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Región Huejutla
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7(/(%$&+,//(5$72DEL ESTADO DE HIDALGO
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Región Huejutla
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��El alumno comprenderá y aplicará las principales operaciones Matemáticas, así
como desarrollar las habilidades para la resolución de problemas, que le permitirán
obtener mejores calificaciones y asegurar su permanencia en el Telebachilerato.
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ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 1
HABILIDADES MATEMÁTICAS .................................................................. 2
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ............................................................. 6
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS .................................................... 7
OPERACIÓN CON NÚMERO RACIONALES ................................................ 8
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES ......................... 15
EXPONENTES Y RADICALES ......................................................................... 16
NOTACIÓN CIENTIFICA ........................................................................................................ 19
OPERACIONES CON POLINOMIOS (ÁLGEBRA) .......................................... 20
DESPEJE DE INCOGNITAS EN UNA ECUACIÓN ........................................ 21
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 24
ANEXOS ...............................................................................................................25
RESOLUCIÓN DE LA SECCIÓN DE HABILIDAD VERBAL .........................25 �������
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Con el fin de solucionar la problemática que se tiene con los alumnos de nuevo ingreso, los
cuales ingresan a los Telebachilleratos del Estado de Hidalgo con muy pocos conocimientos con
respecto a las operaciones básicas de Matemáticas, como es la suma, resta, multiplicación y división
de los números enteros así como, los fraccionarios se ha implementado el curso de inducción al
Telebachillerato, el cual tiene como finalidad regularizar a los alumnos con respecto a los
conocimientos básicos de las principales operaciones Matemáticas y como consecuencia asegurar
su permanencia en nuestros planteles. Por tal motivo la Academia Región Huejutla se propuso
diseñar un temario y un cuadernillo de trabajo los cuales se utilizarán en el Curso de Inducción.
Este cuadernillo de trabajo lo utilizará el maestro en conjunto con los alumnos y contiene una
sección de ejercicios para desarrollar las habilidades matemáticas en los alumnos, posteriormente
tenemos operaciones básicas matemáticas con los números enteros y fraccionarios; se estudian
algunas leyes de potencia y radicación, operaciones con polinomios utilizando el álgebra y por
último una sección de despejes.
Es importante aclarar que el docente de exactas de cada plantel tiene que realizar un examen
diagnóstico a sus alumnos de nuevo ingreso y a partir de ahí iniciar su curso, si en algún momento
es necesario estudiar un tema que no esta propuesto por este cuadernillo, el docente tiene la libertad
de modificar el temario de su curso de inducción, todo esto con una respectiva justificación.
Esperamos que el presente trabajo nos ayude a mejorar nuestro desempeño y las sugerencias
o mejoras por favor enviarlas al siguiente correo: [email protected];
A T E N T A M E N T E
M.C. LILIA VÁZQUEZ MENDOZA
Región Huejutla 2
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INTRODUCCIÓN:
En objetivo del presente curso - taller de habilidades matemáticas es lograr que el alumno aprenda hacer más analítico y deductivo en la solución de problemas matemáticos, además de desarrollar las habilidades de razonamiento; motivo por el cual se han desarrollado una serie de ejercicios los cuales resolverán en clase, inicialmente los alumnos y posteriormente el docente los resolverá.
1.- /RV�FXDGURV� Observa los siguientes cuadros y anota los números pares que hay a partir del número 2 al número 14, un número por cada cuadro, de tal manera que su suma resulte 24 en todas direcciones. 2.- (O�RUGHQ�GH�ODV�RSHUDFLRQHV En el cuadro que a continuación se presenta faltan algunos números y algunos signos de operación. ¿Podrías indicar cuáles faltan para que al final en la casilla de abajo del lado derecho el resultado sea 10?
