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Etapas de aprendizaje asociadas al concepto

función. Un estudio socioepistemológico

Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Matemáticas

TESIS

Presentada por

Luis Alberto López Acosta

Asesor

M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa

Para obtener el título de

Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Mérida, Yucatán Julio 2011

Agradecimientos

A Dios, por permitirme vivir esta bonita experiencia que es la licenciatura, por todas las

capacidades que me ha otorgado a lo largo de mi vida, así como la incesable alegría de vivir

y por estar siempre presente en mi vida. ¡Gracias, Señor!

A mi esposa Alba, por todo el amor que me ha brindado, por estar siempre conmigo,

apoyarme en mis decisiones y ayudarme a crecer como persona a lo largo de más de siete

años. Gracias Chiquita

A mi familia que siempre ha estado pendiente de mis logros y metas, en especial a mis padres

Luis López y Oliva Acosta, y mi hermano Omar por confiar siempre en mí y apoyarme en esta

etapa tan importante de mi vida. Los quiero mucho

A todos mis maestros que fueron fuente de inspiración a lo largo de estos cuatro años, en

especial a las maestras Rocío Uicab, Landy Sosa, Martha Jarero por estar siempre pendientes

y preocupadas por nuestra formación y desarrollo personal y profesional.

En particular a Eddie Aparicio por ser mi asesor y guía en este proceso tan emocionante que

es la investigación, así como por todos sus consejos, recomendaciones y experiencias

compartidas que me han ayudado a entender y comprometerme más con mi futuro desempeño

profesional.

A todos mis amigos de la licenciatura por haber compartido tantas experiencias gratas en

estos cuatro años de carrera ¡al fin lo logramos! César, Manuel, Arturo, Julio, Neftalí, Trinidad,

Margarita, Melby, Irene, Jorge, Aurora, Silvia, Rommel, Erik, Daniel, Yenny y a todos mis

demás compañeros, gracias por su apoyo y cariño, de verdad son como unos hermanos.

Por último y de manera atenta agradezco al PRIORI por su interés en apoyar la investigación

al permitirme desarrollar este trabajo.

ETAPAS DE APRENDIZAJE ASOCIADAS AL CONCEPTO FUNCIÓN. UN ESTUDIO SOCIOEPISTEMOLÓGICO

1

ÍNDICE

RESUMEN I

ABSTRACT II

PRESENTACIÓN IV

CAPÍTULO 1. LA PROBLEMÁTICA DE ESTUDIO 1

1.1 Introducción a la problemática de estudio 1

1.2 Explicaciones teóricas del aprendizaje matemático desde una perspectiva cognitiva

2

1.3 Explicaciones teóricas del aprendizaje matemático desde una perspectiva didáctica 9

1.4 La complejidad del aprendizaje matemático 12

CAPÍTULO 2. EPISTEMOLOGÍA DE LA FUNCIÓN 14

2.1 La génesis de la función 15

CAPÍTULO 3. MÉTODO DE INVESTIGACIÓN 26

3.1 Análisis preliminar 27

3.1.1 Consideraciones epistemológicas 27

3.1.2 Consideraciones cognitivas 28

3.1.2.1 Descomposición genética de la función 29

3.1.3 Consideraciones didácticas 31

3.2 Diseño del instrumento 32

3.3 Experimentación 36


2

3.4 Análisis de datos y resultados 36

3.5 Conclusiones del estudio 36

CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO 37

4.1 La Matemática Educativa 38

4.2 La Matemática Educativa en México 39

4.3 La teoría Socioepistemológica 40

4.4 La teoría APOE 43

4.4.1 Las construcciones mentales de la APOE 44

CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES 47

5.1 Respuestas del bloque 1 49

5.1.1 Resultados del bloque 1 55







5.5 Conclusiones 83

Bibliografía 86


I

RESUMEN

En el presente trabajo se tuvo como propósito recabar información sobre los

procesos cognitivos asociados al concepto función (función matemática), que llevan

a cabo estudiantes de bachillerato al momento de resolver una secuencia de

actividades propuesta por los investigadores. El trabajo se sustentó en la teoría

socioepistemológica a la investigación en matemática educativa, al considerar en el

estudio aspectos epistemológicos, didácticos, cognitivo y socioculturales que

permitieron situar el aprendizaje matemático desde una perspectiva sistémica y

múltiple. Complementariamente, se prestó especial atención a la componente

cognitiva, de manera que las explicaciones que se realizan están en función de este

aspecto y para ello se recurre a la teoría APOE (Acciones, Procesos, Objetos,

Esquemas) como referente teórico que posibilita profundizar en el entendimiento y

explicación de niveles o etapas de aprendizaje matemático.

En un primer capítulo se muestran aportaciones de investigaciones asociadas al

estudio del concepto de función. En primera instancia, se hace una síntesis de

algunas teorías de carácter cognitivo que explican el aprendizaje de la matemática,

incluyendo algunas ideas relevantes al concepto de función. Entre dichas teorías se

encuentran las ideas piagetianas sobre constructivismo social, que dieron pie a la

creación de la teoría APOE impulsada por Ed Dubinsky y su grupo de colaboradores.

También se realiza una descripción de teorías de corte didáctico que explican el

aprendizaje matemático desde tal perspectiva.

En el capítulo dos se presenta una descripción acerca de la epistemología de la

función de la cual se retoman aspectos importantes en el capítulo tres que junto con

algunas consideraciones didácticas y cognitivas, sirvieron como base para el

desarrollo del instrumento con el que se recabaron los datos y la información en esta

investigación.

Si bien las teorías de corte cognitivo intentan explicar el aprendizaje desde etapas o

estadíos por los que un individuo transita, desde nuestra perspectiva creemos que

las acciones, pensamientos y conductas de los individuos se encuentran


II

subordinadas o condicionadas a las experiencias que éstos tienen a lo largo de su

interacción con su cultura y sociedad.

Bajo la idea anterior y como se ha comentado antes, cobró sentido enmarcar el

presente trabajo en la perspectiva teórica socioepistemológica, perspectiva que se

detalla en el cuarto capítulo. Asimismo se describen los constructos teóricos de la

teoría APOE que ayudaron a explicar las etapas o niveles cognitivos de los

estudiantes de bachillerato.

Finalmente los datos, resultados y conclusiones derivados, se describen en el

capítulo cinco.

ABSTRACT

In this research work we have the purpose of gathering information about the mental

process in high school students related to the function concept, when they face to a

proposed sequence of activities by the investigators. The study was based on the

theory socioepistemological research in mathematics education, to consider in the

study epistemological, didactical, cognitive and social aspects that allowed placing

the mathematical learning from a systemic and multiple perspective. Complementary,

we gave more attention to the cognitive component, in such way that the performed

explanations are related with this aspect and for this we recurred to the APOS theory

(Action, Process, Objects, Schemas) as a theoretical referent that allows carrying

forward in the understanding and explanation of levels or stages in mathematical

learning.

In a first chapter shows the contributions of another research associate with the

didactical phenomenon of the function concept. In a first instance presents a

synthesis of some cognitive theories that explains the mathematical learning, and in

particular of the function concept. Between those theories founds the Piaget’s ideas

about the Social Constructionism that gave the basis to the creation of APOS theory

by Ed Dubinsky and colleagues, also performed a description of didactical theories

that explains the mathematical learning under this perspective.


III

In chapter two, we present a description about the function epistemology which takes

up relevant aspects in the third chapter along with didactical and cognitive

considerations, served as a basis to the develop of the instrument with which data

and the information in this research was gathered.

While the cognitive theories try to explain the learning process establishing stages or

steps where the individual transit, is considered that all the actions, thoughts and

conducts of the individuals are conditional or subordinated to the individual’s

interactions with their culture and society.

Under the previous idea and as mentioned before , made sense to frame this work in

the socioepistemological theory, perspective that is detailed in this chapter four. So it

describes the theoretical constructs of APOS theory which helps to explain the

cognitive levels or stages in high school students.

Finally, the data, results and conclusions drawn are described in chapter five.


IV

PRESENTACIÓN

Es común que cuando un profesor del área de matemáticas planea una clase, suela

hacerlo tomando en cuenta diversos factores, por ejemplo: el tema a enseñar, los

materiales y recursos didácticos necesarios para llevar a cabo su práctica en el aula,

ejercicios y ejemplos sobre el tema en cuestión, el tiempo de exposición, entre otros.

Todo, con el fin último de que los estudiantes “aprendan”. Sin embargo muy en el

pesar de muchos, también es común el que pocos profesores se pregunten acerca

de cómo un estudiante genera su aprendizaje, qué procesos lleva a cabo para

aprender la noción matemática en juego y la influencia que tiene el grupo de

personas que se encuentran dentro del aula de clase en su aprendizaje. De hecho,

esta tarea sería excesiva para un profesor de educación media superior, pues el tipo

de funcionamiento del sistema educativo “le exige” centrar su atención en aspectos

esencialmente distintos a los mencionados.

Asimismo, con las prácticas escolares predominantes se ha puesto en evidencia la

falta de aprehensión conceptual de los conocimientos matemáticos por parte de los

estudiantes, es decir, en tales prácticas se han favorecido aspectos relacionados con

la memorización de definiciones y algoritmos, el automatismo de procesos, la

ejercitación de habilidades resolutivas, ocasionando así que los estudiantes se

limiten a imitar técnicas y procedimientos que el profesor muestra durante su clase.

En consecuencia, la práctica del estudiante se aleja sobre manera de una práctica

constructiva e inventiva de su propio conocimiento en un sentido orgánico.

Los resultados de pruebas que miden el desempeño matemático de jóvenes

escolares tanto nacionales como internacionales son un reflejo de la ausencia de

construcción de conocimiento por parte de éstos. En dichas pruebas se ha dejado

ver no sólo la carencia de habilidades matemáticas en los estudiantes , sino los

aspectos centrales en contenido y que deben trabajarse. En tal escenario se precisa

la urgencia e importancia de favorecer la construcción del conocimiento matemático

en situaciones escolares.


V

En el trabajo de investigación realizado por Vázquez (2004) citado en Morales

(2008), se explica que son los defectos pedagógicos en la enseñanza de las

matemáticas lo que genera un total desinterés en los alumnos, debido a que no le

encuentran vinculación a lo que se enseña con las situaciones de la vida cotidiana.

La autora señala que a pesar de que existen múltiples investigaciones, los alumnos

siguen teniendo dificultad para apropiarse del conocimiento matemático; plantea

como algo necesario que los docentes en servicio sean los que realicen

investigación; la finalidad es conseguir que los alumnos comprendan las

matemáticas, se apropien de ellas, puedan aplicarlas y las uti licen en la vida

cotidiana.

Algunos aspectos necesarios para generar entendimiento y lograr explicaciones

sobre el aprendizaje matemático, sin duda lo constituyen los sistemas conceptuales

de las personas. Dar cuenta, por ejemplo de por qué algunos estudiantes pueden

actuar y hacer cosas que otros matemáticamente no, es información vital para todo

proceso educativo. Con tal tipo de información se estaría en mejores condiciones de

desarrollar diseños didácticos y ajustar prácticas educativas orientadas al

aprendizaje matemático en forma orgánica y con ello, de poco en poco, abandonar

las ideas simplistas que reducen la complejidad del aprendizaje a formas de

“trasmisión matemática”.

En este tejido de ideas, con el presente trabajo se tuvo como finalidad recabar y

aportar información sobre los procesos cognoscitivos que siguen jóvenes escolares

al momento de realizar ciertas tareas relacionadas con la matemática. Cabe

mencionar que con esta investigación se buscaba obtener y aportar datos

específicos sobre los niveles o etapas cognoscitivas presentes en jóvenes de

educación media superior, al momento de solicitarles realizar algunas tareas

orientadas a desarrollar aprendizajes matemáticos. Particularmente, tareas y

aprendizajes relacionados con el concepto función, sin haber tenido alguna

instrucción explícita al respecto.

CAPÍTULO 1

LA PROBLEMÁTICA DE ESTUDIO


2

1. LA PROBLEMÁTICA DE ESTUDIO

1.1 Introducción a la problemática de estudio

En todo proceso educativo intervienen factores de orden cognitivo y social (procesos

mentales y procesos sociales de comunicación e interacción). En este sentido,

analizar la forma en que tales procesos tienen lugar en un grupo de estudiantes y

generar posibles explicaciones sobre las etapas o fases de aprendizaje que se

alcanzan, resulta importante en cualquier intento por mejorar la calidad de la

enseñanza matemática en las aulas de clase.

Así, en el presente trabajo se plantearon como preguntas de investigación las

siguientes; ¿Qué niveles o etapas cognitivas se identifican en estudiantes durante su

proceso de aprendizaje de una noción o concepto matemático? ¿Qué papel juegan

los aspectos socioculturales en procesos de aprendizaje matemático específicos?

1.2 Explicaciones teóricas del aprendizaje matemático desde una perspectiva

cognitiva

En diferentes investigaciones se ha intentado entender el proceso de aprendizaje

desde un punto de vista cognitivo. Si bien dichas teorías se centran en los procesos

cognitivos del aprendizaje, cada una posee sus propios aspectos sobre los cuales

establecen sus fundamentos.

Algunas teorías se enfocan en la relación entre sujeto (quien aprende ) y objeto (lo

que se aprende), tal es el caso de la teoría sobre el desarrollo del pensamiento

avanzado en matemáticas impulsada por Tall y Vinner (1981), quienes entendieron el

aprendizaje matemático como un proceso complejo que se encuentra en estrecha

relación con el concepto matemático en juego y las experiencias que los individuos

tengan con este, dicho de otra forma, el contexto ligado al concepto es lo que da una

idea sobre lo que significa y que evoluciona sin la necesidad de una definición formal

en la mente del individuo, de manera que se forman símbolos o nombres que

permiten al individuo comunicarlo hacia otros. Dichos símbolos y nombres mentales,


3

son más que puras imágenes coloridas, ya que se puede hacer referencia a

procesos y características particulares del concepto, sean conscientes o

inconscientes, que afectan su significado y uso.

Estas imágenes mentales fueron definidas por ambos como concepto imagen1:

Usaremos el término concepto imagen para describir la estructura

cognitiva total que es asociada con el concepto, que incluye todas las

imágenes mentales, propiedades y procesos asociados. Que es

construida a lo largo de los años a través de experiencias de todo tipo,

cambiando conforme el individuo recibe nuevos estímulos y madura.

Tall y Vinner (1981, p.152).

Cuando el individuo evoca porciones de las imágenes mentales en situaciones

específicas, es lo que se conoce como concepto imagen evocado. A su vez, al

evocar consciente o inconscientemente imágenes mentales, este se encuentra con

conflictos, debido a que no hay una total coherencia entre cada una de dichas

imágenes, por lo que el cerebro trata de acomodarlas a lo largo de un proceso

continuo, que proporcionará al individuo un concepto definición, que no es más que

el conjunto de palabras que el individuo usa para referirse a un concepto (Tall y

Vinner, 1981).

