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O Modelo de Interação do Multiplicador

e Acelerador de Samuelson (1939)

Prof. Giácomo Balbinotto NetoUFRGS

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Bibliografia Chiang (1982, cap. 14)

Dowling (1981, cap. 20)

Burda & Wyplosz (2005, cap. 14.3.2)

Samuelson, P. (1939). Interactions Between the Multiplier Analysis and the Principles of Acceleration. Review of Economics Statistics: 75-78.

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Maybe the most famous second-order difference equation in economics is the one associated with Samuelson’s multiplier accelerator model.

Thomas Sargent (1979, p. 184)

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O modelo de Samuelson (1939)[Samuelson Oscilator] nos mostra, de modo simples, como a interação entre o multiplicador e o acelerador é capaz de gerar flutuações cíclicas endogenamente.

Paul Samuelson credits Alvin Hansen rather than Harrod for the inspiration behind his seminal 1939 contribution. The original Samuelson multiplier-accelerator model (or, as he belatedly baptised it, the "Hansen-Samuelson" model) relies on a multiplier mechanism which is based on a simple Keynesian consumption function with a Robertsonian [http://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm]

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A Estrutura do Modelo

- A renda nacional Yt é composta por três fluxos de gastos:

Ct – consumo;It – investimento;Gt – gastos do governo.

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A Estrutura do ModeloO consumo corrente [Ct] é assumido ser uma função da renda do período anterior [Yt-1]. Aqui assumimos que Ct seja estritamente proporcional a Yt-1.

O investimento é assumido ser do tipo induzido, sendo uma função da tendência vigente dos gastos de consumo. É através deste investimento induzido que o princípio da aceleração entra no modelo de Samuelson (1939).

Os gastos do governo [Gt] são assumidos serem exógenos. Aqui, por simplificação, supomos que sejam constantes e iguais a Go.

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A Estrutura do Modelo: As Equações

Yt = Ct + It + Go

Ct = Yt-1 , 0 < < 1 - propensão marginal a consumir

It = (Ct – Ct-1) , > 0 - é o acelerador

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Dada a equação do consumo, pode-se expressar a equação do investimento como:

It = (Yt-1 – Yt-2) = (Yt-1 – Yt-2)

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Substituindo a equação do investimento e a equação do consumo na equação da renda, obtemos:

Yt - (1 +) Yt-1 + Yt-2 = Go

ou

Yt+2 - (1 +) Yt+1 + Yt = Go

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Yt+2 - (1 +) Yt+1 + Yt = Go

esta é uma equação em diferenças de segunda ordem com termo e coeficientes constantes, que pode ser resolvida encontrado-se a integral particular e a função complementar. [cf. Chiang (1982, cap. 17)]

A solução deste modelo consiste em achar a integral particular e a função complementar.

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A Solução do Modelo

A integral particular representa o nível de equilíbrio intertemporal do Yp.

A função complementar, Yc, especifica, para cada período de tempo, o desvio em relação ao equilíbrio.

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A Solução do Modelo:#1 – A Integral Particular

A integral particular, que em termos do modelo de Samuelson (1939) equivale ao nível de equilíbrio da renda no longo prazo é resolvido estabelecendo-se que:

Yt = Yt+1 = Yt+2 = Yp

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A Solução do Modelo:#1 – A Integral Particular

A integral particular é dada por:

Yp = Go/ [1- (1 + ) + ] = Go/(1- )

[1/ /(1- )] é simplesmente o multiplicador keynesiano simples que prevaleceria na ausência do investimento induzido.

Assim, [Go/(1- )] – o gasto exógeno vezes o multiplicador da renda, nos dá a renda de equilíbrio do modelo, no sentido de que este nível de renda satisfaz a condição de equilíbrio [renda = demanda agregada].

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A Solução do Modelo:#2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio

A equação [Yt+2 - (1 + ) Yt+1 + Yt = Go] possui a seguinte equação característica:

2b - (1 + )b + = 0

a qual pode ser resolvida para duas raízes b1 e b2.

Contudo, visto que a convergência ou divergência dependem dos valores de b1 e b2, que por sua vez dependem dos valores dos parâmetros e , as condições para convergência ou divergência devem ser expressas em termos dos valores de e .

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A resolução da equação de segundo grau é dada pela fórmula de Bhaskara:

2 ½ r1,r2 = b (b – 4ac) /2a

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As duas raízes b1 e b2 são sempre relacionadas entre si pelas seguintes equações:

b1 + b2 = (1 + )

b1.b2 =

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A Solução do Modelo: #2 – A Função Complementar e a Estabilidade do EquilíbrioCaso #1 – Raízes Reais e Distintas

Dado que e são ambos positivos, isto implica que b1 e b2 são também positivos.

Como (1+) > 0, temos que b1 e b2 precisam ser positivos.

Isto implica que, no caso #1, a trajetória temporal de Yt não admite oscilações.