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Región Huejutla 3
3.- /D�OHFKH� En el pueblo de San Luis las muchachas van por la leche al establo a las 5 de la mañana. Aquel 17 de octubre a las cuatro de la mañana fue levantada Lupita para que trajera la leche. Le encargaron 10 litros y la mandaron con dos cubetas, una con capacidad de 8 litros y otra de 5 litros. Al siguiente día, el 18 de octubre, fue mandada Juana (hermana de Lupita ) a traer leche con los mismos recipientes, pero le encargaron 11 litros. Explícanos la manera en que ellas trajeron las cantidades señaladas de leche. 4.- /RV�SULPRV Un numero primo es aquel que únicamente es divisible entre si mismo y entre la unidad. Anota los 11 primeros números primos sin considerar el 1 5.- 'H�IUDFFLRQHV A la tienda de la esquina, Lulú fue a comprar queso. Compró primero 100 g y después fue a comprar medio cuarto, por que no alcanzó lo primero que compró. ¿Cuándo compró más queso, en la primera o la segunda vez que fue a la tienda? 6.- 8QD�FXEHWD Cuando Sofía pasó por donde se encuentra la llave del agua, vio una cubeta que estaba llena a la mitad, después vino su tía y le vació 4 litros mas de agua que traía. Con esta agua la cubeta se lleno hasta las tres cuartas partes. ¿ Cuantos litros de agua en total le caben a la cubeta? 7.- /DV�GLVWDQFLDV�\�HO�WLHPSR Se sabe que la velocidad de la luz es aproximadamente de 300000 Km / seg., y el tiempo que tarda en llegar la luz del sol a la tierra es de aproximadamente 8.2 min.(o sea que si el sol estalla nos enteraríamos después de ese tiempo ). ¿Cuál es la distancia que hay de la tierra al sol? 8.- 'H�WLQDFRV Un tinaco en forma de cubo mide de arista 3m por lo que su volumen o capacidad es de 3x3x3 =27 m3 ¿cuánto será su capacidad si el valor de su arista aumenta al doble?
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9.- Un cuadro mágico Escribe en cada cuadro un número del 3 al 11 de tal manera que la suma en forma vertical, horizontal y diagonal sea siempre 21.
10.- (O�UHIUHVFR Si al repartir un refresco se obtienen 12 vasos iguales llenos ¿Qué porcentaje de Refresco se tomó Julián si tomó 3 vasos?
11.-(O�EXVFDGRU Pon atención: si la sexta parte de un número es 50 y este mismo es la tercera parte de otro ¿Cuáles son los dos números? 12.- (O�MXHJR�GH�ODV�SHORWDV En una caja de cartón, están metidas 30 pelotas moradas, 15 pelotas azules, 13 pelotas cafés, 18 pelotas verdes, 25 pelotas blancas y 56 pelotas negras. ¿Qué probabilidad se tiene de extraer una pelota que no sea de color naranja? 13.- (Q�OD�JUDQMD En la granja de don Simón, en uno de los corrales, estaban guardados los patos y las vacas. Un día su hijo José pasó por la ventana que daba al granero y contó la cantidad de 72 patas, entre las de los patos y las vacas, y 27 cabezas en total. ¿Cuántas vacas y cuantos patos son:? 14.- 6LHPSUH�HO�GREOH� Añade a la siguiente serie numérica 3 números más. 1, 2, 4, 8, 16...
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15.- /D�VHULH�TXH�GLVPLQX\H Escribe tres números más a la siguiente serie numérica. 120,100,80,60, 16.- VLHPSUH�HO�WULSOH Anota entre las comas tres números que sea acordes con la serie. , , ,81,243,729 17.- /RV�FXDGUDGRV Completa la serie considerando que son cuadrados perfectos. Escribe los que faltan entre las comas. 1,4,9, , , ,49,64,81,100.... 18.- 'H�FXERV Pon entre las comas los números que faltan en la serie, considerando que la forman cubos perfectos. 1, , , 64,125,216,343,512... 9.- 8Q�FXDGUR�PiV� Pon, en los cuadros vacíos , números entre el 1 y el 9 , de modo que completes correctamente las operaciones.
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4�
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8�
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$',&,Ï1�'(�1Ò0(526�(17(526�
�
a) Para sumar enteros positivos, se suman sus valores absolutos, y el resultado se le pone signo más.
(MHPSORV��(+4) + (+5) = +9
(+16) + (+21) = +37
(+19) + (+3) + (+4) = +26
(+7) + (+8) + (+13) + (+20) = +48
(+12) + (+13) = +25
Para sumar enteros negativos, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone signo menos.
(MHPSORV� (-3) + (-11) = -14
(-6) + (-5) = -11
(-7)+(-18) = -25
(-25)+(-30)=-55
(-4)+(-16)+(-18) =-38
b) Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y a la diferencia se le pone el signo del mayor en valor absoluto.
(MHPSORV��(+9) + (-7) = +2
(-13) + (+5)= -8
(+11)+(-3)=+8
(+50)+(-15) =+35
(+16)+ (-6)=+10
c) En general, para sumar varios enteros, se suman separadamente los positivos y los negativos, se restan los valores absolutos de ambas sumas y a la diferencia se le pone el signo de la mayor en valores absolutos.