En cuanto al concepto de función matemática, estos autores señalan que para

aprehenderlo se requiere relacionar tanto las representaciones mentales como los

procesos y propiedades características asociados a este, para conseguir que de

acuerdo a las experiencias del aula, los estudiantes acerquen sus imágenes a la

definición formal (Montiel, 2005).

Del mismo modo que los autores anteriores, en la teoría de las representaciones

semióticas desarrollada por Duval, se hace referencia de nuevo a una relación entre

objeto y el sujeto, con la diferencia que en esta teoría se hace explícito la existencia

de representaciones mentales que son entendidas como todo aquel conjunto de

1 Traducción realizada por el autor de este trabajo


4

imágenes y concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una

situación y sobre aquello que le está asociado. Las representaciones semióticas son

las producciones construidas por el individuo haciendo uso de signos , que a su vez,

son un medio por el cual el individuo exterioriza sus representaciones mentales con

el fin de ser comunicadas a otros (Aparicio y Sosa, 2009).

Duval (1998) define dos términos esenciales en su teoría, la semiosis y la noesis. El

primero lo define como la aprehensión o producción de una representación semiótica

y el segundo como los actos cognitivos ligados a la aprehensión conceptual de un

objeto. Señala también que para la adquisición de un concepto, necesariamente

debe adquirirse la habilidad de transitar de una a varias representaciones semióticas

de un mismo objeto, con esto establece una relación entre la semiosis y noesis de

manera que no puede haber noesis sin semiosis (D’ Amore, 2004).

Por tanto, desde esta perspectiva, el aprendizaje matemático de los conceptos

depende estrechamente de la capacidad de usar y transitar entre más registros de

representaciones semióticas de esos conceptos, en otras palabras, de la habilidad

para:

1. Representarlos en algún registro dado;

2. Tratar tales representaciones al interior de un mismo registro ;

3. Convertir tales representaciones de un dado registro a otro .

Precisamente y según D’Amore (2004), esas tres “acciones” sobre los conceptos, es

decir, la expresión misma de la capacidad de representar los conceptos, de tratar las

representaciones obtenidas al interior de un registro establecido y de convertir las

representaciones de un registro a otro, es lo que Duval entiende por aprendizaje

matemático.

Como puede observarse, tanto en la perspectiva de Tall y Vinner como en la de

Duval, la base la constituye la relación entre el individuo y el objeto por aprender, tal

y como Kant señaló en su época, el conocimiento es el resultado de un contacto

entre un sujeto que aprende y un objeto de conocimiento (D’ Amore, 2004).


5

Algunos investigadores consideran también la relación entre sujeto y objeto, sin

embargo, centran más su atención en el objeto de tal manera que intentan explicar

todo aquello que permite dar cuenta de éste. En esta categoría se puede considerar

la teoría de los campos conceptuales desarrollada por Vergnaud, quien puso

especial interés en uno de los conceptos clave de su teoría, el esquema, el cual

define como la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones

dada.

En la teoría de los campos conceptuales, como se mencionó antes, se centra la

atención en el estudio de los conceptos, no hay un interés enfático por las

estructuras cognitivas del sujeto, sino en la conceptualización de lo real, es decir, en

la posibilidad de realizar un análisis sobre la relación entre los conceptos y los

invariantes operatorios implícitos en las conductas del sujeto ante una determinada

situación.

En Moreira 2002, se explica que Vergnaud asume como premisa que el conocimiento

está organizado en campos conceptuales cuyo dominio, por parte del sujeto, ocurre a

lo largo de un extenso período de tiempo, a través de experiencia, madurez y

aprendizaje. Campo conceptual es para este último, un conjunto informal y

heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras,

contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y,

probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición (Moreira, 2002, p. 2)

En consecuencia, un concepto es entendido como una tripleta de tres conjuntos:

1. Conjunto de situaciones que dan sentido al “concepto” (la referencia).

2. Conjunto de invariantes sobre los cuales reposa la operacionalidad de los

esquemas (el significado).

3. Conjunto de formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar

simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los

procedimientos de tratamiento (el significante).


6

Por tanto, según esta teoría, es en los esquemas donde se puede ver o investigar los

conocimientos que el sujeto posee sobre determinado concepto matemático.

Las aportaciones de Vergnaud al estudio del aprendizaje matemático se centran en

lo que él denomina teorema-en-acto, es decir, una proposición sobre lo real de

naturaleza válida para ciertas situaciones. Este término se refiere a que los

individuos, inconscientemente de acuerdo a sus experiencias y razonamientos,

suponen el conocimiento de algunos teoremas matemáticos, empero, con

limitaciones de validez desde el punto de vista matemático.

De acuerdo con Vergnaud (1994); citado en Moreira (2002) entre los más

importantes teoremas-en-acción desarrollados por los estudiantes, se encuentran las

propiedades isomórficas de la función lineal:

Y las propiedades de coeficiente constante de esta misma función

Además de algunas propiedades específicas de funciones bilineales como

Entre otras perspectivas cognoscitivas de análisis sobre los procesos de adquisición

de aprendizajes, se puede distinguir la impulsada por Piaget, quien se interesó por

desarrollar una teoría del conocimiento que pudiera sustentarse experimentalmente.

Piaget y García establecieron una teoría epistemológica en la que se preocuparon

por entender las normas cognoscitivas de los sujetos que les permiten llegar a los

procesos de la constitución del saber. Ellos sientan las bases para la explicación del


7

“conocer”, “comprender”, “explicar”. La explicación surge de la investigación de los

procesos de cambio de un nivel a otro, más que del análisis de los estados en cada

nivel (García, 2000) citado en Maass (2008).

En Piaget y García 2004, se menciona que “el desarrollo del conocimiento no se

realiza por la agregación continua de nuevos conocimientos (…), sino por etapas que

representan niveles cognoscitivos característicos; y en cada etapa hay una

reorganización de los conocimientos adquiridos en la etapa anterior”. Las etapas a

las que se refieren los autores, se les denomina intra, inter y trans; y lo que

representan cada una de ellas es el grado de interrelación que el individuo posee

sobre las acciones y procesos que definen un concepto matemático, es decir, la

evolución del conocimiento matemático y sus posibilidades de razonamiento frente a

ciertos conocimientos matemáticos (Oktac y Roa-Fuentes, 2010).

Según ambos autores, la construcción de un conocimiento matemático se asocia con

las estructuras que el individuo tiene previamente y las nuevas que pueda hacerse

del objeto de acuerdo a su experiencia con este. Este proceso de relación entre lo

previo y lo nuevo es lo que llamaron como asimilación y puede verse como un

mecanismo que consiste en considerar al conocimiento matemático como una

relación indisociable entre el sujeto y el objeto, donde el objeto es el contenido al cual

el sujeto le impone una forma extraída de sus estructuras anteriores, empero

ajustadas al contenido, y modifica el esquema asimilado por medio de

acomodaciones o las diferenciaciones en función del objeto que acaba de asimilar

(Piaget y García, 2004; citados en Oktac y Roa-Fuentes, 2010).

Así, la asimilación puede entenderse como un proceso de acomodación y

estructuración entre las estructuras previas del individuo y las nuevas, perceptibles

de acuerdo a su relación dialéctica con el objeto.

Un individuo construye su conocimiento matemático por medio de un proceso de

abstracción. Piaget caracterizó tres tipos de abstracción: empírica, pseudoempírica y

reflexiva. De las cuales, la última se refiere a la capacidad del individuo para abstraer

propiedades y características de los objetos que lo llevan a realizar acciones sobre


8

estos, interiorizando y coordinando las acciones en nuevos objetos cognitivos,

producto de una situación específica (Dubinsky, 1991; citado en Oktaç y Roa-

Fuentes, 2010).

Las reestructuraciones que el individuo realiza en el proceso de asimilación son las

que definen su esquema del concepto y se va modificando al enfrentar nuevas

situaciones problemáticas en las que dicho esquema no funciona de manera

satisfactoria.

Según Weyer (2010), Ed Dubinsky desarrolló la teoría APOE siguiendo muy de cerca

el trabajo de Piaget, la cual se puede pensar como una extensión de la etapa de las

operaciones formales desarrollada por este investigador, considerando conceptos

más complejos, tomando como punto de partida la abstracción reflexiva,

estableciendo cuatro tipos de estructuras que describió como construcciones

mentales asociadas a las conexiones entre las estructuras previas y las nuevas que

el individuo posee de un concepto matemático.

Tal tipo de construcciones las llamó: acciones, procesos, objetos y esquemas. De ahí

el nombre de su teoría APOE (conocida también como APOS por sus siglas en

inglés) y por tanto su perspectiva del conocimiento matemático es la siguiente:

El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a

responder a las situaciones matemáticas problemáticas en un contexto

social, y construyendo acciones, procesos y objetos y organizándolos

en esquemas con el fin de manejar las situaciones y resolver los

problemas (Dubinsky & McDonald, 2001, p. 276; citados en Oktaç y

Roa-Fuentes, 2010).

A las construcciones que se describen en la teoría APOE también se les puede

considerar como niveles cognitivos del entendimiento de un concepto matemático.

Una descripción más detallada de la teoría se presenta en el capítulo del marco

teórico, ya que ésta se usó para describir las etapas o niveles cognitivos de los

estudiantes de bachillerato asociados al concepto función.


9

Con respecto a la función, se reporta la complejidad de pasar de una concepción de

acción a la de proceso, al igual que se menciona que desarrollar un esquema bien

definido sobre función, es aún más complicado, ya que en el esquema de función

intervienen otros conceptos. En uno de sus estudios encuentra restricciones

asociadas a las concepciones que los estudiantes tienen sobre lo que es una

función, imposibilitando el tránsito entre niveles. Como ejemplo se tienen las

siguientes (Dubinsky y Harrel, citados en Weyer 2010):

Restricción de manipulación. El estudiante considera que para que “algo” sea

función, se necesita la manipulación por ejemplo, de una expresión

matemática, o bien, se deben realizar operaciones de cualquier tipo con

números o cantidades.

Restricción de cantidades. En este tipo de restricción el estudiante piensa que

los valores de entrada y de salida tienen que ser necesariamente números

para decir que “algo” es una función.

Restricción de continuidad. La representación gráfica de una función tiene

que ser continua, de lo contrario no representa una función.

1.3 Explicaciones teóricas didácticas del aprendizaje matemático

En algunas teorías del aprendizaje matemático se considera que no basta con

estudiar simplemente los procesos cognoscitivos que los individuos llevan a cabo

para aprender, sino que es importante estudiar de manera sistémica toda acción

intencionada para producir los aprendizajes matemáticos.

Como ejemplo de estas teorías se tiene la teoría de las situaciones didácticas

desarrollada por Brousseau. En dicha teoría se recurre a las ideas de Piaget

referentes al aprendizaje por medio de procesos de asimilación y acomodación. En

ella, con las situaciones didácticas se pretende “modelar” y contrastar empíricamente

los fenómenos didácticos que surgen en el ámbito de un sistema didáctico, a partir

de la problematización y cuestionamiento de un conocimiento matemático enseñado

(Aparicio y Sosa, 2009).


10

Una noción aprendida no es utilizable sino en la medida en la que ella

es relacionada con otras, estas relaciones constituyen su significación,

su etiqueta, su modo de activación. Empero, no es aprendida sino es

utilizable y utilizada efectivamente, es decir, sólo si es la solución de un

problema. Tales problemas, junto con las restricciones a las que la

noción responde, constituyen la significación de la noción […]

(Brousseau, 1983, p.169-171).

En el marco teórico de las situaciones didácticas, un problema se considera como

toda aquella situación a la que el estudiante se enfrenta de manera que al interactuar

con ésta en un medio específico, produce en él un desequilibrio, que le implicará

naturalmente una necesidad interna de ajuste de conocimientos. En este ajuste es

donde se realizan las operaciones de asimilación y acomodación de la información,

en otras palabras, el sentido de desequilibrar cognitivamente al estudiante lo lleva

inherentemente a buscar una asociación entre todo su acervo cognitivo con aquello

que ocasiona dicho desbalance. En la medida en que el individuo logre una

acomodación de la información nueva con la previa, se producirá un conocimiento

matemático (aprendizaje en el sentido escolar).

En este sentido se puede pensar que todo conocimiento es una respuesta, una

adaptación que la humanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante

problemas que se ha planteado (Aparicio y Sosa, 2009). Bajo esta perspectiva

resulta importante enfrentar al estudiante a situaciones problemáticas que le

permitan llevar a cabo procesos adaptativos de los conocimientos que ya posee para

dar solución a estas, para que así, éste pueda construir su propio conocimiento.

Una situación didáctica se puede definir como el conjunto de relaciones y situaciones

en las que se encuentran involucrados profesor y alumno, de tal manera que el

profesor propone ciertos problemas al estudiante con la finalidad de buscar en este

último un desempeño lo más independiente posible que le permita establecer

conjeturas, estrategias, hipótesis, convencer a otros y acordar con otros sobre lo que

se aprende.


11

Cabe mencionar que si bien la situación didáctica tiene como intención la

construcción del conocimiento, ésta en realidad se mira como un “medio”, ya que la

construcción no se encuentra en ella, sino en otro tipo de situaciónes denominadas

adidácticas, que son aquellas actividades y tareas no planeadas que el estudiante

realiza al interactuar con la situación didáctica. Se reconocen cuatro tipos de

situaciones adidácticas: acción, formulación, validación e institucionalización, en

cada una de las cuales se percibe un nivel de interacción entre los actores de la

situación didáctica, siendo como meta llegar a la situación de institucionalización en

la que el grupo o clase junto con el profesor se encargan de significar socialmente los

conocimientos desarrollados durante todo el proceso de la situación.

Otra teoría didáctica igualmente muy reconocida es la teoría de lo antropológico de

lo didáctico impulsada principalmente por Chevallard.

En esta teoría se considera al conocimiento matemático como algo erudito y

preexistente y se ofrece explicaciones sobre los procesos y mecanismos que siguen

sobre los saberes que son designados como saberes enseñables (Aparicio y Sosa,

2009).

Según lo antropológico de lo didáctico, un saber que se designa para ser enseñado,

sufre una serie de transformaciones que lo convertirán en un contenido apto para ser

llevado al aula de clases (objeto a enseñar), estas transformaciones que se ocupan

de convertir un objeto de saber en un objeto de enseñanza se le conoce como

transposición didáctica.

De acuerdo a lo que señala Chevallard (1991), se considera que un saber es un

conocimiento en su estado puro, es por decirlo así, el concepto matemático mismo,

mientras que los saberes que los estudiantes aprenden en el aula (objeto de

enseñanza) son versiones de este saber puro o erudito (objeto de saber), productos

de la transposición didáctica. Se reconoce entonces una importancia por estudiar las

transposiciones de los saberes, ya que se podría pensar que habrá tantos saberes a

enseñar, fuentes de transposiciones didácticas, profesores, como libros de texto, etc.


