de +.+6. Ror lo que la Rs# TK.1! +.+6&e calcular5n dos $alores de i@cuadrada:

"Aqu% se tienen que buscar los dos $alores en el ren4lón de # 4rados delibertad. Al buscar el $alor de 1'.I2 se encuentra un 5rea a la derec-a de+.K6. El $alor de #.KI da un 5rea a la derec-a de +.+1. 3omo se est5pidiendo la probabilidad entre dos $alores se resta el 5rea de +.K6 menos+.+1 quedando +.K.

Ror lo tanto la R'.2# s# 1+.6! +.K


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DISTRIBUCION &OISSON

Esta distribución es una de las m5s importantes distribuciones de $ariablediscreta. &us principales aplicaciones -acen referencia a la modeliación desituaciones en las que nos interesa determinar el número de -ec-os decierto tipo que se pueden producir en un inter$alo de tiempo o de espacio,bao presupuestos de aleatoriedad " ciertas circunstancias restricti$as. Qtrode sus usos frecuentes es la consideración l%mite de procesos dicotómicosreiterados un 4ran número de $eces si la probabilidad de obtener un éxitoes mu" pequeSa .

CARACTERISTICAS

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados porunidad de 5rea, tiempo, piea, etc

@ U de defectos de una tela por m#

@ U de a$iones que aterrian en un aeropuerto por d%a, -ora, minuto, etc,etc.@ U de bacterias por cm# de culti$o@ U de llamadas telefónicas a un conmutador por -ora, minuto, etc, etc.@ U de lle4adas de embarcaciones a un puerto por d%a, mes, etc, etc.Rara determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad detiempo, 5rea, o producto, la fórmula a utiliar ser%a:

donde:p x , l! probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promediode ocurrencia de ellos es ll media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, 5rea o productoe #.1I

x $ariable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCION &OISSON

1. &i un banco recibe en promedio 2 c-eques sin fondo por d%a, 7cu5les son

las probabilidades de que reciba, a! cuatro c-eques sin fondo en un d%adado, b! 1+ c-eques sin fondos en cualquiera de dos d%as consecuti$os8

http://www.uv.es/ceaces/base/variable%20aleatoria/ddiscreta.htmhttp://www.uv.es/ceaces/base/variable%20aleatoria/ddiscreta.htmhttp://www.uv.es/ceaces/base/variable%20aleatoria/ddiscreta.htmhttp://www.uv.es/ceaces/base/variable%20aleatoria/ddiscreta.htm


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&olución:a! x $ariable que nos deOne el número de c-eques sin fondo quelle4an al banco en un d%a cualquiera +, 1, #, ', ....., etc, etc.l 2 c-eques sin fondo por d%ae #.1I

b! x $ariable que nos deOne el número de c-eques sin fondo que lle4an albanco en dos d%as consecuti$os +, 1, #, ', ......, etc., etc.l 2 x # 1# c-eques sin fondo en promedio que lle4an al banco en dosd%as consecuti$os?ota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dic-o de otraforma, debe V-ablarW de lo mismo que x.

2. En la inspección de -oalata producida por un proceso electrol%ticocontinuo, se identiOcan +.# imperfecciones en promedio por minuto.Netermine las probabilidades de identiOcar a! una imperfección en 'minutos, b! al menos dos imperfecciones en 6 minutos, c! cuando m5suna imperfección en 16 minutos.

&olución:

a! x $ariable que nos deOne el número de imperfecciones en la

-oalata por cada ' minutos +, 1, #, ', ...., etc., etc.l +.# x ' +.2 imperfecciones en promedio por cada ' minutos en la-oalata

b! x $ariable que nos deOne el número de imperfecciones en la-oalata por cada 6 minutos +, 1, #, ', ...., etc., etc.l +.# x 6 1 imperfección en promedio por cada 6 minutos en la -oalata

1@+.'2K1I+.'2K1I!