(MHPSOR� (+3) + (-1) + (+4) + (-5) + (-9)=(+7) + (-15) = -8
(+5)+(-2)+(-6)+(+8) = (+3) + (-6)+(+8) =(-3)+(+8) =+5
��
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�5HVXHOYH�ODV�VLJXLHQWHV�RSHUDFLRQHV��1. (+4)+(+20) =
2. (+7)+(+9)+(+6) =
3. (+14)+(-3) =
4. (+19)+(-6) =
5. (-50)+(+7)+(+3) =
6. (-13)+ (-25) =
7. (-27) +(-13) =
8. (-20) + (+8) =
9. (-7)+ (+15) +(-28) =
10. (-9)+(-15)+(+20) =
�68675$&&,Ï1�'(�1Ò0(526�(17(526
La sustracción es una operación inversa a la adición. Conociendo la suma (minuendo) de dos
sumandos y uno de ellos (sustraendo), debemos encontrar el otro (diferencia). La introducción del concepto de números negativos permite resolver la sustracción, cuando
el sustraendo es mayor que el minuendo. Así, por ejemplo, si una persona en un restaurante ha consumido por valor de $ 25.00 y solo
lleva $ 18.00 queda a deber $ 7.00; el resultado será un número negativo la operación se dispone en la forma siguiente:
(+18) - (+25) = -7 y se comprueba así
(+25) + (-7) = +18
(QWRQFHV� SDUD� HIHFWXDU� XQD� VXVWUDFFLyQ� GH� Q~PHURV� HQWHURV�� EXVFDPRV� HO� Q~PHUR� TXH�VXPDQGR�FRQ�HO�VXVWUDHQGR�Gp�HO�PLQXHQGR��
En la siguiente sustracción analizaremos sus elementos: (+4) – (+2) = +2
El signo menos que se encuentra entre las dos expresiones con paréntesis nos indica precisamente una sustracción; el (+4) primer número se llamará PLQXHQGR, el segundo, el (+2) segundo número será el VXVWUDHQGR y el resultado (+2) se llama resta o diferencia.
(+4) -
(+2)
=
(+2)
Minuendo Signo de la diferencia
Sustraendo Resta o diferencia
(MHPSORV��0� ±� 6� �
�'��
� 6� �� '� � 0�
(-4) – (-9) = +5 Porque (-9) + (+5) = -4 (-3) – (-2) = -1 Porque (-2) + (-1) = -3
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(+3) – (-2) = +5 Porque (-2) + (+5) = +3 (+4) – (+10) = -6 Porque (+10) + (-6) = +4 (-8) – (+5) = +3 Porque (+5) + (+3) = +8
Observa que en la sustracción de números enteros, el resultado puede obtenerse más fácilmente, si sumamos al minuendo el LQYHUVR�DGLWLYR ( o simétrico) del sustraendo.
�(MHPSORV���
1. (-4) – (-9) = (-4) + (+9) = +5 (-3) – (-2) = (-3) + (+2) = -1 (+3) – (-2) = (+3) + (+2)= +5�
(+4) – (+10) = (+4) + (-10) = -6 (+8) – ( +5) =(+8) + (-5) = +3�
�5HJOD�SDUD�HIHFWXDU�OD�VXVWUDFFLyQ��EDVWD�VXPDU�DO�PLQXHQGR�HO�RSXHVWR�GHO�VXVWUDHQGR� �(MHUFLFLRV��1. (+8) - (+5) = 2. (+4) - (+10) = 3. (+3) - (-2) = 4. (+7) - (-8) = ��� (-5) - (+3) =�
6. (-9) – (7) = 7. (-3) - (-2) = 8. (-4) - (-9) = 9. (+9) - (-2) = 10. (+7) - (+7) =
23(5$&,Ï1�&21�1Ò0(52�5$&,21$/(6��
♦ $GLFLyQ��VXPD���♦ 6XVWUDFFLyQ���UHVWD���♦ 3URGXFWR��PXOWLSOLFDFLyQ���♦ &RFLHQWH��GLYLVLyQ��
$',&,Ï1�'(�1Ò0(526��5$&,21$/(6��)5$&&,21(6) Diferentes situaciones que se presentan D���VXPD�GH�IUDFFLRQHV�FRQ�HO�PLVPR�GHQRPLQDGRU�
¾ Procedimiento Ejemplos �� �� ���� ������ �� �� � �� � �� � ��
D� QXPHUDGRU�4� ���� E�� GHQRPLQDGRU�
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�� �� �� ���������� ��� ��� �� �� � �� �� �� � �� �� � �� ��
En general si �E���VXPD�GH�IUDFFLRQHV�FRQ�GLIHUHQWHV�GHQRPLQDGRUHV�
¾ Procedimiento Ejemplos �� �� �[�����[�� ��������� ����� �� �� � �������� � ��� ��� �� �� �� �[����[�����[�� ��� ��� �� �� � ��� �� �� � ��� ��� � �� ���
En general ���F��VXPD�GH�Q~PHURV�PL[WRV� Se pueden resolver de dos formas diferentes 1.- Se suman por separado los enteros y las fracciones después, posteriormente se suman los resultados obtenidos.