12

Como consecuencia del estudio de la transposición, se hace necesario bajo este

marco llevar a cabo una vigilancia epistemológica de los saberes matemáticos con el

fin de producir transposiciones lo más correctas y favorables posibles.

Según la teoría antropológica de lo didáctico, los objetos de saber son “nociones

matemáticas” que pueden ser objetos y herramientas de estudio, que pueden tener

forma de definición o de construcción donde las definiciones poseen propiedades.

Entre las nociones que se mencionan anteriormente , algunas son consideradas

como enseñables, llamadas nociones matemáticas y otras no, denominadas

nociones paramatemáticas y protomatemáticas. Las nociones matemáticas están

ligadas a definiciones, propiedades y un cierto número de usos, tales como la noción

de recta, de número, de función, de derivada, entre muchas otras. Por el contrario las

nociones paramatemáticas y protomatemáticas son nociones que no poseen

definición ni propiedades y funcionan como herramientas y estrategias que le

permiten al estudiante trabajar con las nociones matemáticas. Como ejemplo se tiene

la noción de ecuación, de parámetro, de demostración, métodos de división de

polinomios, métodos de resolución de ecuaciones, entre otras.

En ocasiones se ha visto que se presta mayor importancia a las nociones

paramatemáticas y protomatemáticas que a las nociones matemáticas, ocasionando

que los estudiantes no logren distinguir lo que es un conocimiento matemático en sí

(objeto matemático), de aquellos métodos o procesos que permiten trabajar los

conceptos y comprenderlos.

Por tanto, en esta teoría, más que modelar el aprendizaje de la matemática, se

explica en sí el conocimiento matemático y el proceso que lo lleva hasta el seno del

aula, en la que los estudiantes lo aprenden dependiendo de la transposición didáctica

que se les proporciona.

1.4 La complejidad del aprendizaje matemático

Las teorías cognitivas y didácticas sobre el aprendizaje matemático resultan de

mucha importancia, ya que las diferentes perspectivas que se plantean en cada una


13

de estas, permiten analizar desde diferentes puntos de vista cómo se pueden

generar aprendizajes en forma significativa y, como se ha comentado previamente, el

análisis de las diferentes perspectivas de aprendizaje pueden ayudar a plantear

escenarios y situaciones que favorezcan la construcción del conocimiento. Sin

embargo, desde nuestra perspectiva, pensamos que no es suficiente estudiar el

aprendizaje exclusivamente desde una perspectiva, sino por el contrario, resultaría

más importante situar el aprendizaje matemático desde una perspectiva sistémica

que involucre aspectos como la cognición del individuo, la didáctica, la epistemología

de los saberes, así como las condiciones socioculturales que enmarcan o

contextualizan las experiencias de los individuos, las cuales definen la forma en que

se desenvuelven en sociedad afectando formas de adquisición de conocimientos.

Por tanto, se puede hablar de una complejidad en el estudio del aprendizaje

matemático, motivo por el cual nos interesamos en realizar esta investigación.


14

EPISTEMOLOGÍA DE LA FUNCIÓN

CAPÍTULO 2


15

2. EPISTEMOLOGÍA DE LA FUNCIÓN

Dado que este trabajo se encuentra enmarcado en la teoría socioepistemológica, en

la cual se considera a la epistemología como componente del sistema de

construcción del conocimiento, en este capítulo se presenta una revisión

epistemológica del concepto función.

2.1 La génesis de la función

Para abordar la epistemología de la función, se puede hablar sobre las situaciones,

contextos y paradigmas que permitieron la génesis de este concepto, sin embargo,

cabe aclarar que como muchas otras nociones matemáticas, la función no presentó

un desarrollo ajeno a otras como la derivada, la integral y el límite, sino por el

contrario, un estudio sobre el desarrollo conceptual del Cálculo deja ver que, como

todo conocimiento humano, ésta surge vinculada a otros tipos de conocimiento, a

esto es lo que Vergnaud referiría como parte de un campo conceptual del Cálculo .

No obstante, es posible seleccionar partes del desarrollo conceptual del Cálculo, con

las que se da muestra de la evolución de la noción de función hasta lo que se conoce

hoy día.

Así, podemos decir que en la época de los babilonios y los egipcios se registraban en

tablas y papiros relaciones numéricas que datan desde el año 1850 a.C. En los

registros tabulares se podían encontrar desde tablas de cuadrados de números,

hasta tablas en las que se especificaban ternas de números que cumplían la relación

de Pitágoras. En este sentido, se puede decir que se inició el desarrollo de la noción

de función, ya que en un principio no se tenía una idea de lo que significaba la

variable por la naturaleza de lo que se estudiaba en tales épocas. Además, Sastre

(2005); citado en López (2007), señaló que “el conteo implica correspondencia entre

un conjunto de objetos y una secuencia de números para contar y las cuatro

operaciones aritméticas elementales son funciones de dos variables”. Con lo anterior,


16

puede considerarse que en sus inicios, la función apareció implícitamente en forma

de relaciones numéricas definidas por las operaciones aritméticas.

Aunado a las representaciones tabulares se puede reconocer en ambas culturas una

gran habilidad para formular ecuaciones en las que se hacían explícitas relaciones

entre magnitudes que permitían en cierto sentido, hablar de una dependencia entre

ellas. Como ejemplo se pueden mencionar ecuaciones que establecían la relación

entre los lados de un cuadrado y su área, así como ecuaciones para el cálculo de

volúmenes.

Las aportaciones que tales culturas realizaron a la matemática, sin duda resultaron

importantes; sin embargo, respecto a la función, no se produjo una intención por

estudiarlo como objeto matemático, pues como se ha mencionado, el contexto que

enmarcaba la matemática era predominantemente el estudio de magnitudes físicas y

geométricas, que hasta cierto punto podrían considerarse como “tangibles”, o bien,

aquellas que podían ser medibles sin problemas con los instrumentos de la época.

En el mismo sentido, en la matemática griega no se presentó en todo su desarrollo,

una conceptualización de la función, ya que se centró la atención en estudiar

magnitudes que pudieran ser representadas geométricamente. A diferencia de las

culturas mesopotámicas, los griegos trabajaron implícitamente la idea del límite,

permitiendo establecer grandes resultados que posteriormente serían formalizados

con el cálculo infinitesimal.

Entre las posibles aportaciones griegas respecto a la función, se pueden comentar

las que Arquímedes realizó, en las cuales se establecen las relaciones entre figuras

geométricas. Por ejemplo, en su obra la cuadratura de la parábola se demuestra que

el área de un segmento de parábola es igual a cuatro tercios del área de un triángulo

con igual base y altura, recurriéndose a un sistema de coordenadas oblicuo XY y

describiéndose que la ecuación de una parábola es de la forma . En estas

afirmaciones puede notarse un primer acercamiento de la relación entre una curva y

la expresión algebraica que describe el comportamiento de las cantidades e , en

el que aún permanece oculto el concepto de función.


17

No fue hasta el segundo cuarto del siglo XIV que el problema de la cuantificación y el

cambio fue abordado por parte de un grupo de filósofos naturales y lógicos del

Colegio de Merton, en Oxford, pues en la matemática griega el concepto de variación

continua de cantidades no apareció, esto debido a que manejaban cantidades

numéricas y discretas o geométricas y estáticas, ocupándose en pocas palabras, del

estudio del movimiento uniforme (lineal o circular), de modo que conceptos como

aceleración y velocidad instantánea, carecían de sentido.

Los escolásticos de Merton estuvieron interesados en el estudio de la intensidad de

cualidades, sobre las cuales merecen especial atención las de movimiento y

velocidad. En sus estudios obtuvieron resultados importantes como la regla de

Merton, en la cual se establece que:

Si un cuerpo se mueve con aceleración uniforme durante un intervalo de

tiempo dado, la distancia total es tal como aquella que se tendría

durante el mismo intervalo de tiempo con una velocidad uniforme igual

al promedio de su velocidad inicial y su velocidad final (es decir, su

velocidad instantánea en el punto medio del intervalo de tiempo)

Cantoral y Farfán (2004, p. 52).

Lo anterior puede expresarse como sigue: , en donde es la

longitud del intervalo considerado.

En 1930, Nicole Oresme introdujo el importante concepto de representación

geométrica Configurations de intensidad de cualidades, en el que analizó fenómenos

cambiantes. Tras su estudio él propuso que dada una cualidad y un intervalo que

refiere a ésta, se puede representar geométricamente como una línea, a lo que

denominó longitud y otra línea perpendicular en un punto específico de la longitud

que representaría la intensidad de la cualidad en ese punto específico; denominando

dicha línea como altitud.

Con respecto a la regla de Merton referente a la velocidad media, Oresme realizó

una demostración utilizando su método geométrico como se ilustra a continuación:


18

Figura 2.1

Si se observa la figura 2.1, se representa el caso del movimiento uniformemente

acelerado durante un intervalo de tiempo , correspondiente a la longitud , una

ordenada cuya longitud es la velocidad en el instante correspondiente, por lo que

el lado superior de la configuración, es una gráfica tiempo contra velocidad.

Oresme vio que la definición de aceleración uniforme implica que es un segmento

de línea recta y que la configuración es un trapezoide con base y alturas

y , supuso sin prueba explícita que el área de este trapezoide, es

igual a la distancia total recorrida, quizá basándose en el aspecto visual como

constituida por muchos segmentos verticales o indivisibles, cada uno de los cuales

representa una velocidad continua para un tiempo corto. De cualquier modo, a partir

de la fórmula del área de un trapezoide se sigue inmediatamente que

.

En el trabajo de Oresme se puede observar cómo se da inicio a la matemática de la

variación y el cambio, contexto en el cual a través de estudiar la velocidad y el

movimiento, surge la función, ya que si analizamos por ejemplo la regla de Merton,

se puede observar la relación que existe entre el tiempo y la velocidad. Gracias al

trabajo de Oresme se pudo mirar la descripción de las leyes que gobiernan los

fenómenos reales, además de que realizó una gran aproximación a las cantidades

continuas al poder imaginarlas en una recta, que posteriormente serían definidos con

mayor detalle y formalidad por Descartes y Fermat.

Tanto Fermat como Descartes se les conocen como los iniciadores de la geometría

analítica. En esta última se consideraba primordial el estudio de la correspondencia


19

entre una ecuación y el lugar geométrico, generalmente una curva, que

consiste en todos los puntos cuyas coordenadas relativas a dos ejes fijos

perpendiculares que como se muestra en la figura 2.2, satisfacen la ecuación.

Fermat decía que:

Cuando en una ecuación dos cantidades desconocidas se encuentran,

tendremos un lugar geométrico, y la altura de una de éstas (la ordenada

por ejemplo) describirá una línea, recta o curva (Cantoral y Farfán,

2004, p. 74).

En la proposición anterior, Fermat de alguna manera comenzaba a establecer una

idea prematura de la arbitrariedad en la que parámetros y variables se unen para

formar expresiones algebraicas, además de que la forma de la representación gráfica

depende de cómo se relacionen los elementos anteriores dada una ecuación. Por su

parte, Descartes empleó la notación algebraica que aún predomina en nuestros días,

en la que a los parámetros se les asigna las primeras letras del abecedario y las

últimas letras para designar a las variables. En La Géometrie (La geometría) afirma

que una curva puede dibujarse al permitir que una línea tome sucesivamente un

número infinito de valores distintos. Esto lleva a la noción de función asociado a la

construcción de una curva, ya que Descartes pensaba en términos de la magnitud de

una expresión algebraica que toma infinitos valores (López, 2009).

Como unos de los inventores del Cálculo infinitesimal al igual que Leibniz, Newton

dedicó gran parte de su obra a formar modelos conceptuales de las situaciones

Figura 2.2


20

físicas reales, permitiéndole establecer modelos matemáticos en los que relacionó

variables como aceleración, distancia, velocidad, tiempo; modelos como la ley de

gravitación universal en la que establece que: , donde y se refieren a

las masas de dos objetos, mientras que denota la distancia de separación entre los

centros de gravedad de ambos objetos y representa la constante de gravitación

universal. Cabe aclarar que Newton partió de un resultado que Gali leo ya había

demostrado, quien para el siglo XVI ya tenía una gran habilidad para generar

relaciones entre variables. Por tanto, para este momento en el que Newton comienza

a estudiar fenómenos de variación más complejos que los que se habían estudiado

hasta la época, la matemática de variación despega de manera considerable, lo cual

permitió notar a la función como objeto matemático.

El primer matemático en referirse a la función con un significado no-matemático fue

Leibniz, quien en agosto de 1673 escribió:

… otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna

función.

Tiempo después en septiembre de 1694 Johann Bernoulli le describió a Leibniz lo

que entendía como función por medio de una carta. En esta plasmó la siguiente

definición:

… es una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades

indeterminadas y constantes.

Bernoulli se adentró al estudio de la función, cuando se encontraba realizando

trabajos sobre el cálculo de variaciones en los cuales las soluciones eran funciones

(López, 2009).

Es así que el terreno para el estudio de la función se había preparado y por

consiguiente, el desarrollo de las ideas relativas a ésta fue por así decirlo,

apresurado.

Para el siglo XVIII ya se había iniciado el estudio de la función como protagonista de

la matemática. En 1748 se publica la obra Introduction in analysis infinitorum, por


21

quien se considera figura predominante de la matemática de esa época, Euler. Él

rechazó de manera rotunda los argumentos geométricos para justificar la ciencia de

los infinitesimales, para desarrollar una teoría formal de funciones. En su obra definió

la función de la siguiente manera:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica

formada arbitrariamente a partir de la cantidad variable y de números o

cantidades constantes (Cantoral y Farfán, 2004, p. 102).

Resulta importante aclarar que al escribir Euler “expresión analítica formada

arbitrariamente”, se refería a que las operaciones que definían dicha expresión

analítica podrían ser aritméticas, trascendentales, e incluso números complejos.

También realizó una clasificación2 de los tipos de función que según él existían

(figura 2.3).

Otra aportación que hizo Euler a la teoría de funciones fue considerar a las

cantidades trigonométricas como funciones, ya que hasta entonces, eran

consideradas cantidades relacionadas con la circunferencia.

2 Posterior al problema de la cuerda vibrante, Euler clasificó las funciones como continuas y discontinuas

Función

Algebraicas

Racionales

Enteras

Fraccionarias

Irracionales

Trascendentes

Uniformes

Multiformes

Pares

Impares

Explícitas

Impícitas

Figura 2.3


22

Del mismo modo que Euler desarrolló métodos para expresar algunas funciones

como series, con la ayuda del binomio de Newton, a principios del siglo XVIII, se

publicaron los trabajos de Taylor y Mclaurin. El primero publicó la obra Methodus

incrementorum directa et inversa, la cual contiene el método de desarrollo en serie

para las funciones. Según lo que mostraba Taylor en su obra se piensa que tenía

como fin estimar el valor de una ordenada a partir del conocimiento de otra que se

encuentre ubicada en sus proximidades. En este sentido, ambos personajes emplean

a la función como una herramienta para la estimación de valores, la intención del

desarrollo en serie era el de encontrar una función equivalente para operar de

manera más sencilla, y así determinar qué sucede con valores de interés.