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Caso #1 – Raízes Reais e Distintascombinações possíveis dos valores de b1 e

b2

(i) 0 < b2 < b1 < 1 <1 ; < 1;

(ii) 0 < b2 < b1 = 1 = 1

(iii) 0 < b2 < 1 < b1 > 1 ;

(iv) 1 = b2 < b1 <1 ; < 1;

(v) 1 < b2 < b1 <1 ; > 1

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Caso #1 – Raízes Reais e DistintasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2 e suas implicações

Para a situação (i), onde b1 e b2 têm, ambos, valores fracionários e positivos, o produto (1-b1)(1-b2) é positivo. Isto pode ser escrito como:

1-b1-b2 + b1b2 = 1 - (1+) + = 1 -

Isto por sua vez implica que < 1, que é consistente com a especificação do modelo.

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Contudo, as possibilidades (ii), (iii) e (iv) violam, todas, a especificação do modelo, pois implicam num valor de 1.

Assim, elas devem ser eliminadas pois não satisfazem, do ponto de vista teórico, as exigências estabelecidas no modelo. [cf. Chiang (1982,p.516)]

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Já a possibilidade (v) é admissível do ponto de vista teórico. Neste caso temos que b1 e b2 são ambas maiores do que 1; portanto, o produto (1-b1)(1-b2) = 1- , sendo o produto de dois termos negativos, é novamente positivo, implicando que < 1.

Assim, para o caso #1, temos duas possibilidades teóricas plausíveis.

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Na possibilidade (i) – que envolve raízes fracionárias, temos que a trajetória temporal gerada será convergente em relação a Y.

Já na possibilidade (v), onde as raízes são maiores que 1, obtemos uma trajetória temporal divergente.

No que se refere aos valores de e , a questão da convergência ou divergência depende de se < 1 ou > 1, pois = b1b2 é menor (maior) do que a unidade quando b1 e b2 são ambos frações positivas (maiores do que 1).

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Caso #2 – Raízes RepetidasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2 e suas implicações

As raízes são iguais a b = [(1+)/2] com sinal positivo porque e são positivos. Portanto, temos que, novamente, não são geradas oscilações neste caso.

O valor de b gera três possibilidades teóricas:

(vi) 0 < b < 1 <1 ; < 1;

(vii) b = 1 = 1

(viii) b > 1 > 1 ; > 1

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Na possibilidade (vi), b é uma fração positiva, o que implica que:

2 2

(1-b) = 1 – 2b+ b = 1 - [(1+)] + = 1 - > 0

<1 2

Na possibilidade (viii) temos que (1-b), temos que > 0. Por fim, quando b=1, na possibilidade (vii), temos que: 2(1-b) = 0 , de modo que =1, o que viola a especificação do modelo, indicado que ela não é teoricamente plausível e deve ser eliminada.

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O caso # 2 (de raízes repetidas) gera dois casos teoricamente admissíveis – as possibilidades (vi) e (viii).

Na possibilidade (vi) é gerada uma trajetória temporal convergente, ao passo que na possibilidade (viii) – gera-se uma trajetória divergente.

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Caso #3 – Raízes complexasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2

e suas implicações

No caso de raízes complexas, temos uma flutuação escalonada (visto que estamos lidando com um modelo com equações a diferenças) que apresenta ciclos econômicos endógenos.

Neste caso temos que buscar o valor absoluto de:

1/2

R = (a) para verificar se a trajetória é convergente ou divergente.

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Caso #3 – Raízes complexasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2

e suas implicações

O modelo gera três possibilidades teóricas para este caso, onde:

½ R = ()

(ix) R < 1 <1

(x) R = 1 = 1

(xi) R > 1 > 1

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Resumo dos CasosCaso Subcaso Valor de Trajetória

temporal de Yt

#1 – raízes reais e distintas 2 > [4/(1+) ]

1C: 0<b2<b1<1

ID: 1 <b2<b1

<1

> 1Não oscilatória e sem flutuações

# 2 – raízes reais e repetidas 2

= [4/(1+) ]

2C: 0 < b < 1

2D: b > 1

<1

> 1Não oscilatória se

sem flutuações

# 3 - raízes complexas 2

> [4/(1+) ]

3C: R <1

3D: R 1

< 1

1Com flutuação

escalonada

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Resumo dos Casos

Se as raízes características forem complexas conjugadas, a trajetória no tempo oscilará, isto é, teremos ciclos econômicos regulares.

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Resumo Gráfico dos Resultados

2 = [4/(1+) ]

= 1

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Sites Recomendadoshttp://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm

http://www.eumed.net/cursecon/textos/samuelson/index.htm

http://www.econlib.org/library/Enc/bios/Samuelson.html

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CuriosidadeBhaskara é o autor de um dos mais importantes livros de história da Matemática que tem o nome de sua única filha Lilavati. Conta a lenda que a única maneira de uma mulher ter uma alma era através do casamento, mas por causa de um incidente isto não foi possível, foi quando Bhaskara resolveu honrar a filha dando-lhe uma segunda chance. Escreveu um livro e deu o nome de Lilavati. Um casamento teria dado a Lilavati uma alma, mas o amor de Bhaskara pela filha deu a ela a eternidade. Este é o mundo que rodeia estes homens, um mundo de mistérios, descobertas, paixões e magia.

FIM

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proporcional a y

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