¾ Procedimiento
Ejemplos: �������Convertir los números mixtos en fracciones impropias (ejemplo anterior)
�� �� �� ��� ������������� ������ ���� �� �� �� �� � �� �� �� � �� � �� � �� ��
D� F� D���F��E�
����� E�
� ��� E�� 'RQGH��E�z����
D� F� $G���FE��E�
��G�� ��� E�G�
'RQGH��E�z�����\���G�z����
�� �� �� �� ������������ �� ���� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �� ��
Región Huejutla 10
Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 3UREOHPDV��GRQGH�VH�LQYROXFUDQ�OD�VROXFLyQ�GH�Q~PHURV�UDFLRQDOHV� 1.- En los municipios de Actopán, El Arenal y Pachuca miden respectivamente 1/3, 3/5 y 4/15, del área total del estado de Hidalgo, ¿Cuánto representa el total?. R = 2.- Si se unen tres placas de acero que tienen de espesor 1/4, 3/8 y 7/16 m. respectivamente ¿Qué espesor se obtiene? R = 3.- En tres envases se tiene 5 4/5, 3 1/2 y 3/4 de litros de petróleo respectivamente ¿Qué cantidad de petróleo se tiene en total? R =
4.- ¿Qué cantidad de pólvora se obtiene al mezclar 32
12 g de salitre, 97
2 g de carbón y 97
2 g de
azufre?
�� �� ���� �� �� � ���� ��
�� �� �� ���� �� �� ���� �� � ������ ��
�� �� ���� ���� �� � ���� ��� ���
�� �� �� ���� �� �� ���� �� � ������ ���
�� �� �� ���� �� ��� ���� �� �� �� �� � �
�� ���� �� �� ���� �� ��� �
�� �� �� �� �� � ��� ���
���� ��� P� � �
����� ��� P��
���� ��� /LWURV�
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5.- En tres envases se tienen 21
, 43
y 43
1 litros de aceite respectivamente. ¿Qué cantidad de
aceite se tiene en total ?
6.- Si se mezclan 73
de litro de pintura azul con 41
de litro de pintura amarilla, ¿qué cantidad de
pintura verde se obtiene? � 68675$&&,Ï1�'(�1Ò0(526��5$&,21$/(6��)5$&&,21(6����5HFXHUGD�TXH�HO�VXVWUDHQGR�HQ��HVWH�FDVR�GHEH�VHU�PHQRU�� � Situaciones que se presentan: �D��6XVWUDFFLyQ��GH�IUDFFLRQHV��FRQ�HO�PLVPR�GHQRPLQDGRU�� Ejemplos �� �� ��±��� ��� �� �� � �� � �� � ��
�� �� �� ��±���±��� ��� ��� �� � ��� �� ��� � ��� � ��� E���5HVWD�GH�IUDFFLRQHV�FRQ�GLIHUHQWH�GHQRPLQDGRU��HMHPSORV���� �� �[���±���[��� ���±��� ���� �� �� � �������� ��� � ��� �� �� �� �[��±���[��±��[�� �� ��� �� �� � ��� �� �� � ��� ��� � � ��
�F��6XVWUDFFLyQ�GH�Q~PHURV�PL[WRV���
D�� F�E�� G�
PLQXHQGR��
PHQRV�VXVWUDHQGR�
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Formas de resolverlo: �1.- Restando por separado enteros y las fracciones y sumando al final los resultados obtenidos
Ejemplo. 2.- Convirtiendo los números mixtos a fracciones impropias Ejemplo
�� �� ��� ��� ���������� ��� ���� �� �� �� �� � �� �� �� � �� � �� � �� �� Resuelve los siguientes ejercicios 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- Problemas que involucran resta de fracciones 1.- Un hombre gana mensualmente $ 200. Gasta $ 50 2/9, en alimentación de su familia; $ 60 en alquiler y $18 3/8 ¿Cuánto puede ahorrar mensualmente? 5�� ����������������� 2.- Un hombre vende de su finca 1/3, alquila 1/8 y el resto lo cultiva ¿Qué porción del finca cultiva?