Tiempo después D’Alambert publicó un trabajo relativo al problema de la cuerda

vibrante en el que señalaba que la solución del problema debía ser una función, la

cual estuviera representada por una única expresión analítica. Euler respondió a la

afirmación de D’Alembert comentando que por razones físicas, expresiones más

generales para la forma inicial tenían que permitirse, pero D’Alembert no estaba de

acuerdo con Euler, iniciando de esta forma una larga controversia sobre la naturaleza

de las funciones que se permitían como condiciones iniciales y en las integrales de

las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales continuaban apareciendo en

cantidades cada vez mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la

aerodinámica y la geometría diferencial (López, 2009).

El debate de ideas surgido por los planteamientos respecto al problema de la cuerda

vibrante impulsó a Euler a publicar en 1755, su Institutiones calculi differentialis, en el

cual presentó la siguiente definición de función:

Si algunas cantidades dependen de otras de tal modo que si estas

últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras

cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se

aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que

una cantidad puede ser determinada por otra. Por tanto, si denota una

cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de de


23

cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas

funciones de .

En esta definición se puede ver que se aleja de su primera definición, centrada más

en las expresiones analíticas que definen una relación entre las variables, dado que

se presta mayor atención a la relación que guardan las variables. Además conviene

destacar que define explícitamente una dependencia entre variables, concepto clave

para la teoría moderna de las funciones.

Posterior a la definición de Euler en 1755, surgieron otras definiciones, entre las

cuales destacan las de Lacroix en 1797:

“Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama

una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es

necesario usar para llegar de la última a la primera”.

Cauchy en 1821 da a conocer una definición que hace de la dependencia entre

variables, el centro del concepto función. En su Cours d'analyse escribió:

Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor

de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las

otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como

expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de

variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la

variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de

esta variable.

Durante el período de la revolución industrial y gracias a la invención de la máquina

de vapor, se desarrolló la teoría del calor, de la cual Fourier fue el principal referente.

Fourier llegó a determinar el comportamiento del flujo de calor en los cuerpos sólidos

al estudiar la propagación de calor de un prisma rectangular inmerso por largo tiempo

en un medio con temperatura constante, como producto de estos estudios se tiene la

siguiente definición de función en su trabajo Théorie analytique de la Chaleur en

1822:


24

En general, la función representa una sucesión de valores u

ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de

valores de la abscisa , hay un número igual de ordenadas . Todas

tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No

suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se

siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está

dada como si fuera una cantidad sola.

Las aportaciones de Fourier no fueron bien recogidas en su época debido a que

estableció que cualquier función dentro del intervalo admite un desarrollo en

serie de senos y cosenos. Esto despertó su interés por refinar su resultado, además

de otros matemáticos como Dirichlet quien verificó que la función de la que Fourier

hablaba debía cumplir condiciones de continuidad, lo que eventualmente lo llevó a

definir a la función como sigue:

Si a cada de un intervalo corresponde un único finito, de manera

que cuando recorre continuamente el intervalo, también

cambia gradualmente, se dice que es una función continua de . No

es necesario que dependa de con la misma ley en todo el intervalo,

ni tampoco es preciso que la dependencia sea expresable por medio de

operaciones matemáticas.

En esta revisión epistemológica del concepto función, se advierte que en la definición

de Dirichlet hay una nueva afirmación que define a la función muy parecida a la

actual, en la que se enfatiza la correspondencia única entre la variable dependiente y

la independiente. Empero que aún no terminaba por consolidarse una definición

matemática compartida como la que hay en nuestros días, producto de la teoría de

conjuntos de George Cantor en el siglo XIX.

Como se pudo ver a lo largo de este capítulo, el concepto función surge ligado en un

principio a realidades en las que la geometría de las figuras no permitía dar cuenta

de ésta, sin embargo, es importante rescatar que siempre estuvo presente la relación

entre magnitudes sin ser percibidas como variables.


25

Posteriormente, un período se caracterizó por estudiar a las curvas como

representaciones gráficas de ecuaciones (como se puede notar en los trabajos de

Arquímedes, Descartes y Fermat).

El estudio de la función inició cuando Euler aportó la primera definición matemática

de ésta, limitándose a definirla como una expresión analítica arbitraria, hasta refinarla

en 1755, describiendo entonces la dependencia entre variables como característica

importante.

Hasta antes de Fourier, las definiciones de función no se habían alejado de la

perspectiva analítica, por lo que su trabajo en la teoría de calor fue muy importante

pues gracias a los debates de su trabajo se pudo discutir propiedades como la

continuidad y discontinuidad de las funciones.

Según Cantoral y Farfán (1998), citados en Del Castillo y Montiel (2007):

…el desarrollo del concepto función se ha hecho casi a la par que el ser

humano, es decir, encontramos vestigios del uso de correspondencias

en la antigüedad, y actualmente se debate sobre la vigencia en el

ámbito de las matemáticas del paradigma de la función como un objeto

analítico, empero, el concepto función devino protagónico hasta que se

le concibe como una fórmula, es decir, hasta que se logró la integración

entre dos dominios de representación: el álgebra y la geometría. La

complejidad del concepto función se refleja en las diversas

concepciones y diversas representaciones con las que se enfrentan los

estudiantes y profesores….


26

CAPÍTULO 3

MÉTODO DE INVESTIGACIÓN


27

3. MÉTODO DE INVESTIGACIÓN

En el siguiente capítulo se presentan los elementos metodológicos que se tomaron

en cuenta para realizar el estudio. El procedimiento realizado se dividió en cinco

etapas.

Etapa 1. Análisis preliminar. Dado que el estudio desarrollado fue de corte

sociepistemológico, tal y como se sugiere en la teoría socioepistemológica, se realizó

un análisis de aspectos tanto epistemológicos como didácticos y cognitivos que

permitieran dar indicios para el diseño de instrumento de análisis.

Etapa 2. Diseño del instrumento. Con la información recabada durante el análisis

preliminar, se procedió a diseñar un instrumento en el que se pudieran examinar las

consideraciones importantes obtenidas en dicho análisis.

Etapa 3. Experimentación. En esta etapa se llevó a cabo la implementación del

instrumento en una población de 8 estudiantes que cursaban el segundo semestre

de preparatoria.

Etapa 4. Análisis de datos y resultados. Se realizó un análisis de los datos recabados

durante la experimentación desde los marcos de las teorías APOE y

Socioepistemológica, que serán descritas con mayor detalle en el capítulo cuatro, así

como la documentación de los resultados obtenidos.

Etapa 5. Conclusiones del estudio. De acuerdo a los resultados obtenidos en la etapa

anterior, se generaron conclusiones generales.

3.1 Análisis preliminar

3.1.1 Consideraciones epistemológicas

En el capítulo anterior se presentó un resumen de la génesis del concepto de

función, de éste, se recuperó el hecho de que lo que caracterizó a la función desde

sus inicios hasta la contemporaneidad, fue el establecimiento de relaciones entre


28

magnitudes o variables. De acuerdo a esto nos interesamos en reflejar en las

actividades del instrumento esta cualidad epistemológica de la función.

Asimismo, dado que en la construcción del concepto se vio una importancia de las

prácticas predictivas para su desarrollo, se pretendió generar para el instrumento

actividades que tuvieran este carácter predictivo.

Por último, algunas de las problemáticas relacionadas con muchos conceptos

matemáticos, tal como la función, es que se habla de una dualidad que la

caracteriza, en otras palabras, puede verse como un proceso y como un objeto.

Quien se refirió a esta visión de los conceptos matemáticos fue Tall en 1995,

definiendo la noción de procepto.

Definimos un procepto como un objeto mental combinado que consiste

en un proceso, un concepto producido por dicho proceso, y un símbolo

que se puede usar para significar cualquiera de los dos o los dos (Tall,

1995; citado en Azcárrate y Camacho, 2003).

Podemos citar un ejemplo para dejar lo anterior más claro. As í, en cuanto a la

función se tiene que la expresión , representa al mismo tiempo el

proceso de cómo calcular el valor de la función para un valor particular de y el

objeto, que bien puede interpretarse como el concepto de función para un valor

general de , o como modelo matemático.

Por lo anterior, en el instrumento pueden percibirse actividades que están enfocadas

a trabajar por ejemplo, con la función como proceso y otras con la perspectiva de

objeto.

3.1.2 Consideraciones cognitivas

En cuanto las consideraciones cognitivas que sirvieron como base para la creación

del instrumento, se tienen específicamente las que propone la teoría APOE, es decir,

en dicha teoría se parte de una noción conocida como descomposición genética,

que consiste en efectuar un “esqueleto” cognoscitivo relativo a determinado concepto

en el que se explicitan las construcciones mentales que un individuo debe desarrollar


29

para generar un aprendizaje efectivo de tal concepto. En la descomposición genética

se deben dejar claras cuáles son las construcciones mentales que se deberán

generar en el individuo, tales como acciones, procesos, objetos y esquemas , para

que este logre el aprendizaje del concepto.

Tal y como se ha comentado en el capítulo uno, las construcciones mentales que

genera el individuo pueden definir niveles o etapas cognitivas de aprendizaje. En

nuestro trabajo se hará referencia en tanto a los niveles de aprendizaje del concepto

de función. Cabe aclarar que por el carácter del estudio sólo se contemplan las

etapas de acción, proceso y objeto ya que para el nivel de esquema, el individuo

debe trabajar situaciones donde el concepto de interés se relacione con otros

conceptos, incluso en otros contextos, pero nosotros estamos enfocados en trabajar

exclusivamente con la función. Por tanto, se realizó una descomposición genética del

concepto y se plantearon las posibles etapas de aprendizaje cognitivas relativas a la

función con el objetivo de que en las actividades se pudieran percibir estos niveles

que son el objeto principal de análisis en el estudio.

3.1.2.1 Descomposición genética de la función

Acción

Un estudiante que se encuentra en nivel de acción del concepto función:

Realiza evaluaciones de valores en una expresión dada, sin pensar sobre el

proceso de transformación que sufre un valor de entrada.

Para calcular un valor de salida, ha de realizar paso a paso las operaciones

especificadas por una relación matemática.

Piensa que “algo” es función sólo si se le presenta una expresión matemática.

Ve a la función como una “maquina” en la que mete un valor y le devuelve

otro.

No puede establecer un procedimiento para situaciones en las que no se

especifica uno.


30

Es incapaz de describir un procedimiento sin llevarlo a cabo, es decir, su

manera resolutiva suele ser paso a paso.

Proceso

Un estudiante que se encuentra en nivel de proceso del concepto función:

Se concentra en el proceso de transformación de un valor de entrada y lo ve

como un “todo”, es decir, como “una sola operación”.

Es capaz de establecer un procedimiento cuando no se especifica uno.

Puede graficar una función sólo con situar pocos puntos en el plano.

Puede realizar mentalmente cálculos u operaciones ya sean especificadas o

no, para determinar un valor de salida.

Objeto

Un estudiante que se encuentra en nivel de objeto del concepto función:

Considera que una función es “algo” a lo que se le puede aplicar operaciones

y manipularse.

Cuando se le presenta la gráfica de una función del estilo ,

reconoce que resulta de trasladar verticalmente una unidad la gráfica de

.

Tiene claro cómo saber que “algo” es función viendo su gráfica.

Distingue que la expresión es una circunferencia y que no es una

función por la prueba de la línea vertical y es capaz de separar la

circunferencia de manera que obtenga dos funciones.

Piensa que una expresión matemática específica puede representar una serie

de datos, procedimientos o fenómeno, se puede decir que la expresión es

como una etiqueta que denomina una serie de atributos.


31

Entiende que si se tiene una función , la función está

compuesta por dos funciones que considera como objetos o partes

constitutivas de esta.

3.1.3 Consideraciones didácticas

Los aspectos didácticos que se exploraron para el diseño del instrumento, resultaron

de un análisis de libros de texto, en el cual interesó ver al tratamiento que le dan al

concepto de función, en específico, se buscó las definiciones que se presentan de

función. Para dicho análisis se revisaron cuatro libros de texto.

De la revisión de los libros de texto se obtuvo que en los cuatro libros se utiliza una

definición conjuntista de la función, además que las prácticas de modelación y

predicción son muy escasas.

En Trejo, Quijano y Ávila (2004), se define a la función de la siguiente manera:

Sean y dos conjuntos. Una función de a es una

correspondencia que asigna a cada elemento de exactamente un

elemento de […] (p. 93).

Cabe mencionar que este libro es el que se utiliza en los cursos de precálculo de las

preparatorias a las que pertenecían los participantes en el estudio.

Larson, Hostetler y Edwards (2006), presentan la siguiente definición:

Sean y conjuntos de números reales. Una función real de una

variable real de a es una correspondencia que asigna a cada

número de exactamente un número de (p.19).

Por su parte, Stewart (2006) plasma la siguiente definición:

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un

conjunto exactamente un elemento, llamado , de un conjunto

(p.11).


32

Por último, Leithold (1998) define a la función como sigue:

Una función es un conjunto de pares ordenados de números en

los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer

número […] (p.3).

Como puede verse, en las cuatro definiciones presentadas se tiene un pensamiento

conjuntista del concepto, lo cual creemos que tiene un carácter demasiado abstracto,

ocasionando posiblemente que el estudiante no pueda reconocer la relación entre

magnitudes como algo fundamental, tal y como puede constatarse en la

epistemología de la función, es decir, el estudiante se distrae de la esencia del

concepto al concentrarse en descifrar en primera instancia, qué es un conjunto, qué

es la regla de asignación, a qué se refieren con elemento único, pares ordenados,

números, etc.

Por lo anterior, decidimos que el estudiante trabajaría con la relación entre

magnitudes desde diferentes escenarios en el marco del instrumento de análisis.

3.2 Diseño del instrumento

Con el análisis preliminar se obtuvo información importante para el diseño de

actividades a incorporar en el instrumento. Este último fue dividido en cuatro

secciones que llamamos bloques, de los cuales en cada uno de estos se pretendía

recoger información específica.

A continuación se presenta la descripción de los ítems del instrumento elaborado, así

como la explicación de lo que se pretendía observar en cada uno de los cuatro

bloques.

BLOQUE 1 DE 4

I. A continuación se te presentan dos columnas (Columna A y columna B). En cada columna

hay cuatro magnitudes. Tu tarea es relacionar cada magnitud de la columna A con alguna


33

magnitud de la columna B, explicando o describiendo en cada caso, el razonamiento que

seguiste para establecer tus relaciones.