+.#212 c! x $ariable que nos deOne el número de imperfecciones en la-oalata por cada 16 minutos +, 1, #, ', ....., etc., etc.l +.# x 16 ' imperfecciones en promedio por cada 16 minutos en la-oalata


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+.+KI+#2 +.1K+I +.1KK#1+2

DISTRIBUCION T'STUDENT

&upón4ase que se toma una muestra de una población normal con

media " $ariana . &i es el promedio de las n obser$aciones que

contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución es una

distribución normal est5ndar. &upón4ase que la $ariana de la población# es desconocida. 7Pué sucede con la distribución de esta estad%stica si se

reemplaa por s8 La distribución t proporciona la respuesta a estapre4unta.

La media " la $ariana de la distribución t son + " paraT#, respecti$amente.La si4uiente O4ura presenta la 4r5Oca de $arias distribuciones t. Laapariencia 4eneral de la distribución t es similar a la de la distribuciónnormal est5ndar: ambas son simétricas " unimodales, " el $alor m5ximo de

la ordenada se alcana en la media +. &in embar4o, ladistribución t tiene colas m5s amplias que la normal; esto es, la probabilidadde las colas es ma"or que en la distribución normal. A medida que elnúmero de 4rados de libertad tiende a inOnito, la forma l%mite de la

distribución t es la distribución normal est5ndar.

&RO&IEDADES

3ada cur$a t tiene forma de campana con centro en +.3ada cur$a t, est5 m5s dispersa que la cur$a normal est5ndar .

A medida que aumenta, la dispersión de la cur$a t correspondientedisminu"e.

A medida que , la secuencia de cur$as t se aproxima a la cur$anormal est5ndar, por lo que la cur$a recibe a $eces el nombre de cur$a t

con 4l La distribución de la $ariable aleatoria t est5 dada por:


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Esta se conoce como la distribución t con 4rados de libertad.&ean *1, *#, . . . , *n $ariables aleatorias independientes que son todas

normales con media " des$iación est5ndar . Entonces la $ariable

aleatoria tiene una distribución t con n@1 4rados de libertad.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCION T'STUDENT

1. El $alor t con 1 4rados de libertad que dea un 5rea de +.+#6 a laiquierda, " por tanto un 5rea de +.K6 a la derec-a, es

t+.K6@t+.+#6 @#.16

&i se obser$a la tabla, el 5rea sombreada de la cur$a es de la cola derec-a,

es por esto que se tiene que -acer la resta de . La manera deencontrar el $alor de t es buscar el $alor de en el primer ren4lón de latabla " lue4o buscar los 4rados de libertad en la primer columna " donde se

intercepten " se obtendr5 el $alor de t.

2. Encuentre la probabilidad de Xt+.+#6 G t G t+.+6.&olución:

3omo t+.+6 dea un 5rea de +.+6 a la derec-a, " Xt+.+#6 dea un 5rea de +.+#6 ala iquierda, encontramos un 5rea total de 1@+.+6@+.+#6 +.K#6.R Xt+.+#6 G t G t+.+6! +.K#6

3. Encuentre k tal que Rk G t G @1.21! +.+6, para una muestraaleatoria de tamaSo 16 que se selecciona de una distribución normal.

&olución:

&i se busca en la tabla el $alor de t 1.21 con 1 4rados de libertad nosdamos cuenta que a este $alor le corresponde un 5rea de +.+6 a la


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iquierda, por ser ne4ati$o el $alor. Entonces si se resta +.+6 " +.+6 se

tiene un $alor de +.++6, que equi$ale a . Lue4o se busca el $alor de+.++6 en el primer ren4lón con 1 4rados de libertad " se obtiene un $alor

de t #.K, pero como el $alor de est5 en el extremo iquierdo de lacur$a entonces la respuesta es t @#.K por lo tanto:

R@#.K G t G @1.21! +.+6

(.


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Pueda claro por tanto que la distribución Z de &nedecor tiene dospar5metros , que son m " n ; 4rados de libertad del numerador , 4rados delibertad del denominador.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCION DE )IS%ER

1.


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Solución:Ror la recomendación de que la $ariana muestral ma"or $a en elnumerador se tiene la si4uiente fórmula:

al despear: .En este caso los 4rados de libertad uno $alen 11 " los 4rados de libertaddos 16.