5� ���������
�� �� �� �� ����������� ���� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� � �� ��
�� �� ����� �� �� � ���� ���
�� �� ����� �� ��� � ��� ���
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�� �� ����� �� �� � ��� ���
�� �� ���� �� �
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�� �� ���� �� ��� ��� �� � �� ���
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�3.- Tres obreros tienen que tejer 200 m. de tela uno teje 53 2/7 m. y el otro 15/34 m. ¿Cuánto tiene que tejer el tercero?
���������5� ��������������P���4.- Si tengo $ 7/8, ¿Cuánto me falta para tener $ 1?
5� ���������
5.- De un cable que mide 41
18 m de largo, se han utilizado 32
5 m. ¿Qué cantidad de cable
queda?
6.- En un almacén se tienen 21
1 toneladas de azúcar y se venden 65
en total. ¿Cuál es la cantidad de
azúcar que queda?
7.- En una familia, el padre pesa 32
75 kilogramos y su hijo mayor pesa 94
43 kilogramos.
¿Cuál es la diferencia entre sus pesos?
�352'8&72�'(�1Ò0(526�5$&,21$/(6�2�)5$&&,21(6�
�
Para multiplicar dos o más quebrados se multiplican los numeradores y este producto se parte por el producto de los denominadores. El resultado se simplifica y se hallan los enteros si los hay. Ejemplo:
22431
1224255
8*4*717*3*5
817
43
75 ===[[
Si se tienen la multiplicación de números mixtos, se tienen que reducir los quebrados y se multiplican como tales. �Ejemplo: �
13531
651358806
9*5*337*14*17
937
*5
14*
317
91
4*54
2*32
5 ==== ��5HVXHOYH�ORV�VLJXLHQWHV�HMHUFLFLRV���
1.- 74
2*31
4*411
1*61
2*394
2 = R = 52
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2.- 253
1*41
5*31
8 = R=49
3.- 53
1*81
1*91
1*51
1 = R=32
2
4.- 697
*2817
*3423
= R=241
5.- 3690
*1518
= R= 3
Resuelve los siguientes problemas:
1.- A $ 87
vale el kg. De manzanas ¿cuanto valen 8 kg, 12 kg.?
2.- Compre tres sombreros a $53
2 cada uno; 6 camisas a $43
3 cada una. Si doy para comprar un
billete de $50. ¿cuánto me devuelven?
3.- A $ 1011
me cuesta el saco de naranjas, ¿cuánto pagaré por tres docenas de sacos?
4.- Si tengo $ 25 pesos y hago compras por los 56
de esta cantidad, ¿cuánto debo?
5.- De una finca de 20 hectáreas se venden 52
partes y se alquilan 48
del resto. ¿cuántas hectáreas
quedan? �
',9,6,Ï1�'(�1Ò0(526�5$&,21$/(6�2�)5$&&,21(6��Para dividir dos quebrados se multiplica el dividiendo por el divisor invertido. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Ejemplo:
445
14449
8*5535*14
835
*5514
358
5514 ====÷
Si se desea dividir a un entero por un quebrado, se le pone al entero por denominador la unidad y se dividen como quebrados.
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81
7788
622516*1
83*1501683
*1
1508316
*1
1508316
*150 =====
�Resuelve los siguientes ejercicios:
1.- 227
1411 ÷ = R=
4923
2
2.- 9
1487 ÷ = R =
169
3.- 81
26 ÷ = R= 208
4.- 65
1116
1 ÷ = R=121102
5.- =÷÷329
10)65
10( R = 32955
1
Resuelve los siguientes problemas:
1.- Diez obreros pueden hacer 112
14 ms. De una obra en 1 hora. ¿cuántos metros se hace cada obrero
en ese tiempo? 2.- La distancia entre dos ciudades es de 140 kms. ¿cuántas horas debe de andar un hombre que
recorre los 143
de dicha distancia en una hora, para ir de una ciudad a otra?
3.- Repartí $52
18 pesos entre varias personas y a cada una le toco $2517
3 . ¿cuántas eran las
personas?
4.- ¿Porqué número hay que dividir 52
6 para obtener 3 de cociente?
5.- Si en 20 minutos estudio las 32
de una página de un libro, ¿en cuanto tiempo podré estudiar 10
páginas?.