Columna A Columna B Distancia Producción Presión Tiempo

Ingreso Longitud Área Volumen

Si tu tarea hubiera sido relacionar cada magnitud de la columna B con cada magnitud de

la columna consideras que esto cambiaría tu respuesta. Explica

En este primer bloque se les presenta a los estudiantes dos columnas de magnitudes

que se les pide relacionar, pero en un sentido, es decir, relacionar de A hacía B. La

intención fue iniciar con la idea que se obtuvo del análisis preliminar relativa al

establecimiento de relaciones entre magnitudes, por lo que en el bloque 1 se

pretendía mirar cómo es que los estudiantes relacionan magnitudes, así como qué

tipo de consideraciones realizan para establecer las relaciones, por ejemplo , si la

dependencia entre las magnitudes es un factor determinante o no.

BLOQUE 2 DE 4

II. A continuación se espera puedas hacer una estimación del tiempo que le toma a una vela

derretirse cierta cantidad de altura. Para ello, se te han entregado dos velas, una más

grande que la otra, cerillos y regla. Tu tarea es estimar en cuánto tiempo después de

haber encendido la vela más grande, ésta medirá 4.5 cm y 3.5 cm. No olvides explicar tus

razonamientos seguidos.

Nota. Para hacer tu estimación puedes apoyarte en la información que recabes de la vela

más chica.

Como puede verse en la instrucción, en esta actividad se le pedía al estudiante que

estimara el tiempo en que se derretiría cierta cantidad de una vela, con ayuda de la

información que recabara del derretimiento de otra vela más pequeña. En este

bloque se buscaba mirar la manera en que los estudiantes organizan y dan un

tratamiento a la información respecto a una práctica de estimación, además de las

técnicas empleadas para la resolución.


34

BLOQUE 3 DE 4

III. A continuación se te proporciona información sobre los datos que una empresa registra

mensualmente sobre sus costos de producción y sus ingresos que obtiene por las ventas

que realiza. Echa un vistazo a las Tablas 1 y 2.

Tabla 1. Registro del costo de un producto por mes

1 2 3 4 … 7 8 … 12 Mes

1 4 9 16 … … Costo en dólares

Tabla 2. Registro del ingreso de las ventas por mes

1 2 3 4 … 7 8 … 12 Mes

2 6 12 20 … … Ventas en dólares

Tu tarea es explicar qué información se representa en la Tabla 3 y completar la información

faltante. Es decir, completar los valores faltantes en las filas, darle un título a la tabla e

indicar lo que iría en la celda debajo de la celda Mes.

Tabla 3

1 2 3 4 … 7 8 … 11 Mes 2 … 8 …

En este bloque se tenía como intención, conocer cómo establecen relaciones en

abstracto, ya que en los bloques previos las relaciones que establecieron los

estudiantes tenían que ver con variables físicas o explícitas. A diferencia, en este

bloque las variables se encuentran implícitas en la actividad, por lo que

esencialmente se les pidió que realicen el llenado de las tablas y que establecieran

expresiones algebraicas que representasen los datos de dichas tablas.

Por otro lado, cabe mencionar que otra intención con las actividades era que los

estudiantes trabajen implícitamente con la función como proceso.

BLOQUE 4 DE 4

IV. La siguiente ilustración muestra información de algunos datos obtenidos sobre el

comportamiento de dos variables cuya naturaleza se desconoce, por tanto, se han

etiquetado como “variable 1” y “variable 2”.


35

Escribe lo que infieres de la ilustración.

En la figura 1 se representa la forma en que se relacionan dos variables y Con esa

información, determina las expresiones que representarían las imágenes 2 y 3.

En la figura 2 se representan tres de cinco puntos que relacionan la variable con la . Tu

tarea es colocar los otros dos puntos restantes, de manera que se mantenga la forma en que

se relacionan las variables. Justifica

FIGURA2

Variable 2

Variable 1

_________

_______

_________

_______

_________

_______

Imagen 3 Imagen 2 Imagen 1

FIGURA 1


36

El bloque 4 serviría como una integración de los tres bloques previos, y en este,

básicamente se buscaba mirar qué tanto los estudiantes habrían interiorizado

acciones y procedimientos de las actividades anteriores, al grado que se trabajara

con la función como objeto (implícitamente).

3.3 Experimentación

El instrumento fue aplicado en las instalaciones de una preparatoria de la

Universidad Autónoma de Yucatán (UADY). Se utilizaron tres sesiones de 80

minutos, de las cuales las primeras dos se dedicaron a la resolución de las

actividades y en la tercera se llevó a cabo una entrevista a los estudiantes.

La muestra consistió en una población de ocho estudiantes que cursaban el segundo

semestre de preparatoria. Los estudiantes que participaron no tenían un

conocimiento formal acerca del concepto función, ya que aun no habían llevado el

curso de precálculo en el cual se realiza el estudio de la función.

3.4 Análisis de datos y resultados

Para el análisis de los datos recabados se determinó primeramente, por cada bloque,

el nivel cognitivo en el que se situaron los estudiantes de acuerdo a la teoría APOE.

Posteriormente, se recurrió a analizar nuevamente los datos desde la perspectiva de

la teoría Socioepistemológica, de manera que se intentó explicar las causas que

llevaron a los estudiantes a situarse en la etapa o nivel cognitivo descrito por la

APOE.

3.5 Conclusiones del estudio

Como última parte del estudio se generaron las conclusiones generales del trabajo

realizado de acuerdo a los resultados encontrados.


37

CAPÍTULO 4

MARCO TEÓRICO


38

4. MARCO TEÓRICO

4.1 La Matemática Educativa

La Matemática Educativa (ME) ha alcanzado un gran auge en diversos lugares del

mundo, a tal grado de considerarse, desde hace un tiempo, una disciplina científica.

La importancia de la ME radica en la intensión de mejorar la calidad de la enseñanza

o más bien, el aprendizaje en matemáticas, como respuesta a las problemáticas

presentadas prácticamente desde que la matemática es introducida en un ámbito

escolar. Su amplio rango de teorías que se preocupan por entender, o mejor dicho,

explicar los fenómenos que se producen en el aprendizaje de las matemáticas,

permiten a esta disciplina ser el punto de referencia de todo aquél que se involucra

con el estudio de la matemática escolar. Actualmente existe una gran comunidad

científica de matemáticos educativos en muchos países, ocasionando que en la

interacción entre las diversas sociedades de esta índole, se ponga a la luz diversos o

incluso, nuevas problemáticas relativas a los fenómenos de la enseñanza de la

matemática y de esta manera crezca dicha disciplina.

En un principio, en la Matemática Educativa se planteó que para comprender los

fenómenos ligados al aprendizaje de la matemática, se debían estudiar a los tres

actores principales involucrados, los cuales tendrían que estudiarse como un todo, o

bien, como un sistema.

Este sistema es conocido como el triángulo didáctico, el cual involucra las variables

alumno, profesor y saber.

Figura 4.1 Triángulo didáctico

Saber

ProfesorAlumno


39

Para estudiar las variables que intervienen en la construcción del conocimiento

matemático, se hace necesario preguntar qué estudiar de cada una para dar cuenta

de éstas. Por lo tanto, se establece que para estudiar al saber como tal, se debía

recurrir a su epistemología; en cuanto al alumno su cognición y finalmente aquello

que interesa estudiar del profesor es su didáctica. Así, se obtiene el siguiente

esquema que relaciona las variables con sus unidades de análisis:

La idea de estudiar este sistema ha permitido a muchos matemáticos educativos

entender y desarrollar teorías sobre la enseñanza y el aprendizaje matemático de

manera eficaz, ayudando a mejorar aspectos importantes de la educación

matemática.

4.2 La Matemática Educativa en México

La ME nace en México como consecuencia del encargo de la SEP (Secretaría de

Educación Pública) de formar una comisión para escribir los libros de texto gratuitos

de la educación básica, logrando éstos una articulación con las organizaciones

internacionales involucradas en la misma problemática. Los iniciadores de este

movimiento en nuestro país fueron del departamento de matemáticas del

CINVESTAV-IPN (Nieto, Viramontes y López, 2009).

Figura 4.2. Unidades de análisis por variable en ME

Cognición Didáctica

Epistemología


40

Si bien la ME permitió estudiar los fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje en

un principio, con el paso del tiempo en México se llegó a la conclusión de que las

teorías propias de esta disciplina lograban en cierta medida entender la construcción

del conocimiento matemático, pero dicho entendimiento se quedaba en un nivel que

no permitía del todo comprender la realidad de la situación educativa matemática en

nuestro país. Es así que en un intento de conseguir un marco de re ferencia más

auténtico y significativo de la educación mexicana en matemáticas, surge una

corriente impulsada por Cantoral y colaboradores, denominada aproximación

sociepistemológica, la cual pretendía darle un nuevo sentido a la educación

matemática, involucrando aspectos que la ME no contemplaba, al menos

explícitamente, tales como la cultura y la sociedad buscándose una humanización de

la matemática.

En esta dirección presentamos los fundamentos de la ahora teoría

Socioepistemológica como marco teórico de nuestro estudio.

4.3 La Teoría Socioepistemológica

La Socioepistemología surge como una necesidad de explicar la realidad de la

educación matemática mexicana desde nuestras características particulares, como

una sociedad o comunidad que tiene sus propias necesidades, costumbres,

tradiciones, ideologías, prácticas, problemáticas etc., que determinan o norman

nuestras acciones y manera de construir conocimiento, en particular conocimiento

matemático.

Si bien se acepta al individuo como un ser pensante con cognición propia, se

reconoce desde el punto de vista socioepistemológico que esa cognición se

encuentra subordinada a las condiciones socioculturales, mirando en tanto a dicha

cognición como una cognición social (Montiel, 2005).

De esta forma las investigaciones socioepistemológicas permiten concebir la

matemática no como un saber fijo y preestablecido, sino como un conocimiento con

significados propios que se construyen y reconstruyen en el contexto mismo de la


41

actividad que realiza el hombre. Constituye la Socioepistemología una propuesta que

parte del aprendizaje significativo y se orienta a la formación humana holística, que

integra la teoría con la práctica en las diversas actividades. Por tanto, el fin de la

Socioepistemología, es democratizar la educación matemática (Anónimo, s.f.).

Es así que esta teoría reconoce como tarea fundamental el examen del conocimiento

situado, entendiendo a dicho conocimiento como aquél que atiende a circunstancias

y escenarios socioculturales particulares, caracterizando al conocimiento como el

fruto entre la epistemología y los factores sociales ligados a dicho conocimiento

(Cantoral, 2002; citado en Montiel, 2005).

Bajo este enfoque se retoma y reconoce la visión sistémica de la didáctica de la

matemática, es decir, se parte de las relaciones entre las dimensiones cognitiva,

didáctica y epistemológica, con la diferencia de que se agrega una dimensión social

a dicho sistema.

Figura4.3 Dimensiones de una construcción social del conocimiento matemático


42

La Socioepistemología centra su atención en las prácticas sociales como unidad de

análisis, en las que los seres humanos realizan bajo circunstancias específicas, la

construcción de un conocimiento matemático. Se reflexiona sobre qué lleva a un

grupo de personas en sociedad a realizar dichas prácticas generadoras de

conocimiento matemático. En este sentido, la práctica por sí misma es un referente

de esta teoría, entendida como las actividades que un grupo de personas

enmarcadas en un contexto histórico, cultural y social específico realizan, le dan

significado y estructura a lo que se hace. Es así que la práctica es siempre una

práctica social (Arrieta, 2003, citado en Aparicio y Sosa, 2009).

En la perspectiva socioepistemológica no se mira a los conceptos y a sus diferentes

estructuraciones de manera aislada, sino se atiende a las prácticas que producen o

favorecen la necesidad de tales conceptos. Es decir, se intenta crear un modelo que

refiera la construcción social del conocimiento matemático y poner al descubierto sus

causas reales: el reto es entonces formular epistemologías sobre las prácticas

sociales que generan el conocimiento matemático (Cantoral y Farfán, 2003; citados

en Cordero, Cen y Suárez, 2010).

Al estudiar las prácticas sociales surgen las prácticas de referencia, que no son más

que actividades específicas enmarcadas o dirigidas por determinadas prácticas

sociales que las personas realizan de acuerdo a sus necesidades histórico-culturales

y que les permiten resolver sus problemas, algunos autores se han referido a este

tipo de prácticas como una matematización de la realidad.

Una vez comentados los fundamentos de la teoría socioepistemológica, se

argumenta el análisis llevado a cabo con respecto a la función, es decir, diferentes

necesidades ligadas a contextos socioculturales específicos fueron los que llevaron a

construir el concepto función. Como se ha dejado ver en el capítulo dos, el hombre

en sus diferentes épocas y contextos ha tratado de entender lo que lo rodea,

estableciendo relaciones entre las cosas que percibe del mundo, obligándolo a

construir dichas relaciones y estudiarlas intuitivamente para posteriormente definirlas

matemáticamente. Esta idea de comprender que todo en nuestro mundo cambia


43

constantemente, es a lo que Cantoral y Farfán se han referido como el pensamiento

variacional.

Es a través de algunas actividades como predecir, medir, modelar, explicar,

relacionar que permitieron la construcción del conocimiento función, y como es de

saber, estas actividades matemáticas surgen a raíz de las necesidades sociales por

lo que los individuos han construido socialmente este concepto tan importante.

El objetivo de este estudio es reconocer e identificar etapas o niveles de aprendizaje

respecto al concepto de función. Del mismo modo en el capítulo anterior se indicó

que para dar cuenta de los niveles de aprendizaje de la función, se recurrió a la

teoría APOE. Por tal motivo en este siguiente apartado describimos los constructos

teóricos de esta teoría propia de la ME.

4.4 La teoría APOE

La teoría APOE fue desarrollada por Dubinsky y colegas bajo las ideas de Piaget y

como tal, se basa en los fundamentos del constructivismo social desarrollado por

este último. En particular se considera lo realizado en García (2004) donde se

establece una teoría epistemológica sobre las normas cognoscitivas que permiten la

apropiación de cierto conocimiento.

En la teoría epistemológica se establece que “el desarrollo del conocimiento no se

realiza por la agregación continua de nuevos conocimientos (…), sino por etapas que

representan niveles cognoscitivos característicos; y en cada etapa hay una

reorganización de los conocimientos adquiridos en la etapa anterior” (Piaget y

García, 2004, p. 134; citados en Oktaç y Roa-Fuentes, 2010).

Según Piaget y García, las etapas a las que se refieren en la definición anterior, las

caracterizan como intra, inter y trans, y determinan la evolución del conocimiento

matemático de un individuo y sus posibilidades de razonamiento frente a ciertos

conceptos matemáticos.


44

Por otro lado, la reorganización de los conocimientos previos y nuevos que se lleva a

cabo en dichas etapas, la definen como asimilación, la cual se puede entender como

un mecanismo de estructuración entre los conocimientos preliminares y los nuevos,

que permiten al individuo formar un esquema referente a la situación que le implicó, o

bien, le demandó realizar dicha reorganización.