"Estos resultados los podemos interpretar de la si4uiente manera:Ruesto que este inter$alo de conOana inclu"e a la unidad, no es posibleaOrmar que las des$iaciones est5ndar de la ru4osidad de la superOcie de losdos procesos sean diferentes con un ni$el de conOana del K+J.

3. &i s1# " s## representan las $arianasde las muestras aleatorias independientes detamaSo n1 #6 " n# '1, tomadas de

poblaciones normales con $arianas

1# 1+ "#

# 16, respecti$amente, encuentreRs1#9s## T 1.#2!.

Solución:3alcular el $alor de Zis-er:

Lue4o se $a a la tabla de Zis-er a buscar '+ 4rados de libertad # con #4rados de libertad uno. 3uando se este en esta posición se busca adentrode la tabla el $alor de Zis-er de 1.IK. Al localiarlo " $er a la iquierda de

este $alor se obtiene un 5rea de +.K6, pero esta 5rea corresponder%a a laprobabilidad de que las relaciones de $arianas muestrales fueran menor a1.#2, por lo que se calcula su complemento que ser%a +.+6, siendo esta laprobabilidad de que s1#9s## T 1.#2.

MUESTREO


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La inferencia estad%stica estudia como sacar conclusiones 4enerales paratoda la población a partir del estudio de una muestra, " el 4rado deOabilidad o si4niOcación de los resultados obtenidos.

0uestreo probabil%stico3onsiste en ele4ir una muestra de una población al aar. Rodemos distin4uir$ariostipos de muestreo :

0uestreo aleatorio simple Rara obtener una muestra, se numeran los elementos de la población "se seleccionan al aar los n elementos que contiene la muestra0uestreo aleatorio sistem5tico &e eli4e un indi$iduo al aar " a partir de él, a inter$alos constantes, seeli4en los dem5s -asta completar la muestra.E/E0RLQ&i tenemos una población formada por 1++ elementos " queremos extraeruna muestra de #6 elementos, en primer lu4ar debemos establecer el

inter$alo de selección que ser5 i4ual a 1++9#6 . A continuación ele4imosel elemento de arranque, tomando aleatoriamente un número entre el 1 " el, " a partir de él obtenemos los restantes elementos de la muestra.#, 2, 1+, 1,..., KI0uestreo aleatorio estratiOcado &e di$ide la población en clases o estratos " se esco4e, aleatoriamente,un número de indi$iduos de cada estrato proporcional al número decomponentes de cada estrato.

E/E0RLQEn una f5brica que consta de 2++ trabaadores queremos tomar unamuestra de #+. &abemos que -a" #++ trabaadores en la sección A, 16+ en

la B, 16+ en la 3 " 1++ en la N.

Nistribución muestral


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• .[ndica el tamaSo muestral necesario para estimar dic-o tiempomedio con un el error de ] +,6 minutos " un ni$el de conOana delK6J.

n ^

Estimación de una proporción &i en una pob lación , una determinada caracter%stica se presenta en unaproporción p, la proporción p_ , de indi$iduos con dic-a caracter%stica enlas muestras de tamaSo n, se distribuir5n se4ún:

[nter$alo de conO ana para una proporción

El error m5ximo de estimación es:

EJEM&LO*En una f5brica de componentes electrónicos, la proporción de componentesOnales defectuosos era del #+J. Dras una serie de operaciones e in$ersionesdestinadas a meorar el rendimiento se analió una muestra aleatoria de6++ componentes, encontr5ndose que K+ de ellos eran defectuosos. 7Puéni$el de conOana debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no -asufrido $ariaciones8p +.# q 1 @ p +.I p_ K+9 6++ +.1IE +.# @ +.1I +.+#

R 1 @ \9# G1.1#! +.I2I21 @ +.I2I2 +.1'1+.I2I2 @ +.1'1 +.'?i$el de conOana: '.#J


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B[BL[QC`AZ[A

• Estad%stica inferencial " descripti$a, amora

• Rrobabilidad. &erie &c-aum @ &e"mour Lipsc-ut

• 4eor4e@c@cana$os@probabilidad@"@estadc'adstica@aplicaciones@"@mc'aKtodos

• Estadistica para administracion " economia Anderson1+t-

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