$',&,Ï1�<�68675$&&,Ï1�'(�1Ò0(526�'(&,0$/(6��&RPR�VH�UHDOL]DQ�ODV�RSHUDFLRQHV�IXQGDPHQWDOHV�FRQ�GHFLPDOHV��
�
Región Huejutla 16
Para estas operaciones debemos recordar que el punto decimal debe quedar en columna con el fin de garantizar que se sumen las órdenes decimales correspondientes(enteros con enteros, décimos con décimos, etc.). ��9HDPRV�XQRV�HMHPSORV���$GLFLyQ� 6XVWUDFFLyQ��
+ 256.214.3 � � 04.24 �
�� 7.3 ������� ��
396.5 � ��
20.36� �
+ 07.40025.1 � � 27.578
04.25− �
0725.5 � � 23.553 �
�
����578.046.3 �
�� 01.47
�-
124.46027.79
�
��� 048.51 � � 32.903 ��Realiza las siguientes operaciones: � 576 . 25 + 43 . 01 623 . 4�
������ 0 . 468 + 25 . 46 9 . 275�
� 6 . 001 + 19 . 33 8 . 65
� � � � � 647. 25 - 84 . 02�
726 . 84 - 573 . 2
748 . 036 - 524 . 63
� (;321(17(6�<�5$',&$/(6� (;321(17(� Indica el número de veces que un termino deberá aparecer como factor de sí mismo.
Por ejemplo: a4= (a) (a) (a) (a)
n - ésima potencia de a an n = exponente (entero positivo)
donde: a = base
Región Huejutla 17
/H\HV� GH� ORV� H[SRQHQWHV: Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y
positivos dichas leyes son:
♦ 2SHUDFLRQHV�FRQ�SRWHQFLD�GH�H[SRQHQWH�QDWXUDO���,.- Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, su resultado es un término de la misma
base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicados;
es decir: (am ) (an) = am+n
Por ejemplo: 53. 54 = (5.5.5) . (5.5.5.5) = 53. 54 =53+4=57
33. 33 = (3.3.3). (3.3.3) =33. 33 = 33+3 = 36
,,�� El resultado de dividir dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuyo
exponente es la resta de los dos exponentes, es decir;
am/an = a m - n ( si m > n )
am/an = 1 an – m ( si n > m )
am/an = a m – n = aº = 1 ( si m = n )
Por ejemplo:
( 75 ) / ( 75 ) = (7.7.7.7.7) / (7.7.7) = 7.7 = 75–3 = 72
( 83 ) / (85) = ( 8.8.8 ) / ( 8.8.8.8.8 ) = 1 8.8 = 1 82= 83-5 = 8 -2 = 1/82
(55) / ( 55) = ( 5.5.5.5.5 ) / (5.5.5.5.5) = 5 0 = 1
,,,�� El resultado de elevar una potencia a un nuevo exponente es otra potencia de la misma base y
cuyo exponente es el producto de los dos exponentes, es decir:
( am )n = amn
Por ejemplo:
( 10 3 ) 4 = 103. 103. 103. 103 = 103+3+3+3 =103.4 = 1012
Región Huejutla 18
,9�� Para elevar un producto de varios números a una potencia, se eleva cada uno de los factores a
dicha potencia, es decir:
(a.b.c.d)m = am.bm.cm.dm
Por ejemplo: ( 2.7.13 )3 = ( 2.7.13 ) ( 2.7.13 ) ( 2.7.13 ) = 2.2.2.7.7.7.13.13.13 = 23.73.133
9��� Cuando un cociente se eleva a un exponente su resultado es la potencia del dividendo
(numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división; es decir:
(a b) m = am bm
Por ejemplo:
( 7/2 )3 = 7/2. 7/2. 7/2 = 7.7.7/2.2.2 = 73/23
El cociente de dos potencias de la misma base presenta tres casos, éstos depende de que el
exponente del dividendo sea mayor, igual o menor que el del divisor:
Primer caso: (am / an )= a m-n, si m>n
Ejemplo: (55) /(52) = ( 5.5.5.5.5 ) / ( 5.5 ) = 55-2
Segundo caso: (am / an) = 1, siendo m = n
Ejemplo: (23/23) = (2.2.2) / (2.2.2) = 1
Formas radicales de los exponentes: A partir de las leyes de los exponentes se derivan las siguientes
leyes de los radicales:
Ejercicios propuestos Respuestas
1.- ( 32 ). ( 34 ) 729
2.- ( 83) . ( 84 ) 2097152
3.- (b4 / b2) b2
4.- (28/25) 123
5.-(183 / 183) 1
6.-(53)2 15625
7.- ( 2.5.3 )3 27000
8. ( 7/3 )4 29.64
Región Huejutla 19
9.- 47/49 4-2
10.-(88/88) 1
Región Huejutla 20
127$&,Ï1�&,(17,),&$�
La notación científica es una abreviatura de una expresión matemáticas
Ejemplos: 4 X103, 5 X10-3, 7.5 X104
♦ Notación científica a notación decimal
Ejercicios:
3X10-3 = 0.003
5.2X105 =520000
0.8X104 = 8000
7.25X10-6 = 0.00000725
2X108 = 200000000
♦ Notación decimal a notación científica
0.004=4X10-3
0.038= 3.8X10-2
5000000 =5X106
0.00008 =8X10-5
9000 =9X103
Ejercicios propuestos
1.- 2X10-3 =
2.- 9.32X10-5 =
3.- 6X107 =
4.- 0.5X106 =
5.- 3.4X104 =
6.- 8000000 =
7.- 130000 =
8.- 0.0007 =
9.- 0.005 =
10.- 0.000093 =
Región Huejutla 21
23(5$&,21(6�&21�32/,120,26��È/*(%5$��
Una característica del álgebra es el uso de letras (o combinaciones de letras para representar a los números. Las letras son YDULDEOHV, y las combinaciones de letras y números son H[SUHVLRQHV�DOJHEUDLFDV. A continuación tenemos algunos ejemplos.