Para que el individuo lleve a cabo tal asimilación requiere realizar lo que Piaget

define como abstracción, que a su vez se puede catalogar como empírica,

pseudoempírica y reflexiva.

La abstracción reflexiva definida por Piaget es toma por Dubinsky como base

fundamental para la teoría APOE. En este sentido Dubinsky usa la abstracción

reflexiva para describir cómo un individuo logra ciertas construcciones mentales

sobre un concepto determinado, partiendo de la siguiente idea del conocimiento

matemático (Oktaç, Roa-Fuentes, 2010):

El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a

responder a las situaciones matemáticas problemáticas en un contexto

social, y construyendo acciones, procesos y objetos y organizándolos

en esquemas con el fin de manejar las situaciones y resolver los

problemas (Dubinsky y McDonald, 2001, p. 276).

Como puede deducirse de la definición del conocimiento matemático propuesta por

Dubinsky y Mc Donald, se destacan cuatro elementos que según ellos determinan el

conocimiento matemático de un individuo. Estos cuatro elementos a los que nos

referimos son descritos por Dubinsky como construcciones mentales. Estas

construcciones mentales son el principal referente de la teoría, a saber, acciones,

procesos, objetos y esquemas. De ahí el nombre de la teoría APOE.

4.4.1 Las construcciones mentales de la APOE

Bajo el marco APOE:


45

Acción. Consiste en la transformación física o mental de un objeto que es percibida

por el individuo como externa y se realiza como una reacción a sugerencias que

proporcionan detalles de los pasos a seguir.

Proceso. Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede

interiorizarse en un proceso. Es decir, se realiza una construcción interna que ejecuta

la misma acción en la mente del individuo, empero ahora, no necesariamente dirigida

por un estímulo externo (Asiala, et al, 1996, citado en Kú, 2009).

Objeto. Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un

proceso en particular, toma conciencia del proceso como un todo, realiza aquellas

transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él, y

puede construir de hecho esas transformaciones, entonces está pensando en este

proceso como un objeto. En este caso decimos que el proceso ha sido encapsulado

en un objeto (Asiala, et al, 1996, citado en Kú, 2009).

Esquema. Se puede decir que un esquema es una colección coherente de acciones,

procesos y objetos y otros esquemas que se tienen para un concepto en particular

(Asiala, et al, 1996, citado en Kú, 2009).

Cabe mencionar que según Dubinsky, hay cinco tipos de abstracciones reflexivas

que permiten dar lugar a las construcciones mentales descritas anteriormente, las

cuales son: la interiorización, la coordinación, la encapsulación, la generalización y la

reversión (Oktaç y Roa-Fuentes, 2010).

La interiorización se da cuando un individuo repite una serie de acciones que le

permiten crear una estructura mental sobre un procedimiento para resolver un

problema, sin embargo el individuo no cae en cuenta de dicha estructura, sino que

inconscientemente establece una serie de pasos los cuales realiza uno a la vez sin

percatarse de estos como un proceso.

La coordinación se refiere a la capacidad de establecer relaciones entre dos o más

procesos de manera que se pueda generar un nuevo proceso a través de las

relaciones lógicas establecidas.


46

La encapsulación consiste en una reflexión acerca de la serie de acciones y

procesos empleados para responder a un problema de manera que se consideran

como un todo, es decir, se llega a algo estático.

La desencapsulación es el proceso inverso de la encapsulación e incluye a la

generalización y reversión. En este tipo de abstracción se descompone el objeto

encapsulado y se cae en cuenta de las acciones y procesos que permitieron

comprenderlo como un todo.

De acuerdo a los objetivos planteados para nuestra investigación, se recurrió a la

teoría APOE como marco para describir las etapas o niveles cognitivos que en

particular un estudiante de bachillerato presenta respecto a la función. Tal y como se

mencionó en el capítulo tres, sólo haremos referencia a los niveles de acción,

proceso y objeto para catalogar a dichos estudiantes. Según el propio Dubinsky es

muy complicado llegar al nivel de esquema, ya que se requiere que el individuo se

involucre en diversas actividades o situaciones en la que el concepto de interés esté

en juego para situarse en este nivel. Por ejemplo, en el caso del concepto función,

un estudiante modifica constantemente un esquema de función, ya que a lo largo de

su trayecto académico trabaja con la función relacionada con otros conceptos como

derivada, integral, transformación lineal, etc.


47

CAPÍTULO 5

RESULTADOS Y CONCLUSIONES


48

5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos del análisis de los datos

recabados durante la investigación. En ocasiones se presentarán anotaciones por

parte del observador con su debida pertinencia.

Cabe mencionar que cuando se haga referencia a las respuestas de los estudiantes

participantes, será a través de transcripciones de sus escritos plasmados en el

instrumento. Para ello, con la intención de identificar a cada estudiante se recurrió a

una numeración que denota a cada uno. Para el estudiante 1 se le asignó E1, al

estudiante 2 E2 y así sucesivamente hasta llegar al estudiante E8.

En ocasiones algunos estudiantes no respondieron algunas tareas por lo que en sus

respectivos espacios para la respuesta se escribió “S.R” (sin respuesta).

La manera de presentar los resultados se hará de la siguiente forma, primero se

presenta un apartado “respuestas del bloque #”, donde se muestran las respuestas

de los ocho estudiantes de acuerdo al número de bloque del instrumento y otro

apartado “resultados del bloque #”, en el que se presenta una conclusión del nivel

alcanzado en cada bloque desde el punto de vista de la teoría APOE. Posteriormente

se contrastará con la teoría Socioepistemológica con la intención de generar una

explicación sobre los resultados.


49

5.1 Respuestas del Bloque I

Como se explicó en el capítulo 3, en el bloque 1 se le presentaba al estudiante dos

columnas A y B de magnitudes que se le pedía relacionar, con la intensión de ver

cómo realizaban dichas relaciones. Se les presentaron las siguientes columnas:

Columna A: Distancia, Presión, Ingreso, Área

Columna B: Producción, Tiempo, Longitud, Volumen

“Distancia - ”:

E1: Longitud-distancia

“Porque la distancia se mide en metros o Km y esas son las unidades de

medición de longitud”.

E2: Distancia-Tiempo

“Distancia se relaciona con el tiempo porque distancia/tiempo=velocidad”

E3: Distancia-Longitud

“La distancia la relacioné con longitud por referirse a magnitudes que tienen

que ver con la medición”


“Pienso que la distancia y el tiempo están muy unidos porque para tener una

distancia tenemos que recorrer un camino y eso implica usar el tiempo”.

Anotación: E4, justo después de explicar la relación que propone entre distancia y

tiempo establece un ejemplo junto con una ilustración.

“Si recorro una carretera de 15 Km, estoy indicando que para llegar al

kilómetro 15 tuve que recorrer los demás kilómetros y eso implicaría que

también use el tiempo”.


50

Imagen 5.1


“Necesitas tiempo ¿o no? Cada distancia hay un tiempo”


“Porque longitud te puede decir cuánta distancia hay entre una cosa u otra”.


“Para llegar a un sitio existe una distancia que hay que recorrer por lo que hay

un tiempo que se toma para recorrer dicha distancia”.


“Una distancia tiene cierta longitud, la longitud es la medida de la distancia”.

“Presión - ”:

E1:Presión-Tiempo

“La presión muchas veces es causa del tiempo que dan para elaborar algún

trabajo”.

E2:Presión-Longitud

“Presión se relaciona con longitud porque a mayor presión menor será la

longitud, ambos se usan en física”.


51

E3: Presión-Tiempo

“Presión lo relacioné con tiempo porque con eso puedo medir mi presión

arterial”.

E4: Presión-Volumen

“Para hacer una presión tenemos que tener algo a quién presionar, es decir,

que el volumen es quién necesitamos”.

Anotación: Propone una ilustración para ejemplificar su afirmación:

Imagen 5.2

E5: Presión-Longitud

“Se relacionan en física y en matemáticas”

E6: Presión-Tiempo

“A veces con la presión utilizamos menos tiempo para realizar ciertas cosas o

dependiendo de la presión de algo es el tiempo que se utiliza algo”.

E7: Presión-Volumen

“En un cuerpo geométrico que contiene una sustancia, ésta ejerce una presión

hacia el contenedor y tiene volumen esa misma distancia”.

E8: Presión-Tiempo

“Mientras más te sientas presionado, más ansiedad tienes de ver el tiempo (la

hora)”.


52

“Ingreso - ”:

E1:Ingreso-producción

“De acuerdo al trabajo o a la producción es el ingreso de salario”.

E2:Ingreso-Producción

“Ingreso se relaciona con producción por lógica, entre mayor ingreso mayor

será la producción”.

E3: Ingreso-Producción

“Lo vi en comerciales”


“Pues hablando económicamente para tener un ingreso tenemos que tener

una producción, es decir, si una fabrica produce 15,000 peluches pues su

ingreso será conforme a lo que venda”.

Anotación: E4 una vez más ejemplifica e ilustra su explicación de la relación que

guardan las magnitudes:

Imagen 5.3


“De acuerdo a lo que produzcas va a ser tu ingreso”.



53

“Para que haya una producción de algo se necesita un ingreso de fondos de

dinero”.


“Cuando existe un ingreso, ya sea por ventas o por lo que genere algo, se

necesita una fuente para dicho ingreso y eso sería la producción”.


“El ingreso es lo que se gana en determinado lugar y gracias a él puede haber

más producción”.

“Área - ”:

E1: Área-Volumen

“Es la unidad de medición y es una de las que se toman en cuenta para saber

el espacio que ocupa un cuerpo”.

E2: Área-Volumen

“Área se relaciona con volumen porque ambas se usan en geometría”.

E3: Área-Volumen

“Los relacioné por referirse a que con ellas puedo saber la capacidad”.

E4: Área-Longitud

“El área ocupa un espacio, es decir, una longitud. Correctamente es que cierta

longitud ocupa un área”.

Anotación: E4 propone un ejemplo para justificar su explicación:


54

Imagen 5.4

E5: Área-Volumen

“Medidas para medir cosas”.

E6: Área-Volumen

“Se refieren a lo mismo, a lo que se encuentra en una figura ya sea plana o

tridimensional”.

E7: Área-Longitud

“Para tener un área se necesita que se delimiten sus lados por lo que sus

lados tienen una longitud”.

E8: Área-Volumen

“El área es la medida del volumen, del volumen sacan el área”.

Para concluir el bloque se les pedía que explicaran si la manera en la que habían

relacionado las magnitudes, de “A hacía B”, cambiaría si se les pedía que las

relacionaran de manera inversa, en otras palabras, relacionar de “B hacía A” con la

intensión de observar si considerarían la dependencia entre las magnitudes.

Estas fueron las respuestas:

E1: “No cambiaría porque lo relacioné con magnitudes”

E2: “No porque no cambia la repuesta, sólo la percepción de esta”.


55

E3: “No porque creo que así está bien, lo relacioné con lo primero que se me vino a

la mente”.

E4: “S.R.”

E5: “No cambiaría mi razonamiento”.

E6: “No cambiaría mi respuesta, el orden de los factores no altera el producto”.

E7: “Mi razonamiento no variaría porque la forma en la que las relacioné, se da una

característica de un concepto y esta es una característica del otro , así que son

recíprocos”.

E8: “No porque es lo mismo que describí, sólo que con los conceptos al revés se

entiende lo que Yo entendí”.

5.1.1Resultados del bloque 1

En la teoría APOE se reconocen cuatro etapas cognitivas definidas por las

construcciones mentales que el individuo establece de un concepto matemático:

acciones, procesos, objetos y esquemas.

Varios de los estudiantes establecieron sus relaciones con base en el recordatorio de

fórmulas o cursos en los que se habría hecho referencia de ciertas magnitudes,

aspecto que los cataloga en un nivel de acción de acuerdo con la teoría APOE. Sin

embargo, de acuerdo con esta teoría, las acciones son transformaciones mentales o

físicas de los objetos matemáticos que pueden ser interiorizadas de tal manera que

pueden generar procesos que definirán la etapa de proceso una vez que el individuo

tiene control sobre estas.

Así, al analizar las respuestas de los estudiantes en este primer bloque se llegó a

que es necesario considerar una etapa previa a la de acción.

Algunos trabajos han hecho referencia a etapas previas a la de acción, como el de

Alvarenga (2006), en el que se estudió las construcciones mentales que estudiantes


56

establecen con respecto al concepto de inecuación. En dicho trabajo se describe un

nivel que se denominó pre-acción en el cual se situaron estudiantes que realizaron

acciones sin efecto sobre las tareas propuestas. Alvarenga señaló que en esta etapa

las acciones de los estudiantes son aleatorias y por tanto , no están encaminadas a la

resolución de la actividad planteada.

Es así que tomaremos este nivel de pre-acción para hacer referencia a estudiantes

que en efecto actúan ante la tarea y sobre el concepto implícito en ella, en nuestro

caso el de función; sin embargo su manera de actuar no les llevará a una concepción

adecuada de la función, ya que, sus acciones podrían llevarlo a una etapa

inadecuada de proceso para la función.

Una vez comentado lo anterior y al realizar el análisis de las respuestas, se llegó a la

conclusión de que en el Bloque 1 los estudiantes se encontraron en la etapa de pre-

acción antes descrita. Esta afirmación se hace tomando en cuenta que la mayoría

de ellos establecían las relaciones sin pensar en la dependencia de las variables

(magnitudes) o relaciones bien definidas.

Tomemos como ejemplo la siguiente relación propuesta por E1:

E1: Longitud-distancia

“Porque la distancia se mide en metros o Km y esas son las unidades de

medición de longitud”.

En esta respuesta se puede ver que la relación establecida está en términos de lo

común entre ambas magnitudes, aspecto que varios estudiantes tomaron en cuenta

para relacionar otras magnitudes.

En relación con lo anterior se puede ver en las respuestas dadas por los estudiantes

en este bloque, dos tipos de pensamiento, en especial en el caso de las relaciones

de distancia. Se puede decir que existe en algunos estudiantes ideas variacionales y

en otros, ideas estáticas. Por ejemplo, cuando relacionan distancia con tiempo se

podría pensar que estos estudiantes se imaginan en un contexto real que tiene


57

sentido para ellos, como lo que se puede percibir en lo que escribió E4:“Si recorro

una carretera de 15 Km, estoy indicando que para llegar al kilómetro 15 tuve que

recorrer los demás kilómetros y eso implicaría que también use el tiempo”. Esto

implica que entiende que en este contexto tanto la distancia como el tiempo varían

como producto de un movimiento, por ello se dice que este estudiante tiene ideas

variacionales. Por el contrario, si se consideran respuestas como la de E8: “Una

distancia tiene cierta longitud, la longitud es la medida de la distancia”, se puede

mirar en ellas un pensamiento estático, en el que se relaciona de acuerdo a lo que

significa la distancia para el estudiante, es decir, en términos de una definición, ya

que la distancia puede pensarse como una medida de separación entre dos objetos

que determinarían una longitud.

Como conclusión de este primer bloque, si algún estudiante que no relaciona

variables de acuerdo a la dependencia que guardan e interioriza sus acciones, éstas

pueden definir procesos incorrectos en el establecimiento de relaciones funcionales,

razón por la cual en este bloque los estudiantes son clasificados en un nivel de pre-

acción.

Resultados desde la perspectiva Sociopeistemológica del bloque 1

Con la ayuda de la teoría APOE dejamos en claro que cuando se les presentó a los

estudiantes la tarea de relacionar variables, no toman en cuenta la dependencia

entre ellas o la especificidad de las relaciones, por ejemplo, propiedades como el

orden. Si nos fijamos en la manera que establecieron sus relaciones, todos

recurrieron de alguna manera a sus experiencias con tales magnitudes o variables,

ya sea por haber trabajado con ellas en algún curso, por algún medio de

comunicación, o bien, si se vieron afectados de alguna forma por alguna de las

mismas.

Por ejemplo consideremos las siguientes respuestas:

E3: Presión-tiempo, “Lo vi en comerciales”


58

E3 relacionó ingreso con producción simplemente porque vivió una situación en la

que pudo ver que ambas magnitudes se relacionan. Esto bastó para que se

convenciera de que así se relacionan tales magnitudes, es decir, no tuvo que recurrir

a un proceso de pensamiento complejo.

Por otro lado, resultó muy interesante el caso de la relación presión - tiempo, ya que

seis de los ocho estudiantes la plasmaron. Por ejemplo:

E8: “Mientras más te sientas presionado, más ansiedad tienes de ver el tiempo (la

hora)”.

En este ejemplo se puede ver más claro cómo a partir de eventos o situaciones

cotidianas vividas por los estudiantes, intentan dar solución a problemáticas con las

que se enfrentan.

Del mismo modo que los ejemplos anteriores, E4 realizó las tareas de una manera

muy particular en este bloque, ya que para cada una de sus relaciones presentó

ejemplos que desde nuestro punto de vista, son lo que le permitió concluir de manera

casi correcta la tarea.

E4:Ingreso-Producción

“Pues hablando económicamente para tener un ingreso tenemos que tener una

producción, es decir, si una fabrica produce 15,000 peluches pues su ingreso será

conforme a lo que venda”.

En sus respuestas se puede notar que fue a partir de ejemplos, desde luego con

sentido para él, que dio solución a las tareas planteadas.


59

Por tanto, se puede entender a la experiencia como un agente determinante cuando

se pide al estudiante establecer relaciones, particularmente, relaciones entre

magnitudes variables, lo cual adquiere sentido al recurrir a la epistemología de la

función, donde se puede observar que aunque sus definiciones cambiaron, sin duda

lo que prevaleció en todo el proceso de evolución del concepto fue la relación entre

variables, condicionada claro, por las situaciones socio-culturales de cada época.

5.2 Respuestas del bloque 2

Como se mencionó en el capítulo 3, en el bloque 2 se buscaba ver cómo ante la

tarea de predicción, los estudiantes relacionaban variables como el tiempo y la altura

de una vela, además de identificar las estrategias que utilizarían. Se les pedía

estimar el tiempo que tardaría en derretirse una vela más grande, con la ayuda de la

observación del derretimiento de otra más pequeña.

Cabe aclarar que para la aplicación de este bloque algunos estudiantes trabajaron en

equipo, es por eso que podrá verse una similitud entre las respuestas de algunos de

estos.

Respuestas:

E1:

La vela medirá 4.5 cm cuando hayan pasado 6.66 minutos.


“La vela chica tardó en reducirse 1cm, 1 minuto con 48 segundos y por tanto,

la otra vela estaría en las cantidades especificadas. Lo hice por regla de tres”.


60

E2:

“La vela chica tardó 120 segundos en derretirse 1 cm y la vela grande mide

5.7 cm, para que llegue a medir 4.5 cm se necesitarían de 144 segundos y

para disminuir a 3.5 tendrían que pasar 264 segundos”.

E3:

“Si 1cm de la vela se consumió en 2 min 07 seg, en la vela de 6 cm Yo estimo

que cuando llegue a 4.5 cm ya habrán pasado 3 min 03 segundos

aproximadamente. Y cuando la vela llegue a 3.5 cm ya habrán pasado 5 min

10 segundos”.

E4:



“Regla de tres”.

E5:

La vela medirá 4.5 cm cuando hayan pasado 3.37 segundos.

La vela medirá 3.5 cm cuando hayan pasado 5 minutos 40 seg.

“Eso tardó en derretirse 1.5 cm de la vela chica”.

E6:

“La vela chica tardó 120 segundos en reducir 1cm y la vela grande mide

5.7cm, entonces al haber pasado 144 segundos habrá disminuido hasta 4.5cm

y habrán pasado 264 segundos para que llegue a 3.5cm”


61

E7:

“Con la vela más pequeña medí que cada 2 minutos o sea 120 seg, se derrite

1cm de vela y como la vela más grande mide 5.7 cm calculé que como cada

120 seg disminuye 1cm y tenemos que llegar a 4.5 cm los 120 seg lo

dividimos entre .2 que es la quinta parte de 1cm, entonces la división dio 24 y

al sumarlo con los 120 seg nos da 144, que es el tiempo buscado para 4.5 cm,

y sumando 120 más 144 nos da para 3.5cm”.

E8:

La vela medirá 4.5 cm cuando hayan pasado 2.15.

La vela medirá 3.5 cm cuando hayan pasado 4.12.

Anotación: No se especifica un procedimiento para la estimación.

5.2.1Resultados del bloque 2

En este bloque se pudo ver que todos los estudiantes, con excepción de los que no

plasmaron un procedimiento, utilizaron la regla de tres. Algunos estudiantes fueron

explícitos en este aspecto mientras que otros por medio de su discurso lo hicieron

“visible”. Tal como se puede ver en las siguientes respuestas:

E1: “La vela chica tardó en reducirse 1cm 1 minuto con 48 segundos y por lo tanto la

otra vela estaría en las cantidades especificadas. Lo hice por regla de tres”.

E2: “La vela chica tardó 120 segundos en derretirse 1 cm y la vela grande mide 5.7

cm, para que llegue a medir 4.5 cm se necesitarían de 144 segundos y para

disminuir a 3.5 tendrían que pasar 264 segundos”.

En ambas respuestas puede verse la regla de tres como la herramienta de predicción

utilizada, sin embargo, el derretimiento de la vela sabemos que no es proporcional al

tiempo. Por ello, las acciones realizadas por los estudiantes sólo pueden funcionar

cuando las variables se comportan de manera lineal o proporcional. Como pudo


62

notarse en sus respuestas, ninguno de los estudiantes reflexionó acerca de la

proporcionalidad entre las variables, por este motivo los situamos en un nivel de

acción.

A diferencia de las respuestas del bloque anterior cuyas acciones podrían generar

obstáculos en el establecimiento de relaciones funcionales, en las respuestas del

bloque 2 se puede decir que provienen de razonamientos válidos y que en ciertos

casos se cumplen, es por eso que el nivel cognitivo de los estudiantes en el bloque 2

está en un peldaño más arriba que el nivel alcanzado en el bloque 1.

Resultados desde la teoría Socioepistemológica del bloque 2

Una de las intenciones del bloque 2 como ya se ha mencionado antes , era entender

las herramientas que los estudiantes emplean en una tarea predictiva como las

propuestas.

De acuerdo a las respuestas obtenidas, se advierte que los estudiantes recurrieron a

la regla de tres para estimar el derretimiento de la vela, sin considerar la

fenomenología del suceso. En otras palabras, se observa una linealidad en el

pensamiento de los estudiantes porque tienen una fuerte tendencia a suponer que

los fenómenos se comportan de tal manera que las variables involucradas guardan

una relación lineal. Ésto se explicó con mayor detalle cuando se abordó la tesis de

los campos conceptuales en capítulos anteriores.

Es importante mencionar entonces que, el uso de la regla de tres se encuentra

totalmente condicionado al contexto de la actividad y por esta razó n, fue que se

propuso; es decir, buscábamos corroborar en cierto sentido la linealidad de su

pensamiento que es algo común en la mente de estudiantes con estas

características. Por consiguiente se puede decir que si la manera de actuar del

estudiante ante estas tareas es condicionada, entonces sus construcciones mentales

también lo estarán, por lo que el nivel cognitivo en este caso se encuentra

relacionado y ligado a la naturaleza de la tarea. Cobra sentido en este contexto,

señalar que la regla de tres no constituye un concepto matemático propiamente, es


63

decir, no es lo que Chevallard caracteriza como una noción matemática. Se tiene así,

un indicador de aquello que prevalece en la mente de los estudiantes y la forma que

asume, más aún, el cómo se hace uso de ello sin apelo a las condiciones de validez.


En el bloque 3, se les presentaba a los estudiantes tres tablas para completar con

registros numéricos de los costos y ventas que le generaban a una empresa respecto

a cierto producto, además de etiquetar la tercera tabla. Recordemos que la intención

en este bloque era observar cómo establecen relaciones en abstracto, es decir, en

un contexto hipotético. La tarea más importante en este bloque fue la de determinar

expresiones algebraicas que representaran a cada tabla numérica, para ello se les

pedía estimar los valores respectivos al mes veinte de cada tabla.

Respuestas:

Llenado de las tablas de E1

Imagen 5.6

Expresiones algebraicas

Anotación: E1 describe el comportamiento de los valores numéricos de cada tabla y

con base en eso propone sus expresiones algebraicas marcadas con un óvalo.


64

Imagen 5.7

Llenado de las tablas y expresiones algebraicas de E2 (marcadas con óvalo):

Imagen 5.8



65

Imagen 5.9

Expresiones algebraicas de E3


Imagen 5.11


Imagen 5.10


66

Imagen 5.12


Imagen 5.13


Imagen 5.14

Anotación: E5 realizó de manera correcta el llenado de los datos, sin embargo, no

pudo expresar el patrón de los datos, ocasionando que su expresión para la segunda

tabla no fuera la adecuada.


67


Imagen 5.15

Anotaciones: E6 no completo las celdas vacías de la tabla tres en esta hoja, pero sí

se percató del patrón de los datos, ya que la dibujó en otra hoja.



Imagen 5.17

Imagen 5.16


68


Anotaciones: Al igual que E1, E7 con base en una explicación del comportamiento

de los datos, propuso sus expresiones (marcadas en óvalo).

Imagen 5.18


Imagen 5.19



69

Imagen 5.20

Anotaciones: Como puede considerarse en la imagen, lo que presenta E8 como

expresión algebraica, se encuentra en un lenguaje que propiamente no podría

llamarse algebraico, ya que combina la simbología matemática como las potencias,

con el lenguaje cotidiano. Lo anterior resulta más claro al observar su expresión de la

tabla 3, en la que simplemente plasma la explicación del comportamiento de los

datos.

5.3.1 Resultados del bloque 3

De acuerdo a algunos estudios basados en la teoría APOE, se ha determinado que si

los estudiantes pueden establecer expresiones algebraicas que representen una

relación funcional, entonces se pueden situar en un nivel de proceso en cuanto a la

función.

Tal y como se pude ver en las respuestas de los estudiantes, en primera instancia la

mayor parte de ellos realizaron el llenado de las tablas de manera correcta, ésto

implica una interiorización de acciones que definen procesos de resolución para

completar las tres tablas, además, la mayoría logró establecer las expresiones

algebraicas para cada tabla. Tomando esto como consideración se puede decir que

en ese bloque los estudiantes alcanzaron un nivel de proceso.


70

Resultados desde la perspectiva Socioepistemológica

En este bloque es importante aclarar que la naturaleza de las actividades era más

intramatemática; es decir, a diferencia de los dos bloques anteriores en los que el

estudiante decidía qué hacer matemáticamente, en el bloque 3 el ambiente era más

familiar para ellos en el sentido escolar, ya que normalmente en los cursos de

matemáticas se suelen plantear actividades como este tipo, hipotéticas en las que se

tiene un contexto ya generado en el cual tienen que adentrarse para resolver las

mismas. Por consiguiente, los estudiantes desarrollan ciertas competencias que les

permiten familiarizarse más fácil con este tipo de actividades, a diferencia de las

actividades del bloque 1 y 2 que normalmente no se suelen plantear en el aula de

clases.

Desde un punto de socioepistemológico, se infiere que el nivel alcanzado por los

estudiantes en este bloque se encuentra estrechamente relacionado con la

naturaleza de la actividad. Esto es, es la naturaleza de predecir y modelar lo que

favorece que los estudiantes movilicen sus esquemas y otorguen significados

situaciones a sus conocimientos y procesos matemáticos. Véase a modo de ejemplo,

que al pedirles en la actividad que proporcionen una expresión (fórmula), ésta fue

generada por la mayoría de los estudiantes.


En el bloque 4 se presentaron tres actividades, por lo que las respuestas las

dividiremos en tres apartados (parte I, parte II y parte III). En este apartado las

actividades se pensaron como una integración de los bloques anteriores y como

también ya se ha mencionado, con la intención de que el estudiante trabaje con la

función como objeto.

Resultados de la parte I


71

En esta parte del cuarto bloque se les presentó a los estudiantes dos rectas en las

que se representaba el comportamiento de los datos de dos variables, lo que se les

pedía era que escribieran lo que inferían del comportamiento de las variables.

E1: “El espacio entre los puntos de la variable 2 va avanzando de uno en uno 1+2=3,

o sea que en el próximo espacio habrán tres puntos y en el próximo espacio

habrá y número de puntos que es la suma de ”.

“La variable 1 sólo va avanzando de uno en uno, o sea va lento”.

Anotación: El estudiante E1 intenta descifrar el patrón que presentan los datos, para

que pueda realizar alguna afirmación, inclusive propone una expresión algebraica

que según él, describe el comportamiento de la variable 2. Además habla de una

velocidad relativa a dicho comportamiento y compara ambas variables, creando

como una historia o contexto propio de lo que percibe.

E2: “El comportamiento de la variable 1 es “seguida”, es por así decirlo, se repite la

misma secuencia de espacio entre punto y punto”.

“El comportamiento de la variable 2 es diferente a la de la uno, no sigue un patrón de

repetición, aunque al parecer desde el primer punto, el espacio aumentó entre punto

y punto”.

Anotación: En su explicación E2 recurre al patrón que siguen los puntos colocados

sobre las rectas. Suponemos que lo que intenta comunicar es de alguna manera la

proporcionalidad de la variable 1.

E3: “Lo que Yo infiero de la ilustración es que la variable 2 no es proporcional y la

variable 1 sí lo es”.