5x, 2x-3, 2
42 +[
♦ 6XPDV��\�UHVWDV� Se pueden sumar y restar polinomios en forma muy parecida a como se suman y restan números reales. Simplemente se suman o se restan los términos semejantes (términos que tengan las mismas variables con las mismas potencias) al sumar sus coeficientes. Por ejemplo, -3xy2 y 5xy2 son términos semejantes y su suma es: -3xy2 + 5xy2 = (-3+5) xy2 = 2 xy2 Ejercicios: 1.- (y5 - 9y3 + 6y2 - 31) + (-11y4 + 31y3 - 8y2 - 19y) = 2.- (a + b + c – d) + ( -a – b + c – d)= 3.- (5m3 – 9n3 + 6m2n –8mn2) + ( 14mn2 – 21m2n + 5m3 –18)= 4.- 3x + x3; -4x2+5; -x3+4x2-6=
5.- [\[31
21 2 + ; 2
41
31 \[\ + =
Para realizar la resta se escribe el minuendo con sus propios signos ya continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si hay. Ejemplo: 4x-3y+z restar 2x+5z-6 = 4x-3y+z � ( 2x+5z-6) = 4x-3y+z -2x-5z+6 = 2x-3y-4z+6 Ejercicios: 1.- 2x +3y restar –x + 2y= 2.- a3 –6ab2 +9a restar 15a2b – 8a + 5 = 3.- m6 + m4n2 –9m2n4 + 19 restar -13m3n3 + 16mn5 – 30m2n4 –61 =
Región Huejutla 22
4.- 322
21
43
32 QPQQP −+ restar 3223
21
41
61 QPQQPP −−−− =
5.- 5m3 – 9n3 + 6m2n –8mn2 restar 14mn2 – 21m2n + 5m3 –18 = ♦ 0XOWLSOLFDFLyQ� Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos, motivo por el cual deberá repasarse estos conceptos. Ejemplo: (3a2b) * (-4b2x) = -3 * 4a2b1+2 x = 12a2b3x Ejercicios 1.- -5x3y por xy2 = 2.-(3x2) (-x3y) (-a2x) =
3.- PD[D[ 423
53
)(32
)(21
( −− =
4.- (x3 + 2x2 –x) por (x2 –2x +5) 5.- (3x3-a3+2ax2) por ( 2a2-x2 –3ax)=
'(63(-(�'(�,1&2*1,7$6�(1�81$�(&8$&,Ï1� Para hacer despejes de incógnitas en una ecuación debemos recordar lo siguiente: 1.- Una ecuación o igualdad esta está formada de dos miembros, primero y segundo miembro separados por un signo igual.
PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO DE LA ECUACIÓN DE LA ECUACIÓN LADO IZQUIERDO LADO DERECHO 2.- Si en una igualdad un número está sumando, puede pasar al otro lado del signo igual, restando.
Región Huejutla 23
3.- Si en una igualdad un número está restando, puede para al otro lado del signo igual, sumando. 4.- Si en una igualdad un número está multiplicando, puede para al otro lado del signo igual, dividiendo. 5.- Si en una igualdad un número está diviendo, puede para al otro lado del signo igual, multiplicando. EJEMPLO: ���'HVSHMDU���\�GH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ��
DE\ =+
Para despejar a y, debemos pasar al otro lado del signo igual a b, que como está sumando, pasará restando. Por lo tanto:
ED\ −= ����'HVSHMDU���GH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ��
\DEUDEU\
−+=+=+
����'HVSHMDU��K�GH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ�� J�� �K�����V���� � J����V�� ���K��������R�ELHQ������K�� ���J���V������'HVSHMDU���G��GH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ���� � G����U�� ��E����F��������������������������������G�� ���E�����F�����U�������'HVSHMDU��G�GH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ��
WGY =
para despejar G debemos pasar al otro lado del signo igual a W� ��que como está dividiendo pasará multiplicando, por lo tanto.
Región Huejutla 24
��9��W��� ��G���������R�ELHQ���������G� ��Y�W�������'HVSHMDU�D�GH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ���
2DWG =
para despejar D debemos pasar al otro lado del signo igual a t y al 2. Para hacer estos despejes recíprocamente pasar primero al otro lado del signo igual lo que este dividendo y después lo que está multiplicando. 2G�� ��D�W��W�� está multiplicando pasa al otro lado del signo igual dividiendo
DWG =2
o bien WGD 2=
PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.- Despejar � de la siguiente ecuación: a) v b) t
WYD =
�
2.- Despejar D de la siguiente ecuación: a) D��b) P�
DP) =
3.- Despejar m de la siguiente ecuación.
YPG =
Región Huejutla 25
4.- despejar v de la siguiente ecuación. E = Pe v ������Despejar W de la ecuación. V2 = V1 + g t 6.- Despejar v de la ecuación
WY* =
7.- despejar h de la ecuación. Ep = mgh ������Despejar V1 de la ecuación. $ � 9 � �� ���$ � ��9 �
BIBLIOGRAFÍA
1.- Baldor A. Algebra , Editorial Publicaciones Cultural (2005) 2.- Larson/ Hostetler. Álgebra Editorial Publicaciones Cultural (2003) 3.- Ortíz Campos. Matemáticas I, Álgebra. México, Publicación Cultural, 1996.
�������
Región Huejutla 26
�$1(;26�
�5HVROXFLyQ�GH�ORV�HMHUFLFLRV�GH�KDELOLGDG�YHUEDO��
62/8&,21(6�1.- Los cuadros: � 2.- El orden de las operaciones
12
10
2
8
14
4
�� +
4
��
3
2 � 1
�
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3.- La leche Para Lupe está fácil, pues llena la de 5 litros, la vacía en la de 8 y llena nuevamente la de 5 litros y ya tiene 10. Para Juana está un poco más complicado, pues debe llenar la de 8 litros, vaciar en la de 5 para llenarla y le quedan en la de 8 litros exactamente 3 , vacía la de 5 litros y la llena con los 3 que quedaron en la de 8 litros, posteriormente llena la de 8 litros ,que sumados con los 3 que tengo en la de 5 litros dan 11 litros. 4.- Los primos ����������������������������� 5.- De fracciones En la segunda por que la mitad de un cuarto de kilo son 125 g. 6.-Una cubeta Si al echarle 4 litros se llenó 1/4 parte , quiere decir que 1/4 = 4 litros , por lo que a la cubeta le caben exactamente 16 litros. 7.- Las distancias y el tiempo Si multiplicamos la velocidad por el tiempo, tendremos la distancia recorrida .Antes de multiplicar pasemos los minutos a segundos. 8.2 x 60 = 492 segundos 300 000 Km / s x 492 s = 147 600 000 Km aproximadamente. 8 -. De tinacos El volumen de un tinaco se obtiene V = l3 por lo que V = 33 = 3x3x3 = 27 m3 Si el valor de la arista aumenta al doble entonces su volumen es : V = 63 = 6x6x6 = 216 para encontrar cuantas veces es mayor el volumen se divide 216 / 27 = 8 veces. 9.- Un cuadro mágico
��
8 �
���
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10
3 8
5
7
9
6
11
4
�10.- El refresco La cuarta parte 11.-El buscador 300 y 150 12.- El juego de las pelotas El 100% ya que ninguna de la caja es naranja 13.- En la granja x = numero de patos y = número de vacas los patos tienen 2 patas y las vacas 4 como contó 27 cabezas entonces hay 27 animales entre patos y vacas x + y = 27----- 1 2x +4y = 72 ---2 multiplicando por -2 la primer ecuación y sumándolas se tiene -2x –2y = - 54 2x + 4y = 72 2y = 18 y = 18 / 2 = 9 vacas Entonces de la ecuación 1 sustituimos a y X + 9 = 27 X = 27 – 9 = 18 patos
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Por lo que en la granja hay 9 vacas y 8 patos. 14.- Siempre el doble : 32,64,128 15.- La serie que disminuye 4, 20 , 0 16.- siempre el triple 3,9,27 17.- Los cuadrados 16, 25, 36 18.- De cubos 8,27 19.- Un cuadro más
7� 3
4�
4
2 � 2
�� + 5 �
8�
X
�
÷