“En la variable 1 los puntos tienen la misma distancia y van creciendo por lo que

deduzco que es una proporcionalidad”.

“Digo que la variable 2 también es proporcional pero es diferente a la otra porque no

se toman los mismos factores de comportamiento”.


72

Anotación: Es más conciso E3 en el sentido de asegurar de alguna manera, la

proporcionalidad de la variable 1, mientras que de la variable 2 dice que no es

proporcional en un principio. En su segundo intento de explicar las características de

las variables se contradice al decir que la variable 2 es proporcional, sin embargo, lo

que creemos que intenta decir es que la naturaleza del comportamiento de la

variable 2 es distinta a la de la variable 1.

E4: “La variable 2 aumenta más que la primera variable, es decir que no importa

quién inició primero sino quién avanza más”.

Anotación: Nuevamente un estudiante genera como un contexto o historia respecto

a la situación, que le permite dar sentido a la actividad, para así responder en sus

términos.

E5: “Que en las dos rectas hay la misma cantidad de puntitos nada más que en la

variable 2 hay más distancia entre ellos y en la variable 1 no, están más juntos”.

“Algunas letras y algunos números se encuentran situadas en el mismo lugar de la

recta ”.

Anotación: Señala sobre la recta los puntos a, b y c, no se fija en el comportamiento

de los datos si no lo que observa en primera instancia, ya que como expresa, lo

único que percibe es la distancia entre los puntos, no reflexiona sobre la razón de ser

de los datos.

Imagen 5.21


73

E6: “En la variable 1 la misma longitud que hay entre cada punto es la misma , así

que viene de naturaleza proporcionada”.

“En la variable 2 parece aumentar su distancia entre cada punto muy alto y desigual ,

así que viene de una naturaleza que no está proporcionada”.

Anotación: Tal y como E3 expresó, E6 hace referencia y se percata de la distinta

naturaleza que tienen ambas variables, es decir, la proporcionalidad y la no-

proporcionalidad, a decir de ellos.

E7: “La variable 1 avanza de uno en uno, en cambio en la variable 2 avanza primero

uno, después tres y se mantiene constante de cinco en cinco, por lo que el aumento

de las cantidades es cinco veces mayor a la de la variable 1”.

Anotación: E7 establece un patrón de los datos que observa relativa a la variable 2:

1, 3, 5,…, pero asume que el comportamiento después de cierto momento es

constante.

E8: “Los datos de la variable 1 siguen un patrón, hay la misma distancia entre los

datos que nos proporcionan”.

Anotación: E8 solamente comenta sobre la variable 1, ya que no comprende el

patrón de los datos de la variable 2.

Respuestas de la parte II:

E1:

Imagen 5.22


74


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.1

Anotación: Llamó la atención de la forma en que presentó las expresiones, por

ejemplo para la Imagen 2 propuso , lo que se pudo inferir es que tanto el -2

que acompaña a la como el 2 seguido de la , son los valores del intercepto y de la

raíz de la función . Por tanto E1 se fijó en los valores que cortan los ejes

coordenados, siguiendo su razonamiento para la imagen 1, tendría la siguiente

expresión, , lo cual no concordaría con la correcta .

E2:

Imagen 5.23


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.2


75

E3:

Imagen 5.24


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.3

Anotaciones: En este caso E3 al igual que los anteriores, se fijó en las

intersecciones con los ejes y lo que hizo fue agregar el intercepto y la raíz a los lados

correspondientes de la expresión Cabe mencionar que este razonamiento

tiene más sentido que el de E1, ya que si se sigue su manera de pensar en la

imagen 1 se tendría que , resultando .

E4:

Imagen 5.25


76

Anotación: E4 explica su razonamiento para determinar las expresiones

algebraicas. Es importante mencionar que el razonamiento que siguió fue

exactamente el mismo que E3, a tal grado que propuso las mismas expresiones.


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.4

E5:

Imagen 5.26


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.5


77

E6:

Imagen 5.27


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.6

Anotaciones: Cabe destacar que este estudiante fue el único que acertó con las

expresiones algebraicas de las funciones representadas por las gráficas. Cuando se

le preguntó sobre la manera en que resolvió la actividad, comentó que ya había

realizado ejercicios similares en cursos previos de secundaria. Explicó que el

procedimiento que sigue es el de ver cómo van cambiando los valores dada una

fija y con ello trata de relacionar de manera que se cumpla la relación gráfica entre

ambas. Es decir, reconoció las partes subyacentes al concepto función, por su

puesto, con una idea variacional asociada a la misma en experiencias previas


78

E7:

Imagen 5.28


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.7

Anotaciones: Este estudiante realizó una explicación verbal correcta del

comportamiento de las variables e en las gráficas, sin embargo, no pudo

determinar las expresiones correctas para las imágenes, en el primer caso de la

Imagen 2 se puede ver una inversión de las variables, y para la Imagen 3 se infiere

que pensó que la expresión correspondiente a la gráfica de una recta con pendiente

negativa, bastaría con cambiar de lado de la igualdad los valores, como se observa

en la tabla 5.7


79

E8:

Imagen 5.29


Imagen 2 Imagen 3

Tabla 5.8

Resultados de la parte III.

En esta parte se les pedía a los estudiantes proponer dos puntos adicionales a los

que se les presentaron en un plano cartesiano, de tal suerte que cumplieran las

mismas características que los que ya se encontraban graficados. Lo interesante en

esta parte del bloque 4 es que como se podrá ver, varios estudiantes determinaron la

expresión algebraica de la gráfica de la función sin pedírsela (explícitamente).

E1:

,

Expresión:


80

Anotación: El estudiante E1 de alguna manera interiorizó sus acciones y

procedimientos de la parte II, y los extrapoló en cierto sentido a esta actividad, ya

que dados los puntos se fijo en las coordenadas de la ordenada y la abscisa, y al

igual que las rectas de la parte dos, estableció las expresiones. Es por eso que sus

parejas ordenadas tienen la forma .

E2: ,

Expresión:

E3:

Expresión: S.R.

E4:

Expresión:

Anotación: Realizó una tabla colocando dos columnas A y B, de ahí CA y CB

(Imagen 5.30).

Imagen 5.30

E5: y

Expresión: S.R.


81

Anotación: Este estudiante no se fijó en la relación que guardan las variables, por lo

que llevó a cabo fue una reflexión simplificada respecto al eje X, de los puntos

proporcionados (imagen 5.31)

Imagen 5.31

E6: , y

Expresión:

E7: y

Expresión: S.R.

E8: S.R.

5.4.1 Resultados del bloque 4

En este bloque, tal y como se concibió, se cumplió lo que se esperaba, ya que en la

parte I se puede ver cómo los estudiantes sin tener un contexto específico

relacionaron las variables 1 y 2 de tal manera que algunos expresaron como una

historia acerca del comportamiento que pudieron percibir, además de que algunos de

manera acertada se percataron de que una de las variables no tenía un

comportamiento proporcional a diferencia de la otra. En este sentido, se puede ver

una consolidación en cierta manera de la habilidad de relacionar variables en esta

primera actividad del bloque.

Posteriormente, en la parte II pudieron usar sus propias estrategias para encontrar

las expresiones algebraicas relativas a cada gráfica. Para este momento se podía ver


82

a algunos estudiantes que se encontraban en una transición entre la etapa de

proceso y de objeto, ya que algunas explicaciones estaban en términos del

“movimiento” de la recta aspecto característico de la etapa de objeto.

Para concluir con la revisión de este bloque, se atiende la parte III que sirvió como

una actividad para incorporar todo lo anterior y se puede decir, que se vio una

evolución de las acciones y procesos empleados por parte de los estudiantes a lo

largo de la resolución del instrumento, a tal grado de que algunos de ellos por sí

mismos y sin una instrucción explícita en la que se les pidiera expresar

algebraicamente la relación de las variables del plano con los puntos, escribieron su

correspondiente representación algebraica, considerando las variables involucradas.

En otras palabras, algunos estudiantes miraron a las gráficas como objetos que son

representados por una expresión matemática.

Por estas razones y según la teoría APOE, se puede decir que los estudiantes en

este cuarto bloque se situaron en una transición entre el nivel de proceso y el de

objeto.

Resultados desde la perspectiva Socioepistemológica

De acuerdo al análisis socioepistemológico, se tiene que el orden de las actividades

fue el adecuado, ya que como pudo constatarse en este último bloque, hubo una

cierta evolución por parte de algunos estudiantes de sus habilidades para la

resolución de las mismas. Se puede decir que dicho análisis también influyó en los

niveles cognitivos que los estudiantes alcanzaron en cada bloque, hasta el hecho de

que en este cuarto bloque la mayoría de los estudiantes se situaron en una transición

entre las etapas de proceso y objeto.

Entonces con este estudio resultó fundamental considerar aspectos didácticos,

epistemológicos y cognitivos de la función como un sistema en el que no se puede

hablar de dimensiones por separado, así como el papel de la dimensión social de la

matemática en el análisis y explicación de las relaciones de un sistema didáctico. En

las conclusiones se ahondará en este último aspecto.


83

5.5 Conclusiones

De acuerdo con el estudio realizado, es importante señalar que respecto al concepto

función, es posible idear tareas o actividades que ayuden a determinar si un

estudiante se encuentra en una etapa cognitiva determinada relativa al aprendizaje

de este concepto. Tales tareas han de ser producto de una revisión y análisis en

forma sistémica, como el presentado en este trabajo.

Tal y como diversas investigaciones han dejado ver, así como el propio Dubinsky, no

se puede hablar de una linealidad en las etapas cognitivas de acción, proceso, objeto

y esquema, es decir, un estudiante puede encontrarse en etapa de proceso cuando

se enfrenta a una tarea sin necesidad de pasar primero por la etapa de acción, por

ejemplo, para el caso del bloque 3, se pudo ver que la mayoría presentó una etapa

de proceso al resolver las actividades, ya que la mayoría de los estudiantes

determinaron las expresiones algebraicas de cada una de las tres tablas y de una

manera correcta.

Detectamos que en la teoría APOE se consideran etapas cognitivas en un sentido

que se podría decir, es correcto o acorde con el concepto, dicho de otra forma, en el

nivel de proceso se encuentran estudiantes que pueden determinar expresiones

algebraicas, describir procedimientos sin realizarlos (mentalmente), empero todo en

una forma correcta. Por tanto, en la teoría no se especifica qué sucede en casos en

los que un estudiante interioriza acciones que nos son adecuadas para un concepto

específico y que desencadenan procesos inadecuados, ocasionando obstáculos

ontogénicos en los estudiantes. Más aún, no se explica qué produce tal tipo de

interiorización, pues resulta que la pura descomposición genética es insuficiente para

modelar un proceso de aprendizaje, toda vez que los resultados obtenidos evidencia

la naturaleza social del aprendizaje, esto es, el conocimiento o aprendizaje es

producto de procesos sociales.

De acuerdo al estudio realizado se encontraron en estudiantes de segundo año de

bachillerato, los niveles de pre-acción, acción, proceso y una transición entre nivel de

proceso y objeto, cuando se enfrentan a cierto tipo de actividades relacionadas con


84

el concepto de función. En este sentido se puede decir que el marco

socioepistemológico permitió potencializar las etapas cognitivas en el orden particular

vistas. En efecto, el atender la cognición ligado a lo social, así como lo didáctico y

epistemológico en procesos de producción y difusión del conocimiento, favorece la

descomposición genética y extiende el análisis de las producciones generadas por

los estudiantes.

La influencia de la experiencia que tiene los estudiantes al momento de relacionar

variables es notable, ya que como se pudo observar en algunas de las respuestas de

los estudiantes en el bloque uno, en primeros términos no se piensa

matemáticamente, o bien, no relacionan las magnitudes de acuerdo a una noción de

dependencia entre ellas o reglas específicas de relación, lo cual resulta importante

para las consideraciones didácticas. Esto trae consigo interrogantes sobre las

actividades que se proponen en el aula para abordar el concepto de función, por

ejemplo ¿Qué tipo de actividades son las que se deben plantear en los cursos de

matemáticas para que los estudiantes puedan relacionar sus experiencias y que a la

vez piensen matemáticamente? O bien ¿Cuáles son las condiciones más adecuadas

para que los estudiantes establezcan de manera adecuada relaciones funcionales?

Sin duda es un reto, empero estudios como este pueden ser de mucha ayuda para

responder o profundizar en este tipo de interrogantes.

Se descubrió también que los niveles cognitivos de los estudiantes se encuentran en

una estrecha relación con el tipo de actividad planteada al estudiante, de tal forma

que se podría decir que si bien es común pensar que lo cognitivo obedece a

implicaciones propias de un individuo, la realidad es que las condiciones socio-

culturales (su contexto) en las que se encuentra el individuo, hacen que su manera

de actuar se encuentre condicionada a ciertas características y por consiguiente, lo

que piensa y hace también.

Como ejemplo de lo anterior, se tiene que en los primeros dos bloques del

instrumento, el estudiante se enfrentaba a actividades de un cierto tipo de naturaleza

(extra-matemática) en la que no se le especificaba la manera matemática de actuar,

por lo que se recurre a la experiencia, obteniéndose razonamientos incipientes en


85

formalismo y validez matemática, en contraste con las actividades de los últimos dos

bloques que se encontraban en un dominio intra-matemático.

Resumiendo los párrafos anteriores, si se reflexiona sobre el entendimiento o

razonamiento matemático, desde una perspectiva socioepistemológica, este no es

dominio exclusivo de la matemática misma, es decir, no obedece la lógica de

razonamiento matemático (dominio de pensamiento intramatemático), sino que se

puede decir que toda tarea o actividad de índole matemático, pasará por un medio

contextual que se puede pensar como una componente sociocultural de las

personas-experiencias de vida social.

Para profundizar en esta afirmación podemos retomar el ejemplo del primer bloque

en el que se pedía relacionar la distancia; es decir, la noción de distancia es en

términos físicos, no conceptual. Esto es, se visualiza como un espacio por recorrer o

recorrido, no como una magnitud variable, tal y como se pudo ver en la mayoría de

las respuestas. Desde nuestra perspectiva, sostenemos que el individuo tiene una

definición o idea de lo que representa la distancia que no se encuentra inclinada a

implicaciones del individuo y sus procesos mentales, sino a toda una gama de

situaciones, contextos, actividades propios de un marco socio-cultural que la define.

Tal y como se deja ver en Radford (2006), los objetos matemáticos son definidos de

acuerdo a la interrelación entre la subjetividad de un individuo y las actividades

propias de su realidad cultural que le permiten percibir y dar cuenta del objeto.

Por otro lado, resulta necesario recalcar que el estudiar de manera sistémica las

dimensiones didáctica, epistemológica, cognitiva y sociocultural respecto a un

concepto matemático, permite entender formas alternativas de tratamiento escolar y

como consecuencia, se piensa ayudaría a proponer mejores escenarios para que los

estudiantes construyan de mejor manera su conocimiento matemático.


